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壓軸小題1 遞推數列綜合問題
【2024湖北省高中名校聯盟第三次聯考】
已知數列的前項和為，且，，則（ ）
A．當時，；
B．；
C．數列單調遞增，單調遞減；
D．當時，恒有．
取結合已知解不等式可判定A，取利用的關系及已知得，利用導數研究其單調性判定B，利用數列的特征根方程判定是等比數列，得通項公式判定C即可，利用及蛛網圖構造等比數列結合放縮法判定D.
解：對于A：由知，取有，
解得．所以
，所以A正確；
對于B：，
所以
，
令
則，故，
因為，所以，即，
所以B錯；
對于C：的特征方程為，
，
，
，
是等比數列，，
即，
解得：，
，
，
所以，所以C正確；
對于：由，畫出函數和的圖象，由蛛網圖可知．（如下圖）
，
，（偽等比數列）
，D正確．
（2023·湖南郴州·模擬預測）
1．已知正項數列滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．數列中的最小項為
B．當時，
C．當時，
D．對任意且
2．設滿足，求數列的通項公式.
對于B項，令結合條件得，利用反證法及分解因式判定即可，對于D項，根據特征根得，結合放縮法與數學歸納法，由等比數列求和公式即可判定.
解：對于B，令，得
則
，
矛盾，B錯誤．
對于D，的特征方程為，
，
，
，
是等比數列，，
即，
解得：，
，
，
需證：，即證，
用數學歸納法證之：顯然時，，
設當時，，
則時，，
，．
所以D正確．綜上可知：選ACD．
【題后總結】
定義：方程的根稱為函數的不動點.
利用遞推數列的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法.
定理1：若是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.
定理2：設，滿足遞推關系，初值條件
（1）：若有兩個相異的不動點，則 （這里）
（2）：若只有唯一不動點，則 （這里）
3．已知數列滿足，，，是數列的前項和，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在常數，使得
4．數列滿足，數列的前n項和記為，則下列說法正確的是（ ）
A．任意 B．任意
C．任意 D．任意
5．已知數列滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
6．已知數列滿足：，設，數列的前項和為，則下列選項正確的是（ ）
A．數列單調遞增，數列單調遞減 B．
C． D．
7．已知數列滿足：，，下列說法正確的是（ ）
A．，成等差數列 B．
C． D．，一定不成等比數列
（2023·浙江金華·模擬預測）
8．已知各項均為正數的數列滿足為其前項和，則（ ）
A． B．
C． D．
9．定義：若數列滿足，則稱為“Titus雙指數迭代數列”.已知在“Titus雙指數迭代數列”中，首項，則（ ）
A．當時，
B．當時，為遞增數列
C．當時，有最小值
D．當取任意非零實數時，一定有最大值或最小值
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABD
【分析】構造函數，判斷函數的的單調性，得到是最小的項，且當時，，即可判斷A，B；令，利用導數可得在區間內單調遞減，從而判斷C；根據，利用，，，，可得，判斷D.
【詳解】令，由，得，
又，則當時，單調遞增；
當時，單調遞減，且，
∴當時，；當時，，
∵，，∴，
∴是最小的項，且當時，，所以A，B正確；
由B正確可知，當時，，
所以令，
則，
又，
所以在區間內單調遞減，∴，
又因為當時，，所以，即，，所以C錯誤；
因為當時，且，在區間內單調遞減，所以，
因為，，所以，
又因為，，所以，
所以，所以D正確.
故選：ABD．
【點睛】關鍵點點睛：構造函數，，利用導數判斷兩個函數的單調性，利用單調性求解是解題關鍵.
2．
【分析】令，解方程可得的不動點，所以是以首項為，公比為的等比數列，即可求出數列的通項公式.
【詳解】令，解方程，
，則，解得：或，
求出不動點，
于是，
所以是以首項為，公比為的等比數列，
，
由此解得：.
3．BC
【分析】根據給定條件，求出數列的通項公式，再逐項分析判斷作答.
【詳解】，數列滿足，，即有，而，
因此數列是常數列，有，則數列的通項公式是，
對于A，令時，，而，即當時，不成立，A錯誤；
對于B，，令，
，即，數列是遞增的，有，即，B正確；
對于C，用數學歸納法證明：當時，，
當時，，即當時，不等式成立，
假設當時，不等式成立，即，
則，即當時，不等式成立，因此，成立，
當時，，而，不等式成立，
當時，，，
所以，，C正確；
對于D，，取，則
，顯然當時，數列是遞增的，無最大項，所以不存在常數，使得成立，D錯誤.
故選：BC
【點睛】關鍵點睛：涉及數列最大最小項問題，探討數列的單調性是解題的關鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調性作答.
4．BCD
【分析】B：由題設得且，，討論大小關系，結合給定條件即可判斷；A：根據B的結論及，易知隨n變化的趨勢，并構造求得，即可判斷；C：由A分析結果及即可判斷；結合C可判斷D.
【詳解】由，且，又，故，，
則，
當時，則，即，顯然與矛盾；
當時，則，即，顯然與矛盾；
所以且，即遞增，B正確；
由，根據B結論知：隨n的增大，無限趨近于0，則無限接近于1，
又，令且遞增，則 ，即，
綜上，，A錯誤；
由，根據A的結論有，
又，可得，所以，即，
綜上，，C正確；
由C結論知：
所以成立，D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：利用已知條件，將各項結論作轉化，并應用分類討論、極限、函數思想判斷數列不等式是否恒成立.
5．BCD
【分析】由已知可得，則，結合可推導得，由此確定，可知數列單調遞減，得到，知A錯誤；采用分析法可知，若B正確，則只需證明，采用數學歸納法可證得結論，知B正確；結合B中結論可知若C正確，只需證明，采用數學歸納法可證得結論，知C正確；結合B中結論可知若D正確，只需證得，構造函數，，利用導數可求得單調遞減，由此可得，進而得到，知D正確.
【詳解】恒成立，，又，，
，
對于A，，，，……，以此類推，，
而，，
，數列為遞減數列，則，
即，，A錯誤；
對于B，若，則，只需；
當時，，滿足；
假設當時，成立，
那么當時，
，
即當時，成立；
綜上所述：成立，，B正確；
對于C，，，
由B得：，；
則若，只需，
當時，，不等式成立；
假設當時，成立，
那么當時，
，
即當時，成立；
綜上所述：成立；
，C正確；
對于D，由B知：，
若，只需，
則只需，即，
令，，
，在上單調遞減，
，即，
又，，則，D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列與不等式的綜合應用問題，解題關鍵是能夠證得，進而通過數列的放縮對選項中的不等式進行轉化；通過數學歸納法或構造函數的方式對轉化后的不等式進行證明.
6．ABC
【分析】由給定條件可得，由此構造函數，利用導數研究其單調性而判斷選項A，利用不等式性質探求出可判斷選項B，由的范圍探求出的范圍而判斷選項C，取特值說明而判斷選項D.
【詳解】因，，則，即，
令，則，在上單調遞增，
點與是函數圖象上的兩點，于是有，則，都單調，
又，則，即，，所以單調遞增，單調遞減，A正確；
顯然，，而，即，則，，
于是，則有，所以，B正確；
，而，
，
所以，C正確；
若，則，而，即對和都不成立，D不正確.
故選：ABC
【點睛】關鍵點睛：涉及單調性的某些數列問題，數列是一類特殊的函數，準確構造相應的函數，借助函數導數研究其單調性是解題的關鍵，背景函數的條件，應緊扣題中的限制條件.
7．BCD
【分析】根據題意得，再結合數列單調性與得，可判斷B選項；由遞推關系式易得，進而可判斷A選項；根據數列單調性得，進而可得判斷C；利用反證法先假設，成等比數列，推出之間的公比為，結合可以得到成等比數列，與矛盾，故假設不成立，可判斷D
【詳解】解：因為，
所以，且，
所以①，
所以②
所以，②-①整理得：
因為，
所以數列為單調遞增數列，
所以，即，故B選項正確；
對于A選項，若，成等差數列，則成等差數列，由遞推關系得，顯然不滿足等差數列，故A選項錯誤；
對于C選項，因為，數列為單調遞增數列，
所以，即，
所以，因為，所以，
所以，從第2項起，數列介于以為首項，公比分別為和為公比的等比數列對應項之間，
所以，故C選項正確；
對于D選項，假設，成等比數列，設之間的公比為，
由可得即，
因為，所以，解得，
因為為單調遞增數列，所以，
由可得，即整理得，所以成等比數列，
所以以此類推能得到成等比數列，與矛盾，故假設不成立，故D正確；
故選：BCD
【點睛】本題關鍵點在于通過數列的遞推關系式以及等差數列、等比數列研究數列的性質，D選項中反證法的應用是本題的重難點，注意掌握加以應用.
8．ACD
【分析】A選項，先構造函數，并研究其單調性，利用進行放縮，利用數學歸納法可證明；
B選項，構造函數，判斷其單調性即可；
C 選項，利用數學歸納法和假設法可證明；
D選項，結合C選項結論對進行放縮即可證明.
【詳解】設函數，則，故在上單調遞增.
用數學歸納法下證.
當時，有；
假設當時，有，
由于，
所以根據在上單調遞增可知，
即當時，有.
綜上可知，.
對于A，令，
因為，故在上單調遞增，故，
即，即.
，故A正確.
對于B，令，，
令，
令，則>0，所以，即在上單調遞增，
所以，所以即 在上單調遞增，
所以，所以在上單調遞增，
所以，即，即.
故，故選項B錯誤；
對于C，可用數學歸納法證明：.
當時，有成立；
假設當時，有，
若，
則由可知，
與假設矛盾，故.
故，故C正確.
對于D，當時，，
故，故選項D正確.
故選：ACD.
【點睛】與數列相關的不等式問題證明方法點睛：
（1）可以利用數學歸納法來進行證明；
（2）可以構造函數，利用導數進行證明，通過求導得到函數的單調性并結合不等式進行放縮得到結果.
9．ABD
【分析】求出，即可判斷A；構造函數，利用導數求出函數的單調區間，再通過取點與單調性確定的圖象與直線的位置關系，逐一分析各個選項即可得解.
【詳解】對于A，當時，，故A正確；
下面分析B，C，D項：
構造函數，則，
構造函數，則，
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，所以，
即，所以單調遞增，
再通過取點與單調性確定的圖象與直線的位置關系，
當時，，
當時，，當時，，
根據位置關系作出大致圖象如圖1：
分析B項：如圖2，
以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，為遞增數列，B正確；
分析C項：如圖3，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，為遞減數列，
無限趨近于0，無最小值，C錯誤；
分析D項：如圖4，當時，以為起始點，作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作平行于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
從點作垂直于軸的直線與的圖象相交，確定交點，
依此類推，由圖可知，當時，為遞增數列，
設與的圖象在第一象限的交點為，
結合B，C項可知：當或時，為遞增數列，
當時，為遞減數列，
當時，為常數列，
顯然，一定有最小值或最大值，D正確.
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：與數列的新定義有關的問題的求解策略：
①通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的；
②遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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