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壓軸小題2 平面幾何中的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【湖北省部分地市2024年1月高二期末考試】
在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____．
利用向量“換底公式”，結(jié)合向量的基本運(yùn)算，以及幾何構(gòu)圖，得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，利用三角換元求最值即可.
如圖，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，
由得，故，
故，即求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值，
設(shè)，則到直線的距離為
，
故的最小值為．
（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考一模）
1．已知直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．9 B．16 C．27 D．30
（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）
2．已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若點(diǎn)到直線的距離為，則
B．若，則
C．若，則的最大值為6
D．的最小值為
角度一、利用向量關(guān)系、以點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，得到點(diǎn)的軌跡是一條直線，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求坐標(biāo)原點(diǎn)到此直線的距離，再利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元得解；角度二、分別固定P、Q點(diǎn)移動(dòng)另一點(diǎn)得出M軌跡所處帶狀區(qū)域，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系計(jì)算該區(qū)域的下界，利用平行線的關(guān)系計(jì)算距離即可.
角度一、設(shè)，
由得，又在上，故，
即有，整理得，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，
所以
，
故的最小值為．
角度二、固定點(diǎn)，當(dāng)移動(dòng)時(shí)，的軌跡為與平行的直線，移動(dòng)點(diǎn)，則軌跡掃出一條帶狀區(qū)域，
設(shè)與橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，
則又可以表示為，比較得，代入得，即，解得，所以．（也可聯(lián)立方程，判別式等0求）設(shè)為軌跡的下邊界，則在與之間，靠近的三等分處，易知，所以．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)，使得為定值，則該定值為（ ）
A． B． C．4 D．
4．已知為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，分別為雙曲線和橢圓上不同于兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且有，設(shè)直線、、、的斜率分別為，則 ．
（23-24高三上·浙江金華·期末）
5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上（在第一象限），點(diǎn)在上，，，（ ）
A．若，則 B．若，則
C．則的面積最小值為 D．則的面積大于
6．如圖，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在雙曲線上，直線AF與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足為Q，則的最大值為 .
7．已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，記直線與曲線的相交弦中點(diǎn)為P，若點(diǎn)A，B分別是曲線與x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率等于，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點(diǎn)分別在上，且滿足，則線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為
A． B．
C． D．
（2024下·廣東·廣州天河區(qū)一模）
9．已知直線，動(dòng)點(diǎn)分別在直線上，，是線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，線段上一點(diǎn)滿足，求的最小值.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)題中條件，先求得弦的中點(diǎn)的軌跡方程，則的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離之和，即點(diǎn)到直線距離的2倍，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.
【詳解】由題設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，
連接，則，即，所以，
即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
設(shè)直線為，則到的最小距離為，
過(guò)分別作直線的垂線，垂足分別為，
則四邊形是直角梯形，且是的中點(diǎn)，
則是直角梯形的中位線，所以，即，
即，
所以的最小值為30.
故選：D.
2．ACD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求解；對(duì)于B選項(xiàng)：運(yùn)用余弦定理即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)：將轉(zhuǎn)化為到直線的距離之和的倍，進(jìn)而求解；對(duì)于D選項(xiàng)：利用數(shù)量積公式即可求解；
【詳解】依題意，圓的圓心，半徑為
如圖所示：
對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)椋遥?br/>所以在中，由余弦定理可得：,
所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)：由，
其幾何意義為到直線的距離之和的倍
設(shè)的中點(diǎn)為,結(jié)合梯形的中位線可知：
則有，
因?yàn)椋?
在直角三角形中，,
所以點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.
因?yàn)榈降木嚯x為，
所以，
所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)所成的角為時(shí)，.
故選項(xiàng)D正確;
故選：ACD.
3．A
【分析】設(shè)點(diǎn)，，，根據(jù)已知列式化簡(jiǎn)得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，由橢圓的定義得出為橢圓的兩焦點(diǎn)，即可根據(jù)橢圓的定義得出答案.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，
由，得，
點(diǎn)在橢圓上，
，，
則代入，得，
，
，
將代入，得，
得
由，得，
則，
直線與直線斜率之積為，即，得，
則，即，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為橢圓，
平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)，使得為定值，
則為橢圓的兩焦點(diǎn)，
則，
故選：A.
4．0
【解析】可根據(jù)題的已知條件，設(shè)、，利用斜率公式得到；
同理可得，
結(jié)合三點(diǎn)共線即可得出的值．
【詳解】由題意，
可知三點(diǎn)共線．
、
設(shè)、，
點(diǎn)在雙曲線上，
則．
所以①
又由點(diǎn)在橢圓上，
則．
同理可得②
三點(diǎn)共線．
．
由①、②得．
故答案為：0
【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
主要思路為結(jié)合曲線與點(diǎn)的位置關(guān)系、向量關(guān)系式，根據(jù)斜率公式，列相關(guān)關(guān)系式化簡(jiǎn)求解.
5．ABD
【分析】對(duì)A，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，由相似比可得解；對(duì)B，易證，可得為等邊三角形，得解；對(duì)C，分點(diǎn)在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出，表示出利用三角函數(shù)求出最小值，對(duì)D，分點(diǎn)在第一和第四象限兩種情況，由焦半徑公式求出可證，得解.
【詳解】對(duì)于A，如圖1，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
又，，則，所以，
故A正確；
對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)，易證，又，
，即，又，則為等邊三角形，
所以，且，，故B正確；

對(duì)于C，分兩種情況：
當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，如圖1所示，設(shè)，，
由焦半徑公式可得，，，
令，
設(shè)，且，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.
當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，如圖2所示，設(shè)，，則，，
所以，
同理令，且，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，
綜上，面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，如圖1所示，，，
則，所以，即，，
當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，如圖2所示，同理可得，即，，
綜上，的面積大于，故D正確.
故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于C,D選項(xiàng)，關(guān)鍵是利用拋物線焦半徑公式求出，從而易求出三角形面積.
6．40
【分析】由已知求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，繼而有， ，由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可得，由的最小值可求得的最大值.
【詳解】解：由已知可得F（2，0），將點(diǎn)A（4，m）（m>0）代入雙曲線方程得，解得（舍去），
所以A（4，3），所以，
所以直線AF的方程為，令x=0，解得，所以B（0，-3），所以|BF|=，
所以，因?yàn)椋裕?br/>所以
.
又因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且，所以，
所以的最大值為40，
故答案為：40.
7．B
【分析】由已知得，可得出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相交的一個(gè)交點(diǎn)為Q，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得出點(diǎn)，代入曲線上，得出P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，由拋物線的定義及圓的性質(zhì)可得出選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，所以，
則直線化為，
即，
由解得,
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
又點(diǎn)Q在曲線上，
所以直線與曲線相交的一個(gè)交點(diǎn)為Q，
設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，
設(shè)，則，
又在曲線上，化簡(jiǎn)得，
即P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，，
曲線，得，

記圓心
所以
.
故選B.
【點(diǎn)睛】本題綜合考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，拋物線的定義以及兩線段長(zhǎng)度之和的最值問(wèn)題，屬于難題.
8．A
【分析】根據(jù)離心率得到雙曲線方程，漸近線方程為．設(shè)，，線段的中點(diǎn)，根據(jù)得到軌跡方程.
【詳解】由已知，求得，得雙曲線方程為，
從而其漸近線方程為．
設(shè)，，線段的中點(diǎn)，
由已知不妨設(shè)，，
從而，，
由得，
所以，即，
則M的軌跡C的方程為．
【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.
9．(1)
(2)
【分析】（1）由已知設(shè)，可得，設(shè)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得，代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.
（2）設(shè)，則,,設(shè),,利用向量的坐標(biāo)計(jì)算化簡(jiǎn)可得①.設(shè)，由可得②，結(jié)合在曲線上，可得的軌跡方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）根據(jù)條件可設(shè)，
∵，∴（*），
設(shè)，由題意知，∴，
代入（*）式得，故曲線的方程為.
（2）設(shè)，則,,設(shè),,
由，可知，
∴，∴①.
∵，設(shè)∴②.
①②可得（**），
∵在曲線上，∴，
∴，化簡(jiǎn)得：，
（**）式代入可得，即.
∴的軌跡方程為：.
∴的最小值為到直線的距離.
∴.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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