資源簡介

第5題 直線與圓關系，巧求面積最值問題
【四川省成都市石室中學2023～2024學年高三上學期期中考試T16】
如圖，已知圓，圓，過直角坐標原點作直線分別交兩圓于，過點作直線分別交兩圓于，連接，則四邊形面積的最大值為______．

由相似以及線段比例得出面積比，進而得出，設，得出，，再由導數法得出面積最值．
設軸與圓交于點，交圓于點，連結，，則，
．同理，
所以，
設，則，
則，設點到直線的距離為，
則，
所以，
設，
當單調遞增，當，單調遞減，
所以當．
1．在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是 ．
（23-24高三上·海南·階段練習）
2．在平面直角坐標系中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則面積的最大值是 ．
分別過兩圓心作AB垂線，利用相似比得出，再由面積公式以及基本不等式得出面積最值．
作于于，易知，
所以，同理．
記面積為，則，
，所以．
下面求面積為的最大值（半徑為1的內接三角形）
當且僅當時取等號，
所以．
（23-24高二上·湖北武漢·期中）
3．已知點的坐標為，點是圓上的兩個動點，且滿足，則面積的最大值為 ．
（2023·安徽阜陽·三模）
4．已知A，B分別為圓與圓上的點，O為坐標原點，則面積的最大值為 .
設，對面積構造一個關于的函數，利用圓內接三角形面積最大的結論（圓內接正三角形面積最大）求解．
設，
則，所以
（2022·全國·模擬預測）
5．在平面直角坐標系中，點，直線-1），動點滿足，則動點的軌跡的方程為 ，若的對稱中心為與交于兩點，則的方程為面積的最大值為 ．
（2023·河北·一模）
6．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點，與圓相交于，兩點，則四邊形的面積的最大值為（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
（2022高三·全國·專題練習）
7．過圓內一點作傾斜角互補的直線和，分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2020高三下·全國·專題練習）
8．已知過定點P(2，0)的直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取到最大值時，直線l的傾斜角為（ ）
A．150° B．135°
C．120° D．不存在
（18-19高二上·湖南長沙·開學考試）
9．已知圓，過圓T內定點作兩條相互垂直的弦和，那么四邊形面積最大值為（ ）
A．21 B． C． D．42
（20-21高三上·安徽池州·期末）
10．過點的直線與圓相交于A，B兩點，則（其中O為坐標原點）面積的最大值為
A． B． C．1 D．2
（20-21高三上·重慶·階段練習）
11．在平面直角坐標中，已知，，是圓上的兩個動點，滿足，則面積的最大值是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導數求最大值.
【詳解】
設圓心到直線距離為，則，
所以點P到AB的距離為或，且
所以
令（負值舍去）
當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，
故答案為：
【點睛】本題考查垂徑定理、利用導數求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
2．
【分析】
根據條件先確定出的位置關系，然后利用到的距離表示出，由此構造函數利用導數求解出的最大值.
【詳解】設中點為，因為，所以，
由垂徑定理可知，且有公共點，所以共線，
所以，
設到的距離為，所以，，
所以到的距離為（位于和之間）或（位于和之間），且，
所以且，
設，
所以，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，所以的最大值為，
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓的綜合運用，涉及到幾何法表示弦長、利用導數求最值，對學生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關鍵點有兩個：（1）根據長度關系能推理出位置關系；（2）表示出后選擇用導數求解出對應最大值.
3．
【分析】
設，，的中點，由題意求解的軌跡方程，得到的最大值，寫出三角形的面積，結合基本不等式求解．
【詳解】設，，的中點，
點，為圓上的兩動點，且，
，①，
，②，
③
由③得，即④，
把②中兩個等式兩邊平方得：，，
即⑤，
把④代入⑤，可得，即在以為圓心，以為半徑的圓上．
則的最大值為．
所以．
當且僅當，的坐標為時取等號．
故答案為：
4．##
【分析】作圓M關于y軸對稱的圓，根據對稱性，把問題轉化為轉化為在半徑為1的內接三角形OEF的面積的最大值問題，運用三角形的面積公式和基本不等式計算即可求解.
【詳解】設M：，則半徑為1；
圓N：，則，半徑為2.
以ON為直徑畫圓，延長BO交圓于F，連接FE，NE，NF，
如圖:

則，又，所以F為BO的中點，
由對稱性可得，
，及，
所以，
故當最大時，最大，
故轉化為在半徑為1的內接三角形OEF的面積的最大值問題，
對于一個單位圓內接三角形的面積，
，又，，
所以，
當且僅當時，即三角形為等邊三角形時等號成立，
此時，
所以，
即三角形OEF的面積的最大值為，
所以最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：利用對稱思想把面積問題轉化為圓內接三角形面積最大問題，用不等式求最值是難點.
5．
【分析】先根據條件求出 的方程，作圖，分析圖中的幾何關系，設立參數，寫出面積的解析式即可.
【詳解】設，由題意得，
化簡得的方程為，；
直線的方程可化為，由
解得， 所以直線過定點，
又 ，所以點在圓的內部；
作直線，垂足為，
設，易求，所以，
所以，
所以，
所以當，即時，；
故答案為：， .
6．B
【分析】設圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，可得，，可求四邊形的面積的最大值．
【詳解】設圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，
直線，互相垂直，垂足為，，
，，
．
故選：B．
7．D
【分析】
設直線的方程為，其中，設點、，將直線的方程與圓的方程聯立，列出韋達定理，結合梯形的面積公式以及導數法可求得四邊形面積的最大值.
【詳解】
設直線的方程為，其中，設點、，
聯立可得，
，
由韋達定理可得，，
，
易知四邊形為等腰梯形，
所以，四邊形的面積為，
令，其中，則，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，因此，四邊形面積的最大值為.
故選：D.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查四邊形面積最值的求解，解題的關鍵就是求出四邊形面積的表達式，結合導數法求解.
8．A
【分析】由題意轉化條件得曲線y＝為x2＋y2＝2(y≥0)，設過點P(2，0)的直線為y＝k(x－2)，利用點到直線的距離可得d＝，再由垂徑定理可得|AB|，進而可得S△AOB，利用基本不等式即可得解.
【詳解】由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原點O為圓心，半徑的圓的一部分，如圖所示：
設過點P(2，0)的直線為y＝k(x－2)，則圓心到此直線的距離d＝，
弦長|AB|＝＝，
所以S△AOB＝
，
當且僅當4k2＝2－2k2即k2＝時等號成立，
解得k＝－或k＝ (舍去)，
所以直線l的傾斜角滿足，所以.
故選：A.
【點睛】本題考查了圓的方程、直線與圓的位置關系的應用，考查了利用基本不等式求最值，屬于中檔題.
9．D
【分析】設圓心到、的距離分別為，，則，代入面積公式，使用基本不等式求出四邊形的面積的最大值.
【詳解】解：設圓心到、的距離分別為，.
則.
四邊形的面積為：
.
當且僅當時取等號，
故選：D.
【點睛】此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，學生做題時注意對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，屬于中檔題．
10．B
【解析】設圓心O到直線的距離為，根據垂徑定理，用表示，將面積表示為的函數，用基本不等式即可求解.
【詳解】如圖所示，過O作，垂足為M，
設，則，所以的面積
當且僅當時，取等號.
故選:B
【點睛】本題考查直線與圓的關系，解題的關鍵是垂徑定理的應用，屬于基礎題.
11．
【分析】首先判斷在弦的垂直平分線上.求得當過圓心時三角形的面積. 若不過圓心，設圓心到的距離為，求得三角形的面積的表達式，利用導數求得面積的最大值.
【詳解】圓的圓心為，半徑.
，在弦的垂直平分線上，
若過圓心， 則，
若不過圓心，設圓心到的距離為，；
，
，.
，
記，
則，
故在上為增函數，在上為減函數，
，.
故答案為：
【點睛】在求解最值的過程中，可利用導數作為工具來進行求解.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑