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第14題 解三角形大題
（2024·河南·青桐鳴大聯(lián)考）
記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）證明：；
（2）若，求當(dāng)面積最大時(shí)的值.
（1）根據(jù)→→二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)；
（2）由正弦定理→→→求出→結(jié)合導(dǎo)數(shù)得面積最大值.
詳解 模板總結(jié)
（1）由已知得，∴， 又，且，∴； （2）由（1）可得， 由正弦定理可得， ∴，. ∵，∴， ∴，∴，∴， 又 ∴， ∴， 令，則，則， 設(shè)，， 則， 令，得，即， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大， 則. 1.在弦切共存的等式中，一般采用“切化弦”的手段進(jìn)行化簡(jiǎn)； 2.利用正弦定理進(jìn)行“邊化角”或“角化邊”變形時(shí)，要注意等號(hào)左右兩邊次數(shù)相等； 3.含有多個(gè)角時(shí)，要考慮三角形內(nèi)角和為的使用； 4.三角形中不能直接利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解.
方法總結(jié)：在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：
（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；
（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；
（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；
（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.
（2024·陜西西安·一模）
1．已知△ABC為鈍角三角形，它的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．
（2024·重慶·縉云教育聯(lián)盟一診）
記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．
（1）求A；
（2）若為的中點(diǎn)，且，求．
（1）由聯(lián)想余弦定理轉(zhuǎn)化→由正弦定理邊化角→三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化求解；
（2）中兩次利用余弦定理→由正弦定理→同角三角基本關(guān)系式求得結(jié)果.
詳解 模板總結(jié)
（1）由余弦定理形式和，因此． 又，即， 由正弦定理得： ， 整理得：， ． ，， ，． （2）由，得，得． 在中，由余弦定理得 ， 為的中點(diǎn)， ， 即， （其中）， ． 由正弦定理得，， ， 即． ， 由，可得； ，． 1.牢記余弦定理的內(nèi)容，并會(huì)對(duì)幾種變形進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵； 2.在三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或其他線段，把三角形分成多個(gè)三角形時(shí)，常常在不同三角形中多次使用余弦定理解題；
方法小結(jié)：解三角形中的中線、角平分線、爪形三角形問(wèn)題的一般方法：
（1）利用互補(bǔ)角余弦值之和為0，在兩個(gè)三角形中兩次利用余弦定理；
（2）利用面積關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（3）利用向量，再進(jìn)行平方、余弦定理轉(zhuǎn)化.
（2024·遼寧大連·一模）
2．在中,
(1)求點(diǎn)到邊的距離:
(2)設(shè)為邊上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求外接圓的面積.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式得解；
（2）由三角形面積公式、余弦定理及重要不等式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?br/>，
因?yàn)椋裕?br/>由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，
所以，即，
所以.
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
由余弦定理，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)的最小值為，所以c的最小值為.
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理可得，再由面積相等可得結(jié)果；
（2）求出的表達(dá)式并利用二次函數(shù)性質(zhì)求得時(shí)，，由正弦定理求出外接圓的半徑可得結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為，即；
由余弦定理可得，解得；
又的面積；
設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，
因此，
解得.
點(diǎn)到邊的距離為.
（2）如下圖所示：

在中，由余弦定理可得；
所以，
又，所以，且；
因此；
易知當(dāng)時(shí)，；
由可得為正三角形，所以；
設(shè)外接圓的半徑為，
在中由正弦定理可得，解得；
所以外接圓的面積為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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