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第11題 不等式里面含參數，轉化與化歸辟蹊徑
設，若時均有，求a的值．
直接把所給不等式變為等價的兩種不等式組，通過參變分離，構造函數，用研究函數的最值確定a的值.不等式等價于如下兩種情況：
ⅰ，ⅱ．分別討論求解.
不等式等價于如下兩種情況：
ⅰ，ⅱ．
對于ⅰ，有．
這時，對，有．
易知，函數在上為增函數，在區間右端點取到最大值；
函數在上為減函數，在區間右端點取到最小值．
有，得．
對于ⅱ，有．
這時，對，有．
易知，函數在上為減函數，在區間左端點取到最大值；
函數在上為增函數，在區間左端點取到最小值．
有，得．
合并兩種情況，求并集得．
又當時，對均有．
∴為所求．
1．設a，，若對任意，都有，則 ， ．
利用變更主元法，已知不等式變形為關于a的不等式，即．
解關于a的不等式得，通過求的最大值、的最小值確定a的值.
將已知不等式變形為關于a的不等式，對有
．
比較與的大小知，當時，有；當時，有．
ⅰ當時，解關于a的不等式，得，有，得．
ⅱ當時，解關于a的不等式，得．
有，得．∴．
又當時，對均有．
∴為所求．
（2024高三·全國·專題練習）
2．設函數是定義在上的增函數．若不等式對于任意恒成立，求實數x的取值范圍.

視ax為主元，原不等式變形為，比較與的大小進一步討論求解.
視ax為主元，原不等式變形為，，
比較與的大小知，當時，有；
當時，有．
ⅰ當時，解關于ax的不等式，得．
即．
有，得．
ⅱ當時，解關于的不等式，得．
即．
有，得．∴．
又當時，對均有．
∴為所求．
3．設函數是定義在上的增函數．若不等式對于任意恒成立，求實數x的取值范圍.

根據不等式，構造函數，，討論兩函數的圖像與性質確定a的值.
令，，則兩函數圖像都經過同一點．
ⅰ當時，對一切有，需不等式在時恒成立，而二次函數的圖像開口向上，顯然在時不能恒成立，即不成立．
ⅱ當時，函數在上單調遞增．
且在時，在時．
故只需在時，，在時，．
∵二次函數的對稱軸方程為，函數圖像開口向上，且過點，
∴只需，即，整理得，故（舍去）．
4．設a，，若對任意，都有，則 ， ．

已知不等式變形為關于a的不等式，即．轉化為研究直線介于兩函數與圖像之間（）.
對，已知條件可以變形為關于a的不等式，即直線介于兩函數與的圖像之間（如圖所示），故直線過兩圖像與的交點，得．
（20-21高一上·江蘇南通·階段練習）
5．不等式有多種解法，其中有一種方法如下，在同一直角坐標系中作出和的圖象，然后根據圖象進行求解，請類比此方法求解以下問題：設，若對任意，都有成立，則的值可以是（ ）.
A．1 B． C．8 D．0

視ax為主元，原不等式變形為，．這表明ax介于與之間，轉化為根據直線介于兩函數與圖像之間（）求參數.
視ax為主元，原不等式變形為，．這表明ax介于與之間，即在右半平面上．直線介于兩函數與的圖像之間（如圖所示）．故直線過兩圖像數與的交點，代入，得．
（23-24高一上·上海·期末）
6．若存在實數，對任意實數，不等式恒成立，則實數m的取值范圍是 .

視a為主元，原不等式變形為，．把它看成a的二次不等式，按x分類討論，利用特殊值確定a的值.
將原不等式看成關于a的二次不等式，即．
當時，；
當時，．∴當時，，故．
（遼寧·高考真題）
7．已知函數，，且對任意的實數t均有，．
(1)求函數的解析式；
(2)若對任意的，恒有，求x的取值范圍．

注意到時不等式成立，直接利用特殊值法，由求解.
由題意知時不等式成立．
即，∴，故．
又當，時，有．
∴．
（高三·北京·強基計劃）
8．如果不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍是 ．
（2017·天津·高考真題）
9．已知函數設若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
（22-23高一上·上海浦東新·階段練習）
10．設，若關于的不等式對任意的恒成立，則的最大值為 .
11．已知，若對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍為 ．
（22-23高一上·浙江杭州·期中）
12．若不等式對任意的恒成立，則的最大值為 .
（23-24高三上·上海浦東新·期中）
13．已知函數
(1)解不等式;
(2)若關于的方程在上有兩解，求的取值范圍:
(3)若函數，其中為奇函數，為偶函數，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.
14．求使（，）恒成立的a的最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 1
【分析】由題意首先得到，，其次由數軸穿根法討論的大小關系可知它們不相等不符合題意，進一步可知，結合a，，即可求解.
【詳解】若對任意，都有，則有，．
理由如下：若，則當無窮小時，，矛盾，
若，則當無窮小時，，矛盾，
所以，
若，，則，
這與對任意，都有矛盾，
若， ，，
這與對任意，都有矛盾，
綜上所述，，．
方程的根為，，，
由數軸穿根法可知：
若，則當時，如圖所示，
可知，不合題意．
若，則當時，如圖所示，
可知，不合題意．
因而，所以，
又a，，故，．
故答案為：1；.
2．
【分析】首先利用函數的單調性，把函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，接下來把a作為主元（變量），x作為參數，把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值解決，
【詳解】∵是增函數，∴對于任意恒成立．
，即對于任意恒成立．
令．，為關于a的一次函數，在上是一條線段，
由，得．
3．
【分析】首先利用函數的單調性，把函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，接下來把a作為主元（變量），x作為參數，把不等式恒成立問題轉化為求函數的最值解決，
【詳解】∵是增函數，∴對于任意恒成立．
，即對于任意恒成立．
令．，為關于a的一次函數，在上是一條線段，
由，得．
4． 1
【分析】由題意首先得到，，其次由數軸穿根法討論的大小關系可知它們不相等不符合題意，進一步可知，結合a，，即可求解.
【詳解】若對任意，都有，則有，．
理由如下：若，則當無窮小時，，矛盾，
若，則當無窮小時，，矛盾，
所以，
若，，則，
這與對任意，都有矛盾，
若， ，，
這與對任意，都有矛盾，
綜上所述，，．
方程的根為，，，
由數軸穿根法可知：
若，則當時，如圖所示，
可知，不合題意．
若，則當時，如圖所示，
可知，不合題意．
因而，所以，
又a，，故，．
故答案為：1；.
5．BC
【解析】結合題意，排除、；當，時，作出兩函數的圖象，數形結合可得，結合即可得解.
【詳解】若時，當時，，此時恒成立，即，
不存在這樣的實數；
當時，，此時即對任意恒成立，
不存在這樣的實數；
所以，，
當，時，函數是減函數，與x軸的交點為，
函數與x軸的交點為，
在同一直角坐標系內，畫出函數的圖象，如下圖所示：
數形結合可得，若滿足題意，則即，
又，，，所以或，
所以或.
故選：BC.
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是準確理解題意，結合二次函數、一次函數的性質分類討論，轉化條件為.
6．
【分析】由題意研究，，三個函數圖象的關系，進而轉化為對恒成立即可求解答案.
【詳解】如圖所示，若存在實數，對任意實數，不等式恒成立，
則直線在時位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因為在時為凹函數，所以當直線經過時符合題意，
由，得，此時直線為，則，即對恒成立，
則，則，即實數m的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數圖象的應用問題.本題的關鍵點在于將原不等式轉化為三個函數圖象的關系，結合三次函數的凹凸性進一步轉化為對恒成立，再通過求解最值得到答案.本題考查轉化與化歸能力，數形結合能力，屬于中難題.
7．(1)；
(2)
【分析】（1）先求出，根據題意轉化為對任意的實數，都有；對任意的實數，都有列不等式求出，即可得到的解析式；（2）轉換主元，令，列不等式組，即可求解.
【詳解】（1）因為函數，所以.
對任意的實數t均有，，所以可轉化為：
對任意的實數，都有；對任意的實數，都有，
所以，即，解得：.
所以.
（2）可化為，記.
對任意的，恒有，
只需，即，解得：，
即.
所以實數x的取值范圍為.
8．
【分析】利用特例可判斷，再證明當時，不等式恒成立即可得到參數的取值范圍.
【詳解】分別取和，可得．
接下來證明時命題成立，
此時只需要證明
這顯然成立，因此所求實數a的取值范圍是．
故答案為：.
9．B
【分析】由題意，令，作出函數的圖象，當的圖象與的圖象相切時求得，若使得不等式在R上恒成立，需滿足、，即可求解.
【詳解】由題意知，令，函數的圖象如圖所示，

當函數的圖象經過點時，得.
當的圖象與的圖象相切時，
由，得，結合圖形，由得.
若不等式在R上恒成立，
當時，需滿足，即，
當時，需滿足，即，
所以，
所以實數a的取值范圍為.
故選：B.
10．
【分析】假設，可得與矛盾，所以，即，解不等式，根據不等式的解集確定，進而可得的最大值.
【詳解】假設，則由不等式得，
又，所以，則，與矛盾，
所以，即，
不等式
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等的解集為，
又，，
所以若不等式對任意的恒成立，
則只需，即，解得，
所以，即的最大值為，
故答案為：.
11．
【分析】思路一：移向轉換為對一切實數x恒成立，對分類討論即可求解；思路二：移向構造函數，對分類討論，轉換為函數最小值大于0求參數即可；思路三：分離參數，構造函數，利用導數求最值即可求解.
【詳解】解法一（運用判別式）：由已知可得，
即對一切實數x恒成立．
當時，不可能恒成立，
從而由二次函數的性質可得，只能，解得．
因此實數a的取值范圍為．
解法二（利用二次函數圖像與性質）：原不等式整理得，
令，則原問題轉化為對恒成立．
當時，拋物線開口向下，顯然不合題意；
當時，，其圖像是一條直線，也不合題意；
當時，拋物線開口向上，只要，即．
解得或，∴，因此實數a的取值范圍為．
解法三（參變分離，構造新函數，運用導數求解函數的單調性及最值）：
∵恒成立．
∴問題轉化為對恒成立，從而．
令，則，
令，則或．
從而在，上單調遞增，在上單調遞減．
又，且當時，，故．
于是，因此實數a的取值范圍為．
故答案為：.
12．
【分析】根據不等式對和分類討論，分別滿足不等式對任意的恒成立，列式求解即可.
【詳解】解：①當時，由得到在上恒成立，顯然a不存在；
②當時，由，可設，
由的大致圖象，可得的大致圖象，如圖所示，
由題意可知則，所以，
當且僅當，即時，取等號，所以的最大值為
綜上，的最大值為
故答案為：
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由換元法求解，
（2）參變分離后轉化為求值域問題，
（3）由函數的奇偶性先求出、的解析式，再由換元法與參變分離求解.
【詳解】（1）設，則原不等式可化為，解得，
則，
故原不等式的解集為
（2），即，
設，則在上有兩解，
由圖知，

（3）由題意得
解得
故原不等式即對恒成立，
令，不等式可化為對恒成立，
即，而，由對勾函數性質得當時，
取最大值，則
【點睛】本題主要考查函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于中檔題. 不等式恒成立問題常見方法：
① 分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 數形結合(圖象在 上方即可)；
③ 討論最值或恒成立；
④ 討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范圍.
14．
【分析】思路一：對所給不等式平方變形結合均值不等式，通過比較確定a的最小值；思路二：由題設條件構造函數，由均值不等式求的數最值，進而確定a的最小值；思路三：通過對題設不等式變形，運用三角換元法求解.
【詳解】解法一：由于a的值為正數，將已知不等式兩邊平方，得
，即，①
∵、，∴，②
當且僅當時，②式中等號成立，比較①②式，可得a的最小值滿足．
即（∵），∴a的最小值為．
解法二：設．
∵，，∴（當且僅當時等號成立），
∴，的最大值是1，從而可知，u的最大值為．
又由已知得，∴a的最小值為．
解法三：∵，，∴原不等式可化為，
設，，∴，即．
∴．③
又∵的最大值為1（此時），故由③式可知a的最小值為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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