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第10題 動靜轉(zhuǎn)換求范圍，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵
若函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
由題意，原問題等價于①或②
在上恒成立，問題的難點(diǎn)是如何解答這兩組含參數(shù)不等式組，不同的視角必然會產(chǎn)生難易不同的解法．
構(gòu)造函數(shù)，分類討論的最值滿足上述不等式.
令，其對稱軸為．
ⅰ當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，解得．
ⅱ當(dāng)，即，，則解得．
當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增．，
得，故．
當(dāng)，即時，，得，矛盾，舍去．
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減．，
得，矛盾，舍去．故a的取值范圍為．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【點(diǎn)評】此種思路易得，但過程較為繁瑣.
1．設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如果不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
對于的情況相對簡單，沿用上述解法，對于的求解過程作出改進(jìn)，采用由特殊到一般的思維過程，從而簡化了分類討論.
令，其對稱軸為．
ⅰ當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．，得．
ⅱ當(dāng)時，對恒成立．
故解得．
則由，在上單調(diào)遞增．可得．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）
2．已知二次函數(shù)（，為實(shí)數(shù)）
(1)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)圖象過點(diǎn)，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
通過對不等式的分析變形為，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解更顯簡潔直觀，對于的情況，沿用解法一
ⅰ令，其對稱軸為．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，解得．
ⅱ當(dāng)時，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
令，即當(dāng)時，對恒成立，即．
由得，如圖6-1所示可知，．
解得．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（23-24高一上·廣東深圳·期末）
3．已知函數(shù)，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若對，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
由題意，原問題等價于①或②在上恒成立.
對①②中的不等式實(shí)施參變分離，構(gòu)造關(guān)于的二次型函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值確定a的取值范圍．
ⅰ當(dāng)時，等價于對恒成立．
令，即對恒成立，
則．
ⅱ當(dāng)時，等價于對恒成立．
即，令．
易得，，可得．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（23-24高一上·河南駐馬店·期末）
4．已知定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)當(dāng)時，記的最大值為．，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
由題意，原問題等價于①或②在上恒成立.
對①②中的不等式剝離出，構(gòu)造函數(shù)和直線方程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，通過時兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系求解，體現(xiàn)了解決問題的直觀性.
ⅰ當(dāng)時，對恒成立．
即當(dāng)時，的圖像在的圖像上方．
是下凸函數(shù)，以代入不等式，得．
ⅱ當(dāng)時，，．
當(dāng)圖像經(jīng)過點(diǎn)時，二次函數(shù)為．
當(dāng)圖像經(jīng)過點(diǎn)時，二次函數(shù)為．
結(jié)合圖像均為下凸函數(shù)，故．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（23-24高一上·上海·期末）
5．若存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
由題意，原問題等價于①或②在上恒成立.
對①②中的不等式剝離出，構(gòu)造函數(shù)和直線方程，動靜角色轉(zhuǎn)換．方法五中在運(yùn)動中，線段是確定的，而這里是確定的，線段，在運(yùn)動中，這兩種解法的直觀性是明顯的，由于涉及曲線段與直線段的位置關(guān)系，詳細(xì)討論會顯得復(fù)雜，簡單處理則解題嚴(yán)謹(jǐn)性不夠，供讀者參考
ⅰ當(dāng)時，對恒成立．
的圖像在的圖像上方（），以點(diǎn)代入，可得；
ⅱ當(dāng)時，對恒成立，
即時，函數(shù)的圖像在和的圖像之間，以點(diǎn)代入，以點(diǎn)代入，結(jié)合函數(shù)圖像下凸的特點(diǎn)可知．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（2020·北京·高考真題）
6．已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
（23-24高一上·貴州銅仁·期末）
7．當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024高一·全國·專題練習(xí)）
8．定義上單調(diào)遞減的奇函數(shù)滿足對任意，若恒成立，求的范圍 .
（2024高三·全國·專題練習(xí)）
9．已知正實(shí)數(shù)滿足，且對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是 .
（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）
10．已知，不等式恒成立，則x的取值范圍 ．
11．已知，函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是 .
12．設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)．若不等式對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】先利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞块g的關(guān)系，令，所以原問題等價于，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，
且對于任意恒成立，
所以對任意恒成立，
等價于對任意恒成立，
令，
所以原問題等價于，
的圖像在上的對稱軸方程為，
又，
即，
由，
當(dāng)時，，
則；
當(dāng)時，
，
則，
當(dāng)時，
成立，
則；
綜上可得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題.（1）通過函數(shù)單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系；（2）恒成立問題的常用處理方法：判斷別式分析法、分類討論法、參變分離法.
2．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由對恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可.
【詳解】（1）依題意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依題意，對恒成立，
令，
則對，恒成立，于是，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
3．(1)或
(2)
【分析】
（1）令，利用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為，則或，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（2）令，原不等式可轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏虾愠闪ⅲY(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，求出即可求解.
【詳解】（1）
令，則，
當(dāng)時，等價于，即，
得，有或，
則或，所以或.
（2）
法一：令，由，得，
依題意得恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪ⅲ?br/>令，對稱軸，
①當(dāng)時，即，，得.所以.
②當(dāng)，即，，得.所以.
綜上所述，的取值范圍為.
法二：令，由，得，
依題意得恒成立，令，
①當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，
所以此時沒有最小值，即不存在使得不等式恒成立.
②當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，
即當(dāng)時，不等式恒成立.
③當(dāng)時，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
要使原不等式成立，須使恒成立，解得
綜上所述，的取值范圍為.
法三：令，由，得，
依題意得恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪ⅲ?br/>由，得，
①當(dāng)時，恒成立，R；
②當(dāng)，，所以在上恒成立，
令，，
則，
在上單調(diào)遞減，所以，
所以，的取值范圍為.
③當(dāng)，，所以在上恒成立，
令，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時等號成立，即，
所以，的取值范圍為
綜上所述，的取值范圍為.
4．(1)
(2)
【分析】（1）令，結(jié)合偶函數(shù)的定義計(jì)算即可;
（2）借助函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值為，再對進(jìn)行參變分離求出最值即可.
【詳解】（1）記，
為偶函數(shù)，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
.
（2）和都是單調(diào)遞增函數(shù),
在是單調(diào)遞增的，
,
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上單調(diào)遞增，
,
.
5．
【分析】由題意研究，，三個函數(shù)圖象的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對恒成立即可求解答案.
【詳解】如圖所示，若存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，
則直線在時位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因?yàn)樵跁r為凹函數(shù)，所以當(dāng)直線經(jīng)過時符合題意，
由，得，此時直線為，則，即對恒成立，
則，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用問題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于將原不等式轉(zhuǎn)化為三個函數(shù)圖象的關(guān)系，結(jié)合三次函數(shù)的凹凸性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為對恒成立，再通過求解最值得到答案.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，數(shù)形結(jié)合能力，屬于中難題.
6．D
【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋缘葍r于，
在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：
兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
不等式的解為或.
所以不等式的解集為：.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.
7．D
【分析】
對二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關(guān)系式求解.
【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，
當(dāng)時，滿足不等式恒成立；
當(dāng)時，令，則在上恒成立，
函數(shù)的圖像拋物線對稱軸為，
時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有，解得；
時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有，解得.
綜上可知，的取值范圍是.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容，分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實(shí)現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.
8．
【分析】根據(jù)為R上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，可得出對任意的恒成立，這樣求出的最小值，從而可得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，
又因在R上單調(diào)遞減，
所以對任意恒成立，
所以對任意恒成立，所以，
設(shè)，對稱軸，
所以當(dāng)時，，
所以.
故答案為：.
9．
【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】依題意，，解得，則
由得，
其中
①，
則當(dāng)時①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案為：.
10．或
【分析】
根據(jù)給定的不等式，構(gòu)造一次型函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.
【詳解】不等式等價于，令，
依題意，，，于是，
即，解，得或，
解，得或，
因此或，
所以x的取值范圍是或.
故答案為：或
11．
【分析】
從研究入手，令，從而使問題加以轉(zhuǎn)化，通過繪制函數(shù)圖象，觀察得解.
【詳解】
使得，
使得令，則原不等式轉(zhuǎn)化為存在，
要求實(shí)數(shù)的最大值，不妨令則，即，，
即的最大值是
12．
【分析】首先利用函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，接下來把a(bǔ)作為主元（變量），x作為參數(shù)，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，
【詳解】∵是增函數(shù)，∴對于任意恒成立．
，即對于任意恒成立．
令．，為關(guān)于a的一次函數(shù)，在上是一條線段，
由，得．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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