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第8題 周期性掛帥，諸性質聯袂
（2022·全國·高考真題）
（1）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
（2022·全國·高考真題）
（2）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．

根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【點評】利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；
（23-24高三下·上海·階段練習）
1．已知函數，定義域為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
①若，則；②若，則
A．② B．① C．①② D．都不對

觀察的結構特征，聯想到余弦函數和差化積公式
，故聯想構造特殊函數，從而尋求得到簡便算法.
【最優解】由，聯想到余弦函數和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【點評】作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.
（2024·四川瀘州·二模）
2．已知，都是定義在上的函數，對任意，滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．函數的圖像關于直線對稱 D．

本小題是一道多選題，根據函數的奇偶性，轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可得解.具體的，因為為偶函數，得到，亦即①，知道關于對稱；又因為為偶函數，，所以關于對稱.
對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
（23-24高三下·陜西·開學考試）
3．已知定義在上的函數為奇函數，為偶函數，當時，，則方程在上的實根個數為 ．

由方法一，知周期為2，且圖象關于對稱，故設，知，結合選項驗證即可.
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，又，得，即，所以關于對稱，因為其定義域為R，二者結合知周期為2，關于對稱！故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
【點評】根據題意，結合特殊值，得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．
（2024·河南新鄉·二模）
4．已知函數滿足，則下列結論一定正確的是（ ）
A．是奇函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數

根據，均為偶函數，可以得到即，，所以，；又，且函數可導，推出，結合選項代入驗證.
因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
（2021·全國·高考真題）
5．已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【點評】
1.涉及到抽象函數的求值問題，一般利用賦值法，即令x取特殊值，求得函數值；
2.涉及抽象函數的奇偶性、單調性、對稱性以及周期性問題，往往利用變量代換結合相關定義進行推導，確定新的關系.
3.函數的對稱性、奇偶性與周期性常見結論：
（1）若，則函數關于中心對稱；
（2）若，則函數關于對稱；
（3）若，則函數的周期為2a；
（4）若，則函數的周期為2a.
（5）設是R上的偶函數，且圖像關于直線對稱，則是周期函數，2a是它的一個周期；
（6）設是R上的奇函數，且圖像關于直線對稱，則是周期函數，4a是它的一個周期；
（7）若有兩條對稱軸和，則函數是周期函數，是函數的一個周期；
（8）若有兩個對稱中心 和，則函數是周期函數， 是函數的一個周期；
（2021·全國·高考真題）
6．設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
（2018·全國·高考真題）
7．已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則
A． B． C． D．
（2009·全國·高考真題）
8．函數的定義域為R，若與都是奇函數，則
A．是偶函數 B．是奇函數
C． D．是奇函數
（23-24高一下·四川成都·開學考試）
9．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．在上單調遞減
C． D．函數恰有8個零點
（2024·新疆·一模）
10．已知定義在上的函數，滿足，且，，則 .
（2024·江西鷹潭·一模）
11．已知函數，的定義域為，為的導函數，且，，若為偶函數，求= ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】
根據函數滿足的表達式可得是奇函數，是偶函數.由奇函數性質可得，利用賦值法可得；當時，可得，即，可知①錯誤.又時，，可得，即②正確.
【詳解】
由得，
所以，故是奇函數，
由得，
所以，故是偶函數，
由題意得
，
令得，
由是奇函數得，
令，由可得，
又，解得，
當時，，所以①錯誤.
由題意得
，
令得
當時，，所以②正確.
故選：A
【點睛】
關鍵點點睛：本題關鍵在于通過賦值法利用以及，得出函數的周期性規律，計算得出結果.
2．D
【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可判斷A、D，取可判斷C，對于B，通過觀察選項可以推斷很可能是周期函數，結合的特殊性及一些已經證明的結論，想到令和時可構建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步得出是周期函數，從而可求的值.
【詳解】對于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，結合得，
所以，故A錯誤；
對于D，因為，令，代入已知等式得，
將，代入上式，得，所以函數為奇函數.
令，，代入已知等式，得，
因為，所以，
又因為，所以，
因為，所以，故D正確；
對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：
，，
兩式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以為周期函數，且周期為，
因為，所以，所以，，
所以，
所以
，故B錯誤；
對于C，取，，滿足及，
所以，又，
所以函數的圖像不關于直線對稱，故C錯誤；
故選：D.
【點睛】思路點睛：對于含有的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發現可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.
3．
【分析】根據條件確定函數周期性，畫出函數在區間上的圖象，根據圖象可得實根個數.
【詳解】函數為奇函數，即，對稱中心為，
函數為偶函數，即，對稱軸為，
又由可得
函數是周期函數，且周期為，
當時，，則，
令，得，單調遞增，
令，得，單調遞減，
所以.
作出函數在區間上的圖象如下：
即在區間上，方程有個實根，
又,
則方程在上的實根個數為.
故答案為：.
4．B
【分析】利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數圖象平移的性質可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.
【詳解】因為，
令，可得，則；
令，則，
故的圖象關于點對稱，
則的圖象關于點對稱，即是奇函數，故B正確；
對于C，令，可得，則，
當時，，此時不可能是奇函數，
由于無法確定的值，故不一定是奇函數，故C錯誤；
對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；
故選：B.
5．B
【分析】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.
【詳解】因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，
故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
6．D
【分析】通過是奇函數和是偶函數條件，可以確定出函數解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．
【詳解】[方法一]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數的周期．
所以．
故選：D．
【點睛】在解決函數性質類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．
7．C
【詳解】分析：先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期，再根據周期以及對應函數值求結果.
詳解：因為是定義域為的奇函數，且，
所以,
因此，
因為，所以，
，從而，選C.
點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．
8．D
【詳解】[方法一]：
與都是奇函數，，
，函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期函數.，，即是奇函數.故選D.
[方法二]：
與都是奇函數，，
，由，得，
由，得，所以，
進而可得，可見是周期的周期函數.說明A與B不一定成立，C肯定不成立，而D成立的理由如下：，
，所以.
9．ACD
【分析】利用周期定義求出周期可判斷A；求出函數在上的解析式，結合周期性畫出的部分圖象可判斷B；利用周期性計算可判斷C；首先判斷為偶函數，再畫出函數、的圖象可判斷D．
【詳解】對于A，由，可得，
即的周期為，故A正確；
對于B，當時，，
則，
所以，，結合周期性畫出的部分圖象如圖所示：
由圖可得在上單調遞增，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，函數的定義域為，
又，
所以為偶函數，當時，令，
得，即，畫出函數的圖象，
又，，，
所以與在上的圖象只有個交點，
即在上只有個零點，
根據偶函數的對稱性可得恰有個零點，故D正確．
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：D選項解題的關鍵點是畫出函數與的圖象，數形結合得到零點個數.
10．
【分析】
根據所給條件推出為偶函數且周期為，再求出、、，最后根據周期性計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
又，所以，
即，即，所以為偶函數，
所以，
所以，所以的周期為，
又，，
所以，，，則，
，
所以，又，
所以
.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由題干所給條件推出的奇偶性與周期性.
11．
【分析】先利用復合函數的導數與的奇偶性判斷的奇偶性，進而推得與的周期性，再利用賦值法求得的值，從而得解.
【詳解】因為是偶函數，則，
兩邊求導得，所以是奇函數，故，
由，
代入，得，
則，所以，
又是奇函數，所以，
所以是周期函數，且周期為4，
又，可知也是以4為周期的周期函數，
令，得，故，
而所以，
令，得，則，
而，，
又，則，
，
故答案為：.
【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：
（1）若，則函數關于中心對稱；
（2）若，則函數關于對稱；
（3）若，則函數的周期為2a；
（4）若，則函數的周期為2a.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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