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2009年瑞安市中小學教師評選論文
學 段：□高中 □初中 □小學 □幼兒園
類 別：學科教學
學 科： 高 中 數 學
學 校： 瑞 安 市 龍 翔 高 級 中 學
姓 名： 湯 章 虹
論文題目： “概率四兄弟”教法淺析
（內頁不要署名）
附件4:
論文評選承諾書
本人 湯章虹 參加2009年瑞安市中小學教師論文評選，鄭重承諾所交論文內容不存在剽竊、抄襲等弄虛作假行為，如有虛假，愿接受一切處理。
承諾人： 湯章虹
單 位：(蓋章)
2009年 月 日
“概率四兄弟“教法淺析
提要 概率論是研究偶然、隨機現象的規律性的數學理論，產生于17世紀中葉。它不僅有自己獨立的研究問題，還在現實世界中有著意想不到的應用。高中數學概率問題是高考的必考的知識點，而古典概型是一種特殊的數學模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。
主題詞 古典概率 二項式定理 伯努利實驗
我把古典概率歸結為四種類型，形象地把他們稱為概率四兄弟：
（老大）簡單隨機抽樣型：
一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成，如果一次試驗中可能出現的結果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率：
例1：如某盒子中有8個黑球，2個白球，從中隨機取出一個球，則取到一個白球的概率為
變式：兩個黑球和兩個白球除顏色外均相同。現將球依次取出，求第二次取到黑球的概率。
解法一： 把這四個球編號，例如黑球編號為1、2，白球編號為3、4，把這四個球依次取出有4×3×2=24種可能。第二次取到黑球有2×3×2=12種可能。則第二次取到黑球的概率為
解法二：只需考慮取到前兩個球時的情況從四個球中依次取出兩個有 4×3=12種可能第二次取到黑球有2×3=6種可能則所求概率為
解法三： 不考慮球的編號，把4個球依次取出，相當于在4個位置上放兩個相同的黑球和兩個相同的白球，一共有6種放法其中第二個位置放黑球有3種放法則所求概率為
解法四： 只關心第二次取到的球，無非是1、2、3、4號球4種可能。取到黑球即：取到第1或第2號球則所求的概率為
（老二）“至少有一個型“、”或型”：互斥事件至少有一個發生的概率
例2：如某盒子中有8個黑球，2個白球，從中隨機取出2個球，則至少取到一個白球的概率為
+==
（老三）“A且B型”：相互獨立事件同時發生的概率
例3：如甲、乙、丙三個人每人射擊命中目標的概率分別為0.7、0.8、0.9，求他們三個人同時擊中的概率是多大？
（老四）“伯努利實驗型”：某一事件A在n次獨立重復實驗中發生k次的概率，叫“伯努利實驗”簡稱“伯氏實驗”
在概率四兄弟中老大是基礎，而伯氏實驗則是綜合中的特例，解題是要充分運用四兄弟的各功能，則會如魚得水，左右逢源。
例4：某運動員在一次動會中參加100米、200米、400米三項比賽，根據以往比賽成績，他獲得這三項比賽第一名的概率依次為0.9、0.8、0.85
求（1）他這三項均未獲得第一名的概率；
（2）他在這三項比賽中恰有一項未獲得第一名的概率。
分析：第(1)問中要讀懂“均”的數學含義，在這里“均”指“都”，即“且”型———且100米未得第一名且200米未得第一名且400米未得第一名。
第（2）問中恰有一項未獲得第一名的“恰”在這里的含義是指“恰100米未得第一名或200米未得第一名或400米未得第一名”，所以這一問是屬于“或”型
解（1）：
（2）
=
=
=0.068+0.153+0.108
=0.329
解題反思：本題是“且型”、“或型”的混合型小綜合題。
例5．在一個中袋中，裝有形狀大小完全相同的10個編號不同的小球，其中紅色球2個，黃色球4個，小李隨機地從中取也3個并記下顏色后又將其放回，
在小李鄧也的3個球中，求含有兩種顏色球的概率，
小李這樣連續取出5次，求恰有兩次取也的是兩種顏色球的概率。
分析：3個球有兩種顏色說明一種顏色有2個球，另一種顏色只有一個球（具體分為紅2黃1或紅1黃2），第2小題中“連續取5次”相當于做5次實驗，“恰”有2次取到兩色球相當于恰有2次實驗成功，可用伯氏實驗可算出概率。
解：（1）
（2）
比較例1與例2，雖然題目中都有恰這個字，但解法略有不同，一定要注意區別。概率問題中有幾何概率和古典概率兩大部分，其中的古典概率題目大部分是四兄弟問題中的綜合問題，只要把這四兄弟掌握好就可以解答很多問題，不過教學上有“無法之法，乃為至法”一說,上述這些只是對概率的初步的闡述，希望能起到拋磚引玉的作用。

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