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第1題 集合關(guān)系與運(yùn)算，轉(zhuǎn)化化歸渡難關(guān)
設(shè)集合，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，均有，則實(shí)數(shù)b的最大值為_(kāi)_____．
參變分離得，要使此不等式恒成立，的最小值，而該最小值完全可以運(yùn)用均值不等式求得.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A中任意元素均能使成立，則．
當(dāng)時(shí)，．
∵，∴．
ⅰ當(dāng)時(shí)，；
ⅱ當(dāng)時(shí)，
∵，∴．
綜上，b的最大值為2．
1．集合A中的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示，設(shè)，N為自然數(shù)集．若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解，臨界狀態(tài)是兩者相切.
當(dāng)時(shí)，．
．
依題意可知，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，，切點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)A中任意元素均能使成立，則．
∴b的最大值為2．
2．已知集合.若，求實(shí)數(shù)的取值范圍
確定主元，視集合A中的方程為關(guān)于a的二次方程，利用判別式得到關(guān)于x、y的不等式，再把此不等式變形為的不等式，而集合B中的不等式變形為，而此不等式恒成立，即，在解的不等式時(shí)即可得到.
以a為主元，原方程整理為．
由得．
∴．
當(dāng)時(shí)，有，解得或．∴
當(dāng)時(shí)，．
綜上，b的最大值為2．
3．設(shè)集合，，則有（ ）
A． B．
C． D．
4．集合，．若集合，則應(yīng)滿足
A．或 B．
C．或 D．
（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）
5．集合，集合，若中有8個(gè)元素，則值可能為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）
6．函數(shù)的最大值記為M，最小值記為m，其中為負(fù)常數(shù)，若，則 ，T的最小值為 ．
7．設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)．
集合．
集合．
集合．
是平面xOy內(nèi)的點(diǎn)集，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a、b能同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：
①；②．
8．試求實(shí)數(shù)k的取值范圍，使拋物線的所有弦都不能被直線垂直平分.
（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）
9．已知集合.
(1)求；
(2)若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．
【分析】
方法一：分離參數(shù)得，設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得到不等式，解出即可；方法二： 轉(zhuǎn)化為存在3個(gè)大于1的整數(shù)解，利用兩函數(shù)，的圖象得到不等式組，解出即可.
【詳解】
解法一：由題意，當(dāng)時(shí)，不成立．
故存在3個(gè)大于1的整數(shù)解．
此時(shí)，等價(jià)于存在3個(gè)大于1的整數(shù)解．
令，由于，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由圖1-1知，，即，即.
解法二：由題意，當(dāng)時(shí)，不成立．
故存在3個(gè)大于1的整數(shù)解．
此時(shí)，等價(jià)于存在3個(gè)大于1的整數(shù)解．
令，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
如圖1-2所示，作出兩函數(shù)圖象，
易知，即，解得.
故答案為：.
2．
【解析】集合表示的是二次函數(shù)上的所有的點(diǎn)，集合是直線在區(qū)間上的線段，由可知，兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為方程在上有根的問(wèn)題
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以方程組在上有解，
所以方程在上有根，
（1）當(dāng)方程在上有兩個(gè)根時(shí)，
則，且，且，
解得，
當(dāng)時(shí)，方程為，即，此時(shí)方程的根為或，兩根均在區(qū)間上，
所以
（2）當(dāng)當(dāng)方程在上有1個(gè)根時(shí)，
則且，
解得，
由（1）可知當(dāng)時(shí)，方程在上有兩個(gè)根，
所以
綜上，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍，
【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，由集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.
3．D
【分析】對(duì)集合中的方程中左邊的項(xiàng)移項(xiàng)，然后用平方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)集合中的參數(shù)方程用平方法進(jìn)行消參，然后逐一判斷即可.
【詳解】,化簡(jiǎn)后再通過(guò)平方法化簡(jiǎn)，得，因此；
，因此
，
顯然，，，.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集、并集的運(yùn)用，方程的恒等變形、消參是解題的關(guān)鍵.
4．A
【解析】先化簡(jiǎn)集合，再由，轉(zhuǎn)化為直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
因?yàn)椋?br/>由可得：
直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，
由得或，
作出曲線的圖像如下：
由圖像易知，當(dāng)直線恰好過(guò)時(shí)，恰好無(wú)交點(diǎn)；
因此時(shí)，滿足題意；
綜上或.
故選A
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)的范圍，熟記直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于常考題型.
5．B
【分析】對(duì)中的正負(fù)討論，可得其表示的圖象為正方形，又由含有8個(gè)元素即圖中正方形與圓有8個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得解.
【詳解】由，當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋?br/>當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋?br/>當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋?br/>當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)椋?br/>其對(duì)應(yīng)圖象如圖所示正方形，集合表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
由含有8個(gè)元素即圖中正方形與圓有8個(gè)公共點(diǎn)，即圓與正方形的關(guān)系介于內(nèi)切與外接之間，
則，解得.
故選：B.
6． 9
【分析】
根據(jù)題意可得，，進(jìn)而可得的值；不等式為，解得k的取值范圍，不等式可化為對(duì)任意恒成立，即可得出答案．
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
所以，，
所以，不等式即，
所以，
令，因?yàn)闉樨?fù)常數(shù)，所以，
由，得到，則，
即，解得，
因?yàn)椋裕?br/>由，即，
即對(duì)恒成立，
所以，即，所以最小值為.
故答案為：9；
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，則的值域是值域的子集 ．
7．不存在
【分析】
先假設(shè)存在，利用判別式的符號(hào)，整數(shù)解的情況以及集合的限制條件得出矛盾.
【詳解】
解法一: 假設(shè)存在a，b使得關(guān)于m，n的方程組,至少有一組整數(shù)解．
可知點(diǎn)在直線上，
原點(diǎn)到此直線的距離為
，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．但，∴，∴，∴．
即與矛盾．
故不存在a、能使題中的兩個(gè)條件同時(shí)成立，即滿足已知兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)a、b不存在．
解法二：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足題中的兩個(gè)條件，
則必存在整數(shù)n，使，
于是它的判別式，即．
又由，得．
由此可得，即，故．
代入上述解及，得．∴．
將，代入方程，求得．
∴滿足已知兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)a、b不存在．
解法三：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、b同時(shí)滿足題意中的兩個(gè)條件，即有
消去b，得．
（∵）．
又∵，∴關(guān)于a的二次不等式無(wú)解．∴這樣的a、b不存在．
8．
【分析】先假設(shè)拋物線上兩點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱.求出的取值范圍，即可得到不存在時(shí)的取值范圍
【詳解】設(shè)拋物線上兩點(diǎn) 關(guān)于直線對(duì)稱.
的中點(diǎn)為，則，，
由題設(shè)知，
∴，且的中點(diǎn)在直線上，
∴，因此中點(diǎn).
由于點(diǎn)P在的區(qū)域內(nèi)，∴，
整理得，解得.
因此當(dāng)時(shí)，拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱
∴當(dāng)時(shí)，拋物線上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
9．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合集合運(yùn)算可得結(jié)果.
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題解一元二次不等式可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由，得，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，則恒成立，即，即，
因?yàn)椋越獾茫?br/>當(dāng)時(shí)，則恒成立，即，
因?yàn)椋越獾?
綜上，的取值范圍是.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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