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第3題 二次問題恒成立，轉化最值求參數
設函數，對任意，恒成立，則實數m的取值范圍是______．
由所給的解析式及對應法則，原不等式可轉化為含參數不等式對恒成立，求參數m的取值范圍.原不等式化簡，參變分離，令求的最小值轉化為解關于m的不等式結論
∵，∴，即，∵，∴恒成立．
令，∵，∴．
，∴，即．
∴或．
∴．
（23-24高三下·河南·開學考試）
1．已知正數滿足，若恒成立，則實數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
原不等式化簡，參變分離，整理成令求的最小值令或轉化為解關于m的不等式結論.
不等式可化為，
即．
整理，得，∵，∴．
令，．
于是問題轉化為對任意，恒成立向題，為此需求，的最大值．
設，則．函數在區間上是增函數．
因此在處取得最大值．
∴．整理得．
∴，解得或．
∴．
評注：問題轉化為對任意，恒成立后，可以用下面的方法求，的最大值，從中讀者可以體會對觀察問題的不同視角可以呈現不同的解題方法，值得比較和品鑒．
設，則，于是．
∵函數在上是增函數，∴當時，，從而，∴．
整理，得，即．解得或．
（23-24高一上·浙江·階段練習）
2．已知，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為 .
原不等式化簡，整理成令轉化為二次函數時恒成立結論.
不等式可化為，
即，
整理，得，令．
由于，則其判別式，因此的最小值不可能在函數圖象的頂點處得到．∴為使對任意恒成立，必須使為最小值，如圖3-1所示．
即實數m應滿足
解得．因此實數m的取值范圍是．
【點評】
有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．
（23-24高一上·廣西·階段練習）
3．已知函數
(1)若函數在上是單調函數，求實數的取值范圍.
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
運用特例法，以代入原不等式轉化為解關于m的不等式結論．作為填空題，與其他解法比較，取特例驗證最為簡捷.
由題設，∵對任意，恒成立，則對，不等式也成立．把代入不等式，得．
即．①
∵，①式兩邊同乘以，并整理得，
即．∴．解得或．
因此，實數m的取值范圍是．
（2024·全國·模擬預測）
4．已知函數，若對任意，則所有滿足條件的有序數對是 ．
（23-24高一下·重慶·階段練習）
5．設函數的定義域為，滿足，且當時，，若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023高二上·山西·學業考試）
6．設函數，對任意恒成立，則實數的取值范圍是 ．
（23-24高一上·江蘇揚州·階段練習）
7．已知正實數滿足，且對任意恒成立，則實數的最小值是 .
（2018·天津·高考真題）
8．已知，函數若對任意，恒成立，則a的取值范圍是 ．
（23-24高一上·云南曲靖·期中）
9．已知二次函數
(1)若為偶函數，求在上的值域；
(2)當時，恒成立，求實數a的取值范圍.
（2024高三·全國·專題練習）
10．設函數．
(1)若對于一切實數，恒成立，求實數的取值范圍；
(2)若對于，恒成立，求實數的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
將原不等式轉化為，再求的最大值即可得到的最小值.
【詳解】
因為，所以，
因為，所以，
故，
又，
當且僅當時，等號成立，
故，實數的最小值為.
故選：D.
2．
【分析】先把原不等式分解為二次不等式，分類討論后運用整體代換和基本不等式即可.
【詳解】原不等式，
由，知時，，時，，
故由原不等式知時，時，
由恒成立知且，即，
故所求式，
設，則，
則所求式遞增，
故最小值在時取得：.
故答案為：.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函數的性質，建立不等式即可求出結果；
（2）根據題意得，當時，恒成立，構造函數，將問題轉化為即可求解.
【詳解】（1）函數的對稱軸為，
又函數在上是單調函數，
或，解得或，
∴實數a的取值范圍為；.
（2）
當，時，恒成立，即恒成立，
令，恒成立，
函數的對稱軸，
，
故m的范圍為.
4．
【分析】
由題意可得，然后利用不等式的性質對不等式組變形可求得結果.
【詳解】
因為對任意，
所以必須滿足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
經檢驗，當，時，，則
的最大值為，的最小值為，
滿足任意，
所以滿足條件的有序數對只有一對，
故答案為：.
5．D
【分析】
由題設條件畫出函數的簡圖，由圖象分析得出的取值范圍.
【詳解】當時，，
則，
即當時，，
同理當時，；
當時，.
以此類推，當時，都有.
函數和函數在上的圖象如下圖所示：
由圖可知，，，解得，
即對任意，都有，即的取值范圍是.
故選：D.
6．
【分析】
變換得到，計算的最大值得到，解得答案.
【詳解】
原不等式可化為，，則，
令，則，因為最大值為2，所以，
即，解得.
故答案為：.
7．
【分析】利用分離常數法，結合二次函數的性質求得正確答案.
【詳解】依題意，，解得，則
由得，
其中
①，
則當時①式取得最大值.
所以的最小值是.
故答案為：.
8．
【分析】
由題意分類討論和兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.
【詳解】分類討論：①當時，即：，
整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結合二次函數的性質可知：當時，，則；
②當時，即：，整理可得：，
由恒成立的條件可知：，
結合二次函數的性質可知：當或時，，則；
綜合①②可得的取值范圍是，
故答案為:.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函數的定義求出，再利用二次函數求出值域即可得；
（2）變形給定不等式，分離參數構造函數，求出函數最小值即可得解.
【詳解】（1）
函數定義域為R，由是偶函數，得，
即，
整理得，而不恒為0，
因此，函數，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
于是，又，，則，
所以在上的值域是；
（2）
不等式，
依題意，，，而對勾函數在上單調遞減，
當時，，
即當時，，則，解得，
所以實數a的取值范圍是.
10．(1)
(2)
【分析】（1）分和兩類情況，當時采用驗證法即可；當時根據一元二次不等式和二次函數之間的關系建立不等式組即可求出實數的取值范圍.
（2）方法一：先利用分離參數法得出；再求出函數在上的最小值即可求解.方法二：先將問題轉化為在上恒成立；再分類討論，利用函數的單調性求出函數的最大值即可求解.
【詳解】（1）要使恒成立，
若，顯然；
若，則，解得．
綜上：實數的取值范圍是．
（2）方法一：
由得：，即.
因為，所以．
因為函數在上單調遞增，
所以函數在上單調遞減，
當時，函數在上取得最小值，最小值為，
所以只需即可，所以的取值范圍是．
方法二：
由，得，即.
令，
當時，在上是增函數，
則，解得，所以；
當時，恒成立；
當時，在上是減函數，
則，解得，所以．
綜上所述，的取值范圍是．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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