資源簡介

第6題 函數性質圖象聯手，函數不等式對策多
（1）若函數在上是增函數，則a的取值范圍是______；
（2）設函數，若當時，不等式有解，則實數b的取值范圍是______．
由增函數的定義，設，且，根據．
轉化成時，恒成立，從而只要時，即可．
設，且，則．
即，得．
即．
∵，∴，即．
∵，∴欲使恒成立，需求．
還要考慮函數有意義，欲使時，恒成立．
只要時，即可，得．
綜上可得，所求a的取值范圍是．
（23-24高二下·遼寧·開學考試）
1．已知是定義在R上的偶函數，當，且時，恒成立，，則滿足的m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
令，利用復合函數的單調性，知當和時，函數顯然單調遞增；
只需研究當時，要使在上單調遞增的條件．
令，當和時，函數顯然單調遞增；
當時，要使在上單調遞增，只需．
即，從而可知．
還要考慮函數有意義，欲使時，恒成立．
只要時，即可，得．
綜上可得，所求a的取值范圍是．
（23-24高一下·重慶沙坪壩·開學考試）
2．已知函數，若對任意都有，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
令，問題等價于在區間上的最小值小于0．利用二次函數的對稱軸與區間的位置關系分類討論求解．
由題意可知在區間上有解．
令，則等價于在區間上的最小值小于0．
ⅰ當，即時，在上單調遞減，∴，即，∴；
ⅱ當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，∴恒成立，∴；
ⅲ當，即時，在上單調遞增，∴，即，∴．
綜上，實數b的取值范圍為．
（23-24高一上·福建·期中）
3．若至少存在一個，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
由在區間上有解，通過分離參數得在區間上有解，研究在區間上的最值．
由題意可知在區間上有解．
∴分離參數得在區間上有解．
令，可得在區間上單調遞減．
∴，從而實數b的取值范圍為．
（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）
4．關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是 .
把能成立問題轉化為恒成立問題，利用補集法求解：由在區間上有解，從反面考慮，即先考慮在區間上無解，也即在區間上恒成立，結合圖象建立不等式組求解．
由題意可知在區間上有解．
從反面考慮，即先考慮在區間上無解，也即在區間上恒成立，
設，結合圖像知，只需滿足
解得，∴在區間上有解時，，即實數b的取值范圍為．
（23-24高一上·上海徐匯·期中）
5．（1）用反證法證明：對任意的，關于的方程與至少有一個方程有實根；
（2）若不等式對于一切實數都成立，求實數的取值范圍.
聯想“三個二次”關系，令，可知在區間上能成立．從而利用二次函數圖像特征找到突破口．
由題意可知在區間上有解，
設，則在區間上能成立．
易知函數的圖像經過點，在區間上能成立，只需，∴．即實數b的取值范圍為．
（23-24高一上·江蘇鎮江·期中）
6．若關于的不等式在區間內有解，則實數的取值范圍 .
（23-24高三上·安徽池州·期末）
7．已知函數在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·河南鄭州·階段練習）
8．已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一上·江蘇常州·期末）
9．已知函數的定義域為，若存在，滿足，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高一上·浙江臺州·階段練習）
10．已知不等式在上有解，則實數的取值范圍是 .
（23-24高一上·四川內江·期末）
11．已知二次函數的最小值為，且是其一個零點，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區間上的最小值；
(3)若關于x的不等式在區間上有解，求實數m的取值范圍．
（23-24高一上·山東濰坊·階段練習）
12．已知關于的不等式.
(1)是否存在實數，使不等式對任意恒成立，并說明理由；
(2)若不等式對于恒成立，求實數的取值范圍；
(3)若不等式對有解，求的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】
利用構造函數法，結合函數的單調性、奇偶性來求得m的取值范圍.
【詳解】設，由，
得，
所以，
令，則，
所以函數在上單調遞增，
因為是定義在R上的偶函數，所以，
所以對任意的， ，
所以，函數為上的偶函數，且，
由，可得，即，
即，所以，解得，
故選：D
【點睛】方法點睛：形如的已知條件，往往是給出函數的單調性，可以利用函數單調性的定義來進行求解.利用函數的單調性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉化為函數不等式的形式，然后結合單調性、奇偶性去掉函數符號，再解不等式來求得答案.
2．D
【分析】根據題意任意，都有即，構造函數從而得在上單調遞增，然后利用復合函數知識從而可得在單調遞增，從而可求解.
【詳解】
因為若對任意，都有，
所以對任意，都有，
令，則在上單調遞增．
首先.
因為在上遞增，所以在上遞增．
當時，顯然符合題意；
當時，令，
則在上遞增，所以，則.
綜上所述，，故D正確．
故選：D．
3．A
【分析】
化簡不等式，根據二次函數的圖象、含有絕對值函數的圖象進行分析，從而求得的取值范圍.
【詳解】依題意，至少存在一個，使得關于的不等式成立，
即至少存在一個，使得關于的不等式成立，
畫出以及的圖象如下圖所示，其中.
當與相切時，
由消去并化簡得，
.
當與相切時，
由消去并化簡得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合題意.
當過時，.
結合圖象可知的取值范圍是.
故選：A
【點睛】對于含有參數的不等式問題的求解，可考慮直接研究法，也可以考慮分離參數，也可以合理轉化法.如本題中的不等式，可以將其轉化為一邊是含有絕對值的式子，另一邊是二次函數，再根據二次函數以及含有絕對值的函數的圖象來對問題進行分析和求解.
4．
【分析】
根據題意將不等式轉化為在能成立即可，再由二次函數性質求出即可得的取值范圍是.
【詳解】由不等式以及可得，
依題意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函數性質可知，即可得；
即實數的取值范圍是.
故答案為：
5．（1）見解析；（2）
【分析】
（1）證明假設不成立即可；
（2）注意討論不等式是否為一元二次不等式即可.
【詳解】（1）假設：存在的，關于的方程與沒有一個方程有實根，
則解得，即不存在這樣的，和假設矛盾，
因此假設不成立，原命題得證.
（2）不等式對于一切實數都成立,
即對于一切實數都成立，
當時，得，對于一切實數都成立，符合題意；
當時，得，解得.
綜上， 實數的取值范圍是
6．
【分析】
根據二次函數的性質，結合配方法進行求解即可.
【詳解】，
設，
，該二次函數的對稱軸為，開口向下，
當時，，
要想關于的不等式在區間內有解，
只需，
所以實數的取值范圍為，
故答案為：
7．A
【分析】
根據題意，結合對數型復合函數的單調性的判定方法，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數在上單調遞增，
因為函數在區間上單調遞增，
則有函數在區間上恒正且單調遞增，
則滿足且，解得，
所以實數的取值范圍是．
故選：A.
8．A
【分析】
確定由和復合而成，根據復合函數的單調性，列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】
令，則，即由和復合而成，
而在上單調遞增，
故要使得函數在上單調遞減，
需滿足在上恒成立，且在上單調遞減，
即得，解得，即，
故選：A
9．D
【分析】
由已知結合函數的單調性可求的最大值與最小值，然后結合存在性問題與最值關系的轉化即可求解.
【詳解】令，且在單調遞減，所以的最小值為，
可得，且，
所以在上單調遞增，所以
因為存在，滿足，
則，
所以
解得：，
故選：D.
【點睛】
結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規則轉化：
一般地，已知函數，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集.
10．
【分析】變換得到，設，則，得到，根據函數的單調性計算最值得到答案.
【詳解】，即，，故有解，
設，則，
，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故，故.
故答案為：.
11．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據二次函數對稱性和最小值設頂點式，代入零點即可得到解析式；
（2）分和討論即可；
（3）通過分離參數法和基本不等式即可求出的范圍.
【詳解】（1）因為對都有，
所以的圖象關于直線對稱，
又因為二次函數的最小值為，
所以可設二次函數的解析式為，
又因為是其一個零點，
所以，解得，
所以的解析式為.
（2）由（1）可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，當時，，
當時，，
.
（3）因為關于的不等式在區間上有解，
即不等式在上有解，所以，
記，因為，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為4，
所以，即，
故存在實數符合題意，所求實數的取值范圍為.
12．(1)不存在實數，理由見解析
(2)
(3)
【分析】
將轉化為，
（1）討論和時的情況；
（2），顯然該函數單調，所以只需即可.
（3）討論當時，當時，當時，如何對有解，其中，，均為一元二次不等式，結合一元二次函數圖象求解即可.
【詳解】（1）
原不等式等價于，
當時，，即，不恒成立；
當時，若不等式對于任意實數恒成立，
則且，無解；
綜上，不存在實數，使不等式恒成立.
（2）
設，
當時，恒成立，
當且僅當，即，
解得即，
所以的取值范圍是.
（3）
若不等式對有解，
等價于時，有解.
令，
當時，即，此時顯然在有解；
當時，時，結合一元二次函數圖象，顯然有解；
當時，對稱軸為，，
時，有解，
結合一元二次函數圖象，易得：或，
解得或（無解），
又∵，
;
綜上所述，的取值范圍為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑