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第12題 綜合法由因導果，分析法執果索因
已知，且，求證：．
采用分析法（執果索因），從所證不等式整體變形得到與條件完全一致的結果，也可以先分析得到不等式成立的條件，利用綜合法推出這一條件.
【點評】
1.通常一個命題或一個有待證明的數學問題，都是由條件和結論兩方面構成的，解題的過程一般總是有正、逆兩種不同的思維方向：一是從條件出發推導出結論的思維過程（由因導果），稱之為綜合；二是從結論出發逆向追溯到結論的條件（執果索因），稱之為分析．從論證的思維方向和表達形式來看，前者稱為綜合法，后者稱為分析法，這是證明高中代數推理題的兩種基本方法
2.從不等式證明的角度理解兩種證法的定義．
（1）綜合法．從已知條件或已證明過的基本不等式出發，結合不等式的基本性質，推導出所要證明的不等式，是“由因導果”的直接推理論證，每一步所推導出的不等式都是前一不等式的必要條件．
（2）分析法．先假定所證明的不等式結論成立，然后逐步求出使它成立的充分條件，直到所找到的充分條件是已知成立的不等式為止，基本思想是：“執果索因”“順藤摸瓜”，論證中通常采用“欲證……，只需證……”的形式．
3.從廣義上講，綜合法又稱之為順推法，分析法又稱為逆推法．由題目的條件出發推導其結論的順推法和由題目的結論出發回溯條件的逆推法分別相當于充要條件證明中的充分性和必要性的證明．
（22-23高二下·河南省直轄縣級單位·期中）
1．已知，求證：
采用綜合法（由因導果），從所證不等式左端變形，運用均值不等式，把條件代入可得結果.
綜合法1：由已知，且
．
所以.
綜合法2：
（23-24高一上·甘肅·期末）
2．已知，求證
(1)；
(2).

采用分析法（執果索因），從所證不等式整體變形得到與條件完全一致的結果
欲證原不等式成立，即證，
也即證．①
∵，故，代入①式得
，即證．
也即證或，而不可能成立，故即證．
由，，，得，因此原不等式成立．
（23-24高一上·遼寧丹東·階段練習）
3．（1）為實數，求證：
（2）用分析法證明：
根據已知，且，令，，注意應用三角恒等變換及三角函數的性質.
（三角換元結合函數單調性）令，，
則
．
令，∵，∴，設．
當時，．
∴，即在上為減函數，∴．
∴，等號當且僅當時成立．
4．a、b、x、y均為正數，且，求證：；
比較法是不等式證明的基本方法，一般有“差比法”、“商比法”.本題根據已知條件首先得到，.然后求證不等式兩邊作差、變形、定號、結論.
（23-24高一上·上海閔行·期中）
5．已知實數，滿足，求證：.
6．若，求證：，
7．若是不全相等的正數，求證：．
8． 設，且,試證：．
（2023·廣西南寧·一模）
9．設.
(1)，證明：；
(2)若，證明：.
（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）
10．完成下列不等式的證明：
(1)對任意的正實數，，，證明：；
(2)設，，為正實數，且，證明：.
（2023·河南·模擬預測）
11．設a，b為正數，且.證明：
(1)；
(2).
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．證明見解析
【分析】根據題意，將不等式轉化為只需證，然后逐步反推，即可證明.
【詳解】要證，
只需證，
即證，
只需證，
只需證，
即證，
因為，所以只需證，
因為成立，
所以原不等式成立.
2．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意，化簡得到，結合基本不等式，即可求解；
（2）根據題意，化簡得到，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以.
（2）解：因為，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以.
3．（1）見解析 （2）見解析
【分析】（1）先將轉化為，再利用基本不等式加以證明.
（2）分析使不等式成立的充分條件，一直分析到使不等式成立的充分條件顯然具備，從而使不等式得證.
【詳解】（1）要證，
需證，
，，，
，
即.
（2）欲證，
只需證，
即，
只需證，
即證，
只需證，而顯然成立，
所以成立.
4．證明見解析
【分析】根據式子的結構進行三角換元，利用三角變換進行證明.
【詳解】設，，
.
（其中），.
即證.
5．證明見解析
【分析】利用作差法比較大小即可證明.
【詳解】
，
因為，所以，
所以.
6．證明見解析
【分析】利用綜合法或分析法，結合完全平方公式即可得證.
【詳解】證法一（綜合法）：因為當時，，
所以，即，
因為，，
所以，故不等式得證.
證法二（分析法）：要證，即證，
即證，
因為，故證，
即證，即證，
只需證，即證，這是顯然成立的，故原不等式成立.
7．證明見解析．
【詳解】試題分析：根據基本不等式，得到成立，兩邊同時取對數，即可證明．
試題解析：證明：∵，
∴，
又上述三個不等式中等號不能同時成立．
∴成立．
上式兩邊同時取常用對數，得，
∴．
考點：對數的性質；基本不等式的應用．
【方法點晴】本題主要考查了對數函數的圖象與性質、基本不等式的應用，其中解答中涉及到不等式與不等關系的證明，基本不等式的應用和對數函數的運算與性質等知識點的綜合考查，著重考查了轉化與化歸思想，以及學生分析問題和解答問題的能力，本題的解答中，根據基本不等式和不等關系，得出成立是解答的關鍵，屬于中檔試題．
8．證明見解析
【分析】利用三角代換即可證明.
【詳解】由：
設
則恒成立.
即.
9．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由條件出發，得到，再結合基本不等式，即可證明；
（2）利用分析法，從結論出發，逐步得到使結論成立的充分條件.
【詳解】（1）證明：（1）由，
得.
由基本不等式及，
得，
即.
（2）因為，所以.
所以要證，
只需證，
只需證，
只需證，
即證，
而顯然成立，
故成立，
故成立.
10．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由基本不等式得到，相加后得到答案；
（2）由基本不等式得到，相加后得到答案.
【詳解】（1）由基本不等式可得，
所以，
即
當且僅當時取等；
（2）因為
所以，即，
因為
所以，
所以，當且僅當時取等
11．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）運用等量代換可得，結合轉化為求關于的二次函數在上的值域即可.
（2）將原式展開后結合可得，運用“1”的代換及基本不等式即可證得結果.
【詳解】（1）證明：由，可得，即，
所以，
因為a，b為正數，所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）證明：由可得，
由（1）可得，
所以，當且僅當即時取等號.
故，當且僅當時取等號.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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