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第7題 明辨奇偶性質，善用對稱性關系
（1）函數，已知，求的值．
（2）若函數是定義在上的偶函數，求此函數的值域．
（3）已知函數，求的值．
本小題是函數奇偶性的應用，直接計算，將f(m)代入．
依題意有，①
．
將①代入，得．
（全國·高考真題）
1．已知函數，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
根據已知函數的結構特點，令，其中是奇函數，從而由得解．
令，其中，可見，
對一切，都有，表明是奇函數，從而可得
，即．
（22-23高一上·貴州貴陽·階段練習）
2．已知函數，若，則（ ）
A． B． C． D．
本小題是判斷函數奇偶性的逆向問題，即已知函數的奇偶性，求參數的值．利用奇偶函數的定義，可建立關于參數的方程，即求解．
∵在上是偶函數，∴對任意，
都有，即，∴．
∵，∴，即．
∴，，值域為．
（2022·全國·高考真題）
3．若是奇函數，則 ， ．
由，不是偶函數，知道，為二次函數．討論其對稱軸為y軸，可求得參數值，得到二次函數式，求得其值域．
若，則不是偶函數，∴，故為二次函數．
其對稱軸為，又∵為偶函數，其圖像關于y軸對稱，
∴，∴，∴，，值域為．
（2022高三·全國·專題練習）
4．已知二次函數，，且函數為偶函數.
(1)求函數的解析式；
(2)若，求在區間上的值域.
觀察發現：自變量的取值關于原點具有對稱性，因此，注意考察函數的奇偶性，得到，從而尋求得到簡便算法．
由得函數的定義域是，
又，∴成立．
∴函數是奇函數．
∴，，．
∴．
（23-24高一下·湖北黃岡·階段練習）
5．已知函數在其定義域內為偶函數，且，則（ ）
A．1 B．4050 C．－ D．
【點評】
1．對于函數的奇偶性，要注意三個對稱性：①定義域的對稱性；②函數值的對稱性．以及由這兩個對稱性，確定得到的函數圖像的對稱性：函數是奇函數圖像關于原點對稱；函數是偶函數圖像關于y軸對稱．這一性質揭示了函數的奇偶性的“數”與“形”兩個側面的同一特征，為求值計算帶來方便．同時，運用對稱思想方法不僅可以處理解題中經常碰到的基本對稱問題，還可以處理與此相關或拓展的對稱性問題．
2．解題過程中也要注意以下性質的靈活運用：
（1）為偶函數；
（2）若奇函數在時有定義，則
（23-24高一上·江蘇無錫·期末）
6．已知函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高考真題）
7．已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）
8．已知函數（且），則等于（ ）
A． B． C．0 D．4
（23-24高一上·北京·期中）
9．已知函數，且，則 ．
10．對于函數，是否存在這樣的實數a，使是偶函數或奇函數．
（重慶·高考真題）
11．已知定義域為R的函數是奇函數.
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據題意得，再代入計算即可得答案.
【詳解】解：，，
，
，
.
故選：B
2．C
【分析】
令，即可判斷為奇函數，根據求出，即可求出，從而得解.
【詳解】解：令，則，即為奇函數，
因為，即，又，所以，即，所以，
所以.
故選：C
3． ； ．
【分析】根據奇函數的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數的有意義，則且
且，
函數為奇函數，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數的奇偶性求參
函數為奇函數
[方法三]：
因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．
由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．
故答案為：；．
4．(1)
(2)值域為.
【分析】
（1）先由得，再由函數的奇偶性得到的對稱性，從而利用二次函數的性質求得，進而得解；
（2）先分析得恒成立，從而得到，再利用二次函數的性質即可得解.
【詳解】（1）
因為，所以，則，
因為為偶函數，而的圖象是由的圖象向右平移2個單位而得，
所以的圖象關于對稱，則，
所以，所以.
（2）
由（1）知，，
所以，開口向上，對稱軸為，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，，
所以函數在區間上的值域為.
5．D
【分析】先利用的奇偶性求得，從而得到 ,進而利用并項求和法得解.
【詳解】因為為偶函數，所以，
即，
所以對任意恒成立，即.
所以，又，
所以，即，所以，
故，
所以
.
故選：D
6．C
【分析】根據求解即可.
【詳解】由題意，
故，又，則.
故選：C
7．D
【分析】
根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】
因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
8．A
【分析】令，計算得，進而，據此可得答案.
【詳解】解：設，則.
.
，
所以.
故選：A.
9．
【分析】
令，，即可判斷、的奇偶性，再根據奇偶性求出.
【詳解】令，，，
則，，
所以為奇函數，為偶函數，
又，且，，
所以，，
又，
所以.
故答案為：
10．存在實數，使是偶函數．
【分析】先假設函數是偶函數或奇函數，并利用偶函數或奇函數的性質得到a必須滿足的條件，由條件確定a存在或不存在，從而確定函數的奇偶性，再根據定義加以證明．
【詳解】由，．若函數是偶函數，
則．即；
若函數是奇函數，則，無解．
當時，，此時函數的定義域是，
對于定義域內任意自變量的值，
．
∴，即函數是偶函數．
存在實數，使是偶函數．
11．(1)，；
(2).
【分析】（1）根據，可得，再由即可求解；
（2）判斷在R上為減函數，結合函數為奇函數可得，然后根據即可求解.
【詳解】（1）因為是R上的奇函數，
所以，即，解得，
從而有，
又由，知，解得，
經檢驗，當時，，滿足題意；
（2）由（1）知，
任取，且，則
，
因為，所以，
所以，即，
所以在上為減函數，又因為為上為奇函數，
所以由得，
所以，得恒成立，
所以，
所以，
所以k的取值范圍為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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