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第9題 周期函數(shù)圖象對(duì)稱，簡(jiǎn)化探尋方程的根
已知是定義在區(qū)間上以2為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)，．
（1）求在上的解析式．
（2）對(duì)自然數(shù)k，求集合．
根據(jù)題意，函數(shù)的解析式易于求得，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．關(guān)鍵是解答第（2）小題．問(wèn)題即方程，亦即，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，若用純代數(shù)方法，構(gòu)建不等式組繁瑣，故把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，，與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線的斜率a的取值范圍，結(jié)合兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)情況，確定得到參數(shù)值范圍，即集合MK.
（1）∵2是的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是的周期．
又∵當(dāng)時(shí)，．∴，
即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．
（2）（轉(zhuǎn)化為求直線的斜率a的取值范圍）
方程，即有兩個(gè)不等實(shí)根，，，
令，，，，
如圖7-1所示，在同一坐標(biāo)系中分別作出、的圖像．
的圖像是過(guò)原點(diǎn)，斜率為a的直線方程有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是兩個(gè)圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
從而，原方程有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，．
1．已知以為周期的函數(shù)其中，若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
根據(jù)題意，函數(shù)的解析式易于求得，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．(2）小題即方程，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.通過(guò)參變分離，令，，將方程轉(zhuǎn)化為另一類函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況求解.
（1）∵2是的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是的周期．
又∵當(dāng)時(shí)，．∴，
即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．
（2）（分離變量，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，尋求問(wèn)題的幾何意義）
，
令，，
作這兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖7-2所示，圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是．
即．
（江蘇·高考真題）
2．已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

根據(jù)題意，函數(shù)的解析式易于求得，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．(2）小題即方程，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè)，利用二次方程根的分布與二次函數(shù)圖象的關(guān)系求解.
（1）∵2是的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，也是的周期．
又∵當(dāng)時(shí)，．∴，
即對(duì)，當(dāng)時(shí)，．
（2）（用根的分布理論求解）
令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖像在區(qū)間
上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（如圖7-3所示），其充要條件是
解得．
【點(diǎn)評(píng)】利用二次方程根的分布求參數(shù)，一般要分析對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、判別式以及端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).
（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）
3．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【點(diǎn)評(píng)】
1.函數(shù)圖象在方程問(wèn)題中的應(yīng)用策略：
（1）研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；
（2）確定方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程的根就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根就是函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
2.已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
4．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為
A． B． C． D．
5．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足對(duì)，有，并且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）
6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意的，都有成立，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·陜西漢中·期末）
7．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2020高三·全國(guó)·專題練習(xí)）
8．方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 .
（23-24高一上·河北石家莊·期末）
9．已知定義在上的函數(shù)滿足：①的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②函數(shù)為偶函數(shù)；③當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．B
【分析】
依題意，將方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，分析函數(shù)組成和周期性，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，找到臨界位置，即可求出參數(shù)范圍.
【詳解】
方程可化為，
依題意，函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有5個(gè)交點(diǎn)．
分析函數(shù)的解析式知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象為的上半部分；
當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，為．
如圖所示，為一條過(guò)原點(diǎn)的直線，要使它適合題意，
需要與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，與沒(méi)有交點(diǎn)．
由于函數(shù)以為周期，故時(shí)，，其圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立方程消去y可得，
∴判別式，即．
又函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有交點(diǎn)，
聯(lián)立方程可得．
∴判別式，即．
綜上，m的取值范圍是.
故選:B．
2．
【詳解】作出函數(shù)的圖象，可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)，，，方程在上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和圖象與直線在上有10個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn)，則有．
【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．
3．A
【分析】
令，依題意可得，解得即可.
【詳解】
令，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，
所以，即，解得，
所以的取值范圍是．
故選：A．
4．D
【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足，可知其周期為，一條對(duì)稱軸為，可作出函數(shù)在上的圖象，再作出在上的圖象，根據(jù)圖象知兩函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，所以四個(gè)零點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱，所以零點(diǎn)之和為.
【詳解】根據(jù)奇函數(shù)滿足，可知其周期為，一條對(duì)稱軸為,可由 向右平移個(gè)單位得到，在同一坐標(biāo)系作出與的圖象如圖：
由圖象可知與都關(guān)于成中心對(duì)稱，所以四個(gè)零點(diǎn)也關(guān)于成中心對(duì)稱，設(shè)從小到大四個(gè)零點(diǎn)為，則，所以四個(gè)零點(diǎn)之和為，故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的圖像，函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，屬于難題.
5．A
【分析】
由恒成立可知圖像以為對(duì)稱軸，周期，作出的圖像，使得的圖像與的圖像至少有三個(gè)交點(diǎn)．
【詳解】
由得，以代，得，
由于為偶函數(shù)，所以，得出，可知圖像以為對(duì)稱軸．
在，令，得出，所以，函數(shù)周期，
時(shí)，，作出的圖像，如圖所示，

的圖像與的圖像至少有三個(gè)交點(diǎn)，即有且，解得，
故選：A．
6．D
【分析】
由題意可知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且周期為4，由此可畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合列出不等式組求解即可.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，
所以，
所以函數(shù)的周期為4，
畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

若在區(qū)間內(nèi)方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
顯然，則，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D．
7．C
【分析】易得函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象列出不等式組，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)是以為周期的周期函數(shù)，
方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
如圖所示，作出函數(shù)的函數(shù)圖象，
函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，
要使函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
8．
【分析】令，由二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】令，
由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，
只需，解不等式組可得，即的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查利用二次方程根的分布求參數(shù)，一般要分析對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、判別式以及端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
9．
【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)關(guān)于，對(duì)稱，且周期為4，再利用上的解析式，畫出函數(shù)圖象，有數(shù)形結(jié)合即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且，即，
又因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以，即，
可得函數(shù)的周期，
當(dāng)時(shí)，可得其圖象如下所示：
由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)滿足不等式的整數(shù)解有3個(gè)即可，
根據(jù)圖示可得，解得，
即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)圖象在方程、不等式中的應(yīng)用策略
(1)研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解；
(2)確定方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程的根就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根就是函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
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