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第13題 三角問題立足“三變”，關鍵在于恒等變換
已知，，則（ ）．
A． B． C． D．
把條件等式與聯立，解方程組求、的值，進而求的值，最后求的值，一步步深入，這是最基本的解法
∵∴．
∴或
∴或，代入公式，求得．
（2024·貴州畢節·二模）
1．若，且，則（ ）
A． B． C． D．
條件等式平方轉化為、的齊次式，利用“1”的代換，，弦化切求出，進而求的值.
∵，∴．
∴，分子分母同除以得，
解得或，
代入公式，求得．
（2024·湖南衡陽·二模）
2．已知，則（ ）
A． B． C．2 D．4
條件等式平方化為、的齊次式，利用“1”的代換，得到，降冪，弦化切
∵，∴．
∴．
∴，∴，∴．
3．已知，求的值．
對已知條件運用“輔助角公式”，求出符合條件的任意角，將轉化成用輔助角函數值表示的形式.
，由輔助角公式得（其中），
∴，．
∴或，．
∴．
（2024·江蘇·一模）
4．已知，且，，則 ．
運用對偶思想，令，聯立，兩對偶式平方相加求得t，通過解兩對偶式聯立的方程組求，再求.
令，聯立，
兩對偶式平方相加，得，解得．
當時，由方程組可解得，∴；
當時，由方程組可解得，∴．
（24-25高三上·浙江·開學考試）
5．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
運用“幾何構圖”，以形助數巧妙求解.構造兩個斜邊分別為2和1，其中一銳角為α的和，使AM、MD構成一長方形的邊長.
構造兩個斜邊分別為2和1，其中一銳角為α的和，使AM、MD構成一長方形的邊長，如圖所示，
∵，∴．又∵，∴．
∴，∴，．
則．
（2023·貴州貴陽·模擬預測）
6．十七世紀德國著名天文學家開普勒曾經說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作黃金礦的話，黃金分割就可以比作鉆石礦”．如果把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，那么我們常見的五角星則是由五個黃金三角形和一個正五邊形組成．如圖所示，（黃金分割比），則（ ）
A． B．
C． D．
【點評】
1.三角式的恒等變形是一種基本的數學技能，它的依據是三角變換公式和代數中代數式的恒等變換的一般方法，三角變換公式如：同角三角函數的基本關系式、兩角和與差的公式、二倍角與半角公式、萬能公式．積化和差與和差化積公式等，公式的數量較多，學習時要通過理解角的關系以及三角函數的關系揭示公式之間的內在聯系、掌握公式的推導線索．要理解公式，注意公式的適用范圍和符號的取舍，三角變換貴在靈活運用公式，掌握公式的逆用和各種變形的運用，以達到熟練、恰到好處地運用公式解決具體問題的目的．
2.不同角的三角函數關系式使用起來與同角三角函數關系式最大的不同點是必須根據題目的題設條件與結論去確定所應用的公式，而選定公式的能力靠觀察角度關系、熟悉公式特征來培養．已知條件和所要求的角之間不相同時，常看它們的和、差、倍的情況，定能找出角之間的關系．角的變換是三角變換技巧之一，轉化思想是實施三角變換的主導思想，變換包括：函數名稱變換、角的變換、運算結構的變換.變換時必須熟悉公式，分清和掌握哪些公式會實現哪種變換，也要掌握各個公式的相互聯系和適用條件．
3.“恒等”這個詞始終是三角變換的重點．三角恒等變換中的方法與技巧是必須掌握的解題能力．在三角恒等變換中較為重要的變換技巧如下．
（1）函數名稱的差異變換：
①切割化弦，弦化切割；②異名化同名．
（2）角的差異變換：
①異角化同角；②拆角、配角技巧．
（3）運算結構的差異變換：
①升次降次；②分式通分；③無理化有理；④和（差）積互化；⑤“1”的代換．
（4）引入輔助角的變換、角的分析與三角式的配湊．
（2024·山東泰安·一模）
7．若，則（ ）
A． B． C．2 D．
（23-24高一下·江蘇蘇州·階段練習）
8．已知，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）
9．已知，則 .
（2024·北京·模擬預測）
10．已知滿足：，則 ； .
（23-24高一下·上海·階段練習）
11．已知，，求的值.
（23-24高一下·云南·階段練習）
12．已知是的內角，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】首先判斷，再由同角三角函數的基本關系求出，最后由二倍角余弦公式計算可得.
【詳解】因為，且，
所以，又，解得或（舍去），
又，解得或，
又，所以，所以，所以.
故選：B
2．A
【分析】利用誘導公式，二倍角公式和同角三角函數基本關系，結合角的取值范圍，可求角的正切值.
【詳解】由，
所以或.
又，所以.
所以.
故選：A
3．1
【分析】將所求式中的“1”替換成，得到正弦、余弦的齊次式，構造分母，分數上下同除以，即可化成關于的表達式,代入計算即得.
【詳解】∵，，
∴原式
．
即．
4．##
【分析】變形后得到，利用輔助角公式得到，得到，兩邊平方后得到，利用同角三角函數關系求出.
【詳解】由題可知，所以，
所以，
因為，所以，
又，所以，故，
所以，
兩邊平方后得，故，
．
故答案為：
5．D
【分析】利用和差公式和同角三角函數關系以及二倍角即可得出結論.
【詳解】將平方得，
所以，則．
所以，
從而．
聯立，得．
所以，．
故．
故選：D
6．D
【分析】構造，根據題意推得.然后根據誘導公式以及二倍角的余弦公式化簡，即可得出答案.
【詳解】如圖：
過D作于E，則．
，
所以，.
故選：D．
7．C
【分析】先利用誘導公式結合二倍角的正弦公式及商數關系和平方關系化弦為切，再根據二倍角的正切公式即可得解.
【詳解】由，得，
即，即，
所以，所以，
則.
故選：C.
8．ABD
【分析】根據題意，利用三角函數的基本關系式，逐項計算，即可求解.
【詳解】因為，平方可得，
解得，
因為，所以，所以，所以A正確；
又由，
所以，所以D正確；
聯立方程組 ，解得，所以B正確；
由三角函數的基本關系式，可得，所以C錯誤.
故選：ABD
9．##
【分析】利用二倍角的正弦公式與正余弦的齊次式法即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
10． ##
【分析】根據同角三角比的基本關系求解出的值，然后利用二倍角的余弦公式并結合弦化切即可求出的值.
【詳解】因為，所以；
因為，所以，
所以，
故答案為：；.
11．
【分析】借助降冪公式與輔助角公式，同角三角函數的基本關系與二倍角公式計算即可得.
【詳解】，
即，由，故，
故，
則.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由題意，從而可求得，得到，從而可求解.
（2）由（1）結論可求出，然后再利用二倍角公式及兩角和的余弦公式從而可求解.
【詳解】（1）由，所以，
則，因為，則，所以，則，
所以，
則.
（2）由（1）得，解得，
且，，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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