資源簡介

大題培優(yōu)06導(dǎo)數(shù)
目錄
【題型一】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：一次型雙參 1
【題型二】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：雙線型 3
【題型三】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)： 三角函數(shù)型 6
【題型四】恒成立求參：整數(shù)解型 9
【題型五】恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)解 11
【題型六】能成立求參 14
【題型七】能成立求參：雙變量型 17
【題型八】能成立求參：三角函數(shù)型 20
【題型九】零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)與三個(gè)零點(diǎn) 22
【題型十】同構(gòu)型求參 26
【題型十一】同構(gòu)型證明不等式 29
【題型十二】三個(gè)零典型證明不等式 31
【題型十三】證明含三角函數(shù)型不等式 34
【題型十四】三角函數(shù)型極值點(diǎn)偏移 36
【題型十五】數(shù)列型不等式證明 38
【題型一】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：一次型雙參
對于求導(dǎo)后，其中皆為參數(shù) 1.令，得第一討論點(diǎn) 2.令動(dòng)根定義域端點(diǎn)值，可得其余討論點(diǎn) 3.注意對應(yīng)討論點(diǎn)斜率正負(fù)。根的位置，畫出對應(yīng)圖像，查找落在定義域部分正負(fù) 4.以討論點(diǎn)為分界點(diǎn)，分段討論，不要忘了分界點(diǎn)。 5.分界點(diǎn)可以合并到區(qū)間處（需要檢驗(yàn)）
1.（北京交通大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三12月月考數(shù)學(xué)）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）取a＝0并記此時(shí)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（其中）處的切線為l，l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為，求的解析式及的最大值．
【答案】（1）答案見詳解
（2），；
【分析】
（1）求導(dǎo)得，分類討論參數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）求出過點(diǎn)的切線方程，分別令求出，令求出，結(jié)合三角形面積公式可求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解的最大值．
（1）（1）由求得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
時(shí)，，單調(diào)遞減；
時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)的切線方程為，
令得，令得，，，
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單減，
故.
故，；.
2.已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，與y＝m圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，問題轉(zhuǎn)化為證明，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
解（1），，，當(dāng)時(shí)，，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，
由，得，時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）
證明：由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
不妨設(shè)，由條件知，即，
構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，由可得：，
由的圖像明顯可得在上，的圖像在圖像的上方，
即，即，，知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．可知，欲證，只需證，
即證，考慮到在上遞增，只需證
由知，只需證令，
則，
即在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，，結(jié)合知，
即成立，即成立．
【題型二】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：雙線型
如型雙線討論法 1.第一線：2.第二線： 3.雙線共系： 4.可討論動(dòng)根與定根的大小關(guān)系，然后知兩線函數(shù)值積的正負(fù) 5.要留意指數(shù)函數(shù)有漸近線，所以討論時(shí)候注意“第二線”是否有根
1．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求得的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)性.
（2）由分離常數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.
【詳解】（1）由題知的定義域?yàn)椋?．
若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；
若，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
由，得，故．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，得
設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞減，
∵，∴由得．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】對于恒成立問題，常通過分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為含參部分大于（或小于）另一端不含參數(shù)部分的最大值（或最小值）問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究不含參數(shù)部分的最值，若分離參數(shù)后不易求解，就要從分類討論和放縮等問題入手解決．
2.已知函數(shù)，既存在極大值，又存在極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，、分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.【分析】
（1）由已知可得，分析可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，解方程，可得出關(guān)于的不等式，即可得解；
（2）求得，，可得出，，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證不等式對任意的是否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
（1）
解：由可得，
因?yàn)楹瘮?shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，
由可得，，所以，，解得且.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）解：，則.由可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
由可得或，則函數(shù)的增區(qū)間為和，
所以，，，則，，由題意可得對任意的恒成立，由于此時(shí)，則，所以，，則，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
令，則.
①當(dāng)時(shí)，，所以，在上單增，所以，即，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程的兩根分別為、，則，，設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，即，不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
3.（四川省南充市2021-2022學(xué)年高三高考適應(yīng)性）已知函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，設(shè)，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）證明見解析
【分析】
（1）求出后，分，，三種情況，由的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行證明即可.
（1），，令，得或，
①當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，時(shí)；當(dāng)時(shí).在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，由，得或;由，得，
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
存在唯一的，使得．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn).
【題型三】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)： 三角函數(shù)型
1.三角形式注意適當(dāng)合理的恒等變形 2.充分利用三角函數(shù)正余弦的有界性。
1.已知.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，證明:當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）對求導(dǎo)可得，討論、求自變量范圍，即可確定單調(diào)區(qū)間；
（2）由題設(shè)得，討論、、結(jié)合導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可證明結(jié)論.
（1）
由題意知：，
令，得或，令，得，
∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）由題意知：，
①當(dāng)時(shí)，，
易知：在上單調(diào)遞減，且，
（i）若，則，則在上單調(diào)遞增
又，，則在上有唯一零點(diǎn)；
（ii）若，則，又，∴存在，使得，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，∴在上有唯一零點(diǎn)，
綜上，在上唯一零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，由，則在上單調(diào)遞減，又，，∴在上有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)，∴，故在上無零點(diǎn)，綜上，時(shí)在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
2.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的最值．
【答案】
（1）在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減
（2）的最大值為1，最小值為
【分析】(1)結(jié)合已知條件求出，然后求出，進(jìn)而即可求解；(2)首先求出的周期，然后結(jié)合(1)中條件即可求解.
（1）由題意，，
令，，解得或或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
（2）由，易知是以為周期的周期函數(shù)，
故可取這一周期討論最值，因?yàn)樵趨^(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
故在和取得極小值，在取得極大值，因?yàn)椋?br/>所以的最大值為1，最小值為．
3.已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．
【答案】
（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）
【分析】
(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再進(jìn)行分類討論判斷導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；
(2)將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，再利用（1）的結(jié)論進(jìn)行求解，即可得到答案；
（1），，
①當(dāng)時(shí)，，
在恒成立，，在單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令，則在恒成立，
在單調(diào)遞增，且，在恒成立，
即在恒成立，在單調(diào)遞增，綜上所述：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在單調(diào)遞增，且，
在恒成立，在單調(diào)遞增，，
.
【題型四】恒成立求參：整數(shù)解型
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求證；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對于恒有：，若存在，請求出k的范圍以及正整數(shù)a的值；若不存在請說明理由.（下表的近似值供參考）
ln2 ln3 ln4 ln5 ln6 ln7 ln8 ln9
0.69 1.10 1.38 1.61 1.79 1.95 2.07 2.20
【答案】(1)證明見解析(2)存在，，
【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)最小值，故證明即可，變形后得到，構(gòu)造函數(shù)證明出結(jié)論；
（2）由（1）可知，參變分離后，二次求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，求出，并求出正整數(shù)a的值.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴．下證：，上式等價(jià)于證明．設(shè)函數(shù)，
則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，則，即．
（2）由（1）可知，故不等式只有唯一的正整數(shù)解，則．
設(shè)函數(shù)，則，其中，．
令函數(shù)，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，，
故存在滿足，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．
其中，，，故，∴，此時(shí)．
2.（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請說明理由？（下表的近似值僅供參考）
【答案】(1)。(2)存在，，
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程；
（2）問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)值的情況，即可求出的值．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
求導(dǎo)，則切線的斜率又，即切點(diǎn)，
故函數(shù)在處切線的方程：
（2）函數(shù)，則，，求導(dǎo)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，
對于恒有，轉(zhuǎn)化為，即，
令，求導(dǎo)。求二階導(dǎo)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且
，存在使得，又
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
(3)，(4)，(5)，
，，，此時(shí)．
3.（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，（）.
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)-1(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）對求導(dǎo)，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性和極值；
（2）（ⅰ）將題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的根，，令，對求導(dǎo)，判斷與的大小，即可求出的單調(diào)性和極值，畫出的圖象即可得出答案；（ⅱ）由題意可將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，令，即恒成立，記函數(shù)，，即對求導(dǎo)，可證明，即可得出答案.
【詳解】（1）由題意得：，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以.
（2）（ⅰ）由題意得的定義域?yàn)椋?br/>因兩個(gè)不同極值點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不同的根，（），
即方程有兩個(gè)不同的根，。記函數(shù)，則
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
所以。又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
且當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于，所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng).

（ⅱ）由（ⅰ）知得，（※），所以，即（※※），
由不等式恒成立，即恒成立，
由（※）、（※※）得即恒成立，
亦即恒成立，設(shè)，時(shí)，得恒成立，
進(jìn)而得恒成立（※※※），記函數(shù)，，
則，（），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以恒成立，故滿足題意
當(dāng)時(shí)，若時(shí)有，則在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)有，與題意（※※※）不符，綜上得正數(shù)的取值范圍是.
【題型五】恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)解
1.（2020·云南昆明·統(tǒng)考三模）已知．
（1）證明：；
（2）對任意，，求整數(shù) 的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）證明見解析；（2）2．
【解析】（1）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算得到證明.
（2）令，則，計(jì)算得到，再證明恒成立即可，令，證明在上單調(diào)遞增，計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
所以，所以．
（2）由恒成立，令，則，由，得整數(shù)，
因此．下面證明對任意，恒成立即可．
由（1）知，則有，由此可得：
，
令，則，
設(shè)，又，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
故當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，
綜上所述：整數(shù) 的最大值為2．
2.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，不等式對任意恒成立，求滿足條件的最大整數(shù)b.
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）3；
【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)分析知在上恒成立，分類討論參數(shù)
，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，時(shí)，不能恒成立，時(shí)，上恒成立，在也要恒成立則必須要，有，結(jié)合基本不等式即可求的范圍，進(jìn)而得到最大整數(shù)值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，而時(shí)，，∴時(shí)，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，在上單調(diào)遞減；綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2），，令由知：
，時(shí)，而知，
∴，使在上單調(diào)增，在上單調(diào)減；而，
∴在上恒成立.∴當(dāng)時(shí)，有恒成立.
當(dāng)時(shí)，有恒有，令即，
∴上，而在上，令，
，即單調(diào)減，又，
所以使，即上，單調(diào)增，上，單調(diào)減，
∴綜上，，使在上單調(diào)增，上單調(diào)減；又，
1、時(shí)，在上單調(diào)減，上單調(diào)增，且，故此時(shí)不能保證恒成立；
2、時(shí)，上恒成立；在上要使恒成立，
令，有恒成立，
所以只要單調(diào)遞增即可，有成立，
即
綜上，知：時(shí)不等式對任意恒成立，故.
3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若，時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】(1)答案見解析；(2)1.
【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得出，令，求導(dǎo)得，對進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而求得在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）由，時(shí)，恒成立，求得，進(jìn)而證明時(shí)，在，恒成立，利用放縮法得到，設(shè)，，，從而得出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而證得，即恒成立，由此確定整數(shù)的最小值.
【詳解】（1）解：由，得，
令，則，，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，，故，
故在單調(diào)遞增，又，，
故存在，使得，且時(shí)，，遞減，
，時(shí)，，單調(diào)遞增，故為的極小值點(diǎn)，
此時(shí)在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)；
綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)存在1個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)．
（2）解：若，時(shí)，恒成立，則，故，
下面證明時(shí)，在，恒成立，，時(shí)，，故時(shí)，，
令，，，故，
令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，
因?yàn)椋栽谏洗嬖诹泓c(diǎn)，
且時(shí)，；時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
又，，，
故存在，，使得，且，時(shí)，，遞增，
，時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得最大值，且，
，，，故單調(diào)遞減，
故，時(shí)，即成立，綜上，若，時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最小值1．
【題型六】能成立求參
利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解： （1），； （2），； （3），； （4），.
1.（2023下·北京·高三校考）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是(2)
【分析】（1）求得，令，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）把不等式轉(zhuǎn)化為則有解，設(shè)，即，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋遥睿獾茫?br/>所以，，的對應(yīng)值表為
x
- 0 +
極小值
所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.
（2）解：由不等式，可得，則
設(shè)，因?yàn)榇嬖冢愠闪ⅲ?br/>又由，令，解得或（舍去）。根據(jù)的對應(yīng)值表
x 1
- 0 +
極小值
所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，
因?yàn)椋裕?
2.（2023下·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，，求關(guān)于x的方程，的實(shí)根個(gè)數(shù)；
(2)令，若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)有兩個(gè)不等實(shí)根(2)
【分析】（1）經(jīng)過二次求導(dǎo)得出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)，且，，即可得出結(jié)論.
（2）將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為在能成立，令，通過求導(dǎo)得出單調(diào)性，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1），所以，
令，則，所以在時(shí)恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
所以存在使得當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，
由函數(shù)觀察可知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，因此時(shí)關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
（2）不等式在上有解，即等價(jià)于存在，使得有解，
即存在，使得能成立，即得.令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值為，所以，即a的取值范圍為．
3.（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知．（）
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）分和討論即可；
（2）代入值，分離參數(shù)得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和隱零點(diǎn)法即可得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)?所以,
若時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),,單調(diào)遞增；
若,由得或,設(shè),則,時(shí),單調(diào)遞減,
時(shí),單調(diào)遞增,所以，所以,所以時(shí),單調(diào)遞減,
，時(shí),,單調(diào)遞增.綜上得,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在，上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí),,存在,使得成立,
即成立,即成立，設(shè),則,
設(shè),，則在上單調(diào)遞增，
且,所以存在,使得,
所以令，，在上單調(diào)遞增,得,所以,時(shí),單調(diào)遞減,
時(shí),,單調(diào)遞增，所以,
所以,即的取值范圍是.
【題型七】能成立求參：雙變量型
已知函數(shù)， （1）若，，總有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中，．
(1)試討論函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若對任意的，，總有成立，試求b的最大值．
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)討論導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，分析極值點(diǎn)，得到極值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)（1）可以得出，的最值還需借助隱零點(diǎn)問題來解決.
【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，無極值．
當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
在處取得極大值，且極大值為，無極小值．
綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值．
（2）由知當(dāng)時(shí)，的最大值為．
由題意得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，．
，，兩邊取對數(shù)可得，．
令，則當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，，即，即．對任意的，，總有成立，，即，，即．又，故的最大值為0．
2.（2022上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)性見解析。(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)得到單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，可知恒成立，知不合題意；當(dāng)時(shí)，取，，通過放縮可得，符合題意；當(dāng)時(shí)，將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性可分別求得和，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；綜合三種情況可得的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知：的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令有，故當(dāng)，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，；，；
恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，取，，
則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，若，，使得，則；
由（1）知：；，，在上單調(diào)遞增，，，即，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，，且存在，，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）討論，兩種情況，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性；
（2）討論，，三種情況，得出，進(jìn)而由得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【詳解】（1）
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，.
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，
由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以，
若，則
若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
所以，即
所以存在，，使得，只需，
所以，即實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【題型八】能成立求參：三角函數(shù)型
1.（2022·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）、，使得不等式成立，求的取值范圍；
（3）不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）；（3）.
【分析】（1）求得，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）求得，由題意可知，在時(shí)有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）由題意可知，，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，又由結(jié)合可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋遥?
①當(dāng)時(shí)，，，則， 在上是減函數(shù)；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).綜上所述，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
（2）由（1）知，函數(shù)，、，使得不等式成立，
等價(jià)于不等式在時(shí)有解，即不等式在時(shí)有解，
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，則，而，所以恒成立，即在上 是增函數(shù)，則，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（3），恒成立，等價(jià)于，
令，其中，則，，
，，，，，
在上單調(diào)遞增，，
在上遞增，，，
，且，因此整數(shù)的最大值為.
2.（2022上·江西宜春·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）若存在，使得成立，證明：.
【答案】（1）一個(gè)；（2）證明見解析.
【分析】（1）分、兩種情況討論，在時(shí)，分析得出，可得出在上無零點(diǎn)，在時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；
（2）利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，分析得出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，
所以，對任意的，，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)椋裕瘮?shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由得，令，，，
令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br/>所以，存在，使得，變形可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，其中，對于函數(shù)，，，所以在遞減，則，
故，所以成立.
3.（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：存在，使得不等式 有解（e是自然對數(shù)的底）.
【答案】(1)討論見解析(2)證明見解析
【分析】(1)對原函數(shù)求導(dǎo)后利用判別式對 進(jìn)行分類討論即可；
(2)理解“有解”的含義，構(gòu)造函數(shù)將原不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1） 的定義域?yàn)镽，， ，
①當(dāng)時(shí)， ，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為：，
時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，
，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)， ，，所以在上單調(diào)遞增；
（2）不等式 等價(jià)于 ，所以只需證 的最大值大于1，
因?yàn)椋郑裕瑫r(shí)等號(hào)成立，
所以 ，設(shè)函數(shù) ， ，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以存在，使不等式 有解.
【題型九】零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)與三個(gè)零點(diǎn)
1.（2023上·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考）已知函數(shù)，，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)令當(dāng)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，證明：.
【答案】(1)(2)(3)證明見詳解
【分析】（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，由點(diǎn)斜式方程可得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性及極值，最值，找到不等式，解不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）構(gòu)造差函數(shù)，證明極值點(diǎn)偏移問題.
【詳解】（1）定義域?yàn)椋郧芯€斜率為，
又，所以切線方程為，即.
（2），
定義域?yàn)椋?br/>①當(dāng)時(shí)，有恒成立，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，
故函數(shù)在上遞增，在上遞減．因?yàn)椋?br/>故，設(shè)，，
則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，所以，故，即
，取，則.
因此，要使函數(shù)且兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即，化簡，得，令，因?yàn)椋?br/>所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，故不等式的解為，
因此，使求實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.
（3）因?yàn)椋裕鶕?jù)（2）的結(jié)果，不妨設(shè)，則只需證明，
因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，且，，于是只需證明，
因?yàn)椋约醋C，記，，
，
所以在單調(diào)遞增，則，即證得，原命題得證.
2.（2021上·河南·高三階段練習(xí)）已知
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，若當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由題可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；
（2）由題可得，分類討論，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可得，，再利用導(dǎo)數(shù)求最值即得.
【詳解】（1）因?yàn)闀r(shí)，，所以，，
又，所以切線方程為，即所求的切線方程為．
（2）∵，所以，令，則，
因?yàn)椋桑茫挥桑茫栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
①當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，
所以，又．所以，使得，
又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，
所以在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞減，
所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，易證得，
所以，易證，
所以，使得，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，所以要使有三個(gè)零點(diǎn)，必有，
所以，即，所以，又因?yàn)椋睿瑒t，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．
3.（2022上·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)：
①解關(guān)于的不等式；
②證明：；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)①；②證明見解析(2)
【分析】（1）①利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式；②由①得，，令，化簡整理后得，，原不等式即可證明；（2）對函數(shù)在求導(dǎo)后，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性情況討論，結(jié)合單調(diào)性，極值和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可得到的范圍．
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，
在上是單調(diào)遞減函數(shù)又，解集為
②證明：由①知當(dāng)時(shí)，，即令，
則從而
（2）設(shè)，則，
①當(dāng)，即時(shí)，，所以在單調(diào)遞減不可能有三個(gè)不同的零點(diǎn)；
②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)：，
又開口向下所以當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減.，且，
所以令則在單調(diào)遞增，即
又，所以由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)
且，
又，在區(qū)間上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，
故當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，2，故實(shí)數(shù)的取值范圍是
【題型十】同構(gòu)型求參
同構(gòu)法求參數(shù)范圍 通過對原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q或者變換，可以帶到一個(gè)與之相同（同構(gòu)，結(jié)構(gòu)相同，性質(zhì)相同）的新函數(shù)，新函數(shù)相對容易處理。利用同構(gòu)法，可以講原函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更簡單的問題，并通過求導(dǎo)求最值進(jìn)行分析從而得到參數(shù)范圍。 同構(gòu)法求解參數(shù)范圍： 尋找原函數(shù)及其特點(diǎn) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃畏绞健?對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析 根據(jù)新函數(shù)極值最值等得到參數(shù)范圍 常見同構(gòu)技巧： 指對變形同構(gòu) ①（“無中生有”，原理公式） ② ③ ④ ⑤
1.（2023下·吉林長春·高三長春市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對任意的、，當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析。(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）設(shè)，分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，則在上恒成立，結(jié)合參變量分離法可得出，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，對任意的，，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，由得，由得.此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）解：由，即.令，
因?yàn)椋瑒t，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需，
設(shè)，，在單調(diào)遞增，所以.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2.（2022上·陜西安康·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且這兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，若不等式恒成立，求的值.
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，然后分，，，討論研究單調(diào)性；
（2）由（1）兩個(gè)極值點(diǎn)分別是1和，不妨設(shè)，，代入，然后轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.
【詳解】（1）由題意可知的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得.則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得或；由，得.則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）可知或，且兩個(gè)極值點(diǎn)分別是1和，不妨設(shè)，，
則，，
故恒成立，即恒成立.當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)椋裕瑒t；當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)椋裕瑒t.綜上，.
3.（2022下·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)（），且有兩個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使成立，若存在求出的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)不存在；理由見解析
【分析】（1）求導(dǎo)之后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，列式即可求解（2），假設(shè)存在，由（1）知，則，不妨設(shè)，代入，消元得，構(gòu)造函數(shù)（）可知上述方程無實(shí)解，故不存在實(shí)數(shù)a，使成立
【詳解】（1）由題設(shè)，知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
即在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根， 則有，
解得，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）由題意，得，又由（1）知，
所以．
要使成立，只需．由（1）知，則只需，
即．（※） 由于，所以不妨設(shè)，則（※）式成立，等價(jià)于成立． 設(shè)（），則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以
所以無實(shí)數(shù)解，即（※）式不成立，所以不存在實(shí)數(shù)a，使成立．
4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．
(1)求實(shí)數(shù)的值及的極值；
(2)若對任意，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)，的極小值為，無極大值(2)，
【分析】（1）由函數(shù)在，（1）處的切線與x軸平行求得a的值，然后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)期間，則函數(shù)的極值可求；
（2）由（1）的結(jié)論知，在上單調(diào)遞增，然后構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)函數(shù)在不小于零恒成立，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）函數(shù)，，令（1），，
解得；令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以有極小值為（1）；無極大值；
（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，即
函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，
在上恒成立，在上恒成立，又在上，
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是，．
【題型十一】同構(gòu)型證明不等式
1.（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；
(2)證明：.
【答案】(1)兩個(gè)，理由見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，討論其單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）方法一，令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的最值判斷證明即可；
方法二：令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的最值判斷證明即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由得，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，
故存在，，使得，，所以在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
（2）方法一：令，則時(shí)，，且.于是等價(jià)于，
令，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，
所以時(shí)，函數(shù)取得最大值：，所以，即.
方法二：令，則，于是等價(jià)于，
即，令，則有.令，即，解得；
令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，即.所以，即.
2.已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.
（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
x
+ 0 -
增函數(shù) 極大值 減函數(shù)
故，無極小值.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．
（2）顯然，要證：，
即證：，即證：，
即證：．
令，故只須證：．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，所以，從而有．故，即．
3..已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）的定義域?yàn)椋蟪觯謩e討論，，時(shí)不等式和的解集即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，即可求解；
（2）的定義域?yàn)椋坏仁降葍r(jià)于，，
令，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值即可求證.
解（1）的定義域?yàn)椋?br/>由可得：，
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得或；
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在和上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)椋亩x域?yàn)椋约矗?br/>即證：，令，只需證，令，則，
令，解得：；，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，所以，
所以，即成立.
【題型十二】三個(gè)零點(diǎn)型證明不等式
1.（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于證，
等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋郑?br/>（ⅰ）當(dāng)單調(diào)遞減；
（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
又，所以，
①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；
②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋睿瑒t，所以，所以，且趨近0，趨近于正無窮大，趨近正無窮大，趨近負(fù)無窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；
（2）等價(jià)于，即，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，
所以，所以，則滿足，，
要證，等價(jià)于證，易知，令，則，
令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
下面證明，由，即證，即證，
即證，即證，
令，，令，則，所以，
所以，則，所以，
所以，所以，
所以，所以原命題得證.
2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，其中.
(1)若函數(shù)存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)存在三個(gè)零點(diǎn)，其中.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）求證：.
【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值即可；
（2）（i）將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為除1外還有兩個(gè)零點(diǎn).分類討論使條件成立的的取值范圍即可；
（ii）結(jié)合（i）可得.將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1），結(jié)合，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)不存在極值；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)存在極值，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）易得，（i），
設(shè)，因?yàn)椋瑒t除1外還有兩個(gè)零點(diǎn).，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去；
當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，所以.
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
又，所以，而，且，
，且，所以存在，使得，
即有3個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（ii）證明：結(jié)合（i）因?yàn)椋?br/>若，則，所以.當(dāng)時(shí)，先證明不等式恒成立，
設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.由，可得，
因?yàn)椋裕矗瑑蛇呁裕?br/>得，即，所以.
【題型十三】證明含三角函數(shù)型不等式
1.已知函數(shù)，．
(1)求的最大值；
(2)證明：；
(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最大值；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明＞f(x). 令g(x)＝，，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)≥g(2)＝-，而，即可證明；
（3）把問題轉(zhuǎn)化為xcosx－sinx＋2ax3≥0恒成立，令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，二次求導(dǎo)后，令，對a分類討論：i. a≤－， ii. a≥，iii.－＜a＜，分別利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可求解.
(1)∵，，
∴，∴f(x)在[0，π]上單調(diào)遞減，
∴．
(2)要證，只要證，即證＞f(x)，
令g(x)＝，，則， 故g(x)在（0，2）上單調(diào)遞減；g(x)在（2，π）上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(2)＝-，又 f(x)≤-，且等號(hào)不同時(shí)取到，所以
(3)，等價(jià)于xcosx－sinx＋2ax3≥0，
令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3，，則，
令，則，
i.當(dāng)a≤－時(shí)，，所以在[0，π]上遞減，所以，
所以，所以h(x)在[0，π]上遞減，所以h(x)≤h（0）＝0，不合題意．
ii.當(dāng)a≥時(shí)，，所以在[0，π]上遞增，所以
所以，所以h(x)在[0，π]上遞增，所以h(x)≥h（0）＝0，符合題意．
iii.當(dāng)－＜a＜時(shí)，因?yàn)椋以赱0，π]上遞增，
所以，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在（0，x0）上遞減，所以，
所以，所以h(x)在（0，x0）上遞減，所以h(x)＜h（0）＝0，不合題意．綜上可得： .
2.（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)若在處的切線為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)，時(shí)，求證：
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，求解即可；
（2）將變形成，故只需證，用導(dǎo)數(shù)法證明即可
【詳解】（1）∵，∴，∴
（2）要證，即證，只需證，因?yàn)椋簿褪且C，令，
∵，∴
∴在為減函數(shù)，∴，
∴，得證
3.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析
【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求出其最小值即可證明；
（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在性定理可證明在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，通過構(gòu)造函數(shù)即可證明在上單調(diào)遞減，同理利用零點(diǎn)存在性定理可證明在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，即可得證.
(1)由，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，，∵，，
∴和在上單調(diào)遞增，∴，，
∴當(dāng)時(shí)，，，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即當(dāng)時(shí)，;
(2)由已知得，①當(dāng)時(shí)， ∵，
∴在上單調(diào)遞增，又∵，，∴由零點(diǎn)存在性定理可知在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，
∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，
又∵，，∴由零點(diǎn)存在性定理可知在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【題型十四】三角函數(shù)型極值點(diǎn)偏移
零點(diǎn)型，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用： 零點(diǎn)是否是特殊值，或者在某個(gè)確定的區(qū)間之內(nèi)。 零點(diǎn)是否可以通過構(gòu)造零點(diǎn)方程，進(jìn)行迭代或者轉(zhuǎn)化。 將方程根的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理 處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下： ①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍； ②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)； ③得到與的大小關(guān)系后，將置換為； ④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
1.（2024·四川涼山·二模）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)，若，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性，列出不等式求解即得.
（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理變形，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明即得.
【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，
依題意，對任意實(shí)數(shù)，恒成立，而，
因此，解得：，所以的取值范圍為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑茫?br/>由（1）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，
不妨令，則，即，
亦即，則，
于是，則，
下面證明：，即證：，即證：，
令，即證：，設(shè)，
求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
于是，即，所以.
2.（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象在處的切線斜率為2．
(1)求m；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求證：．
【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得答案；
（3）根據(jù)題意得，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性繼而將原不等式轉(zhuǎn)化為，即只需證明，進(jìn)而換元，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>根據(jù)題意得，解得；
（2）由（1）可知，，又，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間
（3）由有兩個(gè)不等的根，不妨設(shè)，可得，
整理得，令，則，
故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?br/>即，那么，結(jié)合（*）式，則，
而，可得；下面證明，等價(jià)于證明，
令，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，即，故，即得證，
由不等式的傳遞性知，即.
3.（23-24高三上·江蘇泰州）已知函數(shù)，，.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，
（i）求的范圍；
（ii）求證：.
【答案】(1)(2)（i）;（ii）證明見解析
【分析】（1）在上恒成立，參變分離，轉(zhuǎn)化為最值求解即可；
（2）（i），求出其單調(diào)區(qū)間即可求解；（ii）將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)求其最小值即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，令，
則，由得，由得，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
即的取值范圍為；
（2）（i）令，，則，
令得，令得，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，又關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，
所以的范圍為；
（ii）由（i）知，要證，即證，即證
令，則，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以.
【題型十五】數(shù)列型不等式證明
數(shù)列型不等式證明 對于型數(shù)列不等式證明，可以轉(zhuǎn)化為定義域?yàn)?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)證明不等式。 一些特殊形式的數(shù)列不等式，可以通過選擇合適的換元，構(gòu)造新函數(shù)，注意因?yàn)榈恼麛?shù)屬性，注意對應(yīng)換元的取值范圍 數(shù)列型不等式的證明，一般需要聯(lián)系前面第一問的結(jié)論，對要證明的不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱譁惻鋪碜C明
1.（2022·遼寧沈陽校考三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：．
【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，然后分，和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即，可求a值，代入得的解析式，由，且在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)可知：，于是可求m的范圍．
（3）由（1）可得對一切成立，所以，，則有，則，然后累乘可得結(jié)論．
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，所以為常數(shù)函數(shù)；
（2）得，∴，
∴
∵在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且∴ 由題意知：對于任意的，恒成立，
所以有：，即，∴；
（3）令此時(shí)，所以，由（1）知在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，即，∴對一切成立，
∵，，則有，∴
∴
2.（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)證明：.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為0，進(jìn)而證得成立；
（2）先利用（1）證得，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明原不等式成立.
【詳解】（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，解得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值，，
恒成立，即恒成立.
（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，且所以在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.則當(dāng)時(shí)，恒成立,
令，則，所以.所以，
即.
所以，故得證.
3.（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明：．
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
【分析】（1）對求導(dǎo)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，利用直線方程得點(diǎn)斜式即可得出答案；
（2）若恒成立，則，設(shè)，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，可求出最大值；
（3）令，則，分別取，再由累加法即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)椋?br/>曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率為，又則切線方程為.
（2）若恒成立，則，設(shè)，，
由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，所以.
（3）令，則，即，則，因?yàn)椋?br/>，所以.大題培優(yōu)06導(dǎo)數(shù)
目錄
【題型一】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：一次型雙參 1
【題型二】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：雙線型 2
【題型三】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)： 三角函數(shù)型 3
【題型四】恒成立求參：整數(shù)解型 3
【題型五】恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)解 4
【題型六】能成立求參 4
【題型七】能成立求參：雙變量型 5
【題型八】能成立求參：三角函數(shù)型 6
【題型九】零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)與三個(gè)零點(diǎn) 6
【題型十】同構(gòu)型求參 7
【題型十一】同構(gòu)型證明不等式 8
【題型十二】三個(gè)零典型證明不等式 9
【題型十三】證明含三角函數(shù)型不等式 9
【題型十四】三角函數(shù)型極值點(diǎn)偏移 9
【題型十五】數(shù)列型不等式證明 10
【題型一】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：一次型雙參
對于求導(dǎo)后，其中皆為參數(shù) 1.令，得第一討論點(diǎn) 2.令動(dòng)根定義域端點(diǎn)值，可得其余討論點(diǎn) 3.注意對應(yīng)討論點(diǎn)斜率正負(fù)。根的位置，畫出對應(yīng)圖像，查找落在定義域部分正負(fù) 4.以討論點(diǎn)為分界點(diǎn)，分段討論，不要忘了分界點(diǎn)。 5.分界點(diǎn)可以合并到區(qū)間處（需要檢驗(yàn)）
1.（北京交通大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三12月月考數(shù)學(xué)）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）取a＝0并記此時(shí)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（其中）處的切線為l，l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為，求的解析式及的最大值．
2.已知．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．
【題型二】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)：雙線型
如型雙線討論法 1.第一線：2.第二線： 3.雙線共系： 4.可討論動(dòng)根與定根的大小關(guān)系，然后知兩線函數(shù)值積的正負(fù) 5.要留意指數(shù)函數(shù)有漸近線，所以討論時(shí)候注意“第二線”是否有根
1．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
2.已知函數(shù)，既存在極大值，又存在極小值.
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，、分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.（四川省南充市2021-2022學(xué)年高三高考適應(yīng)性）已知函數(shù)，其中．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，設(shè)，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．
【題型三】導(dǎo)數(shù)含參討論基礎(chǔ)： 三角函數(shù)型
1.三角形式注意適當(dāng)合理的恒等變形 2.充分利用三角函數(shù)正余弦的有界性。
1.已知.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，證明:當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).
2.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的最值．
3.已知，．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若時(shí)，恒成立，求m的取值范圍．
【題型四】恒成立求參：整數(shù)解型
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求證；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得只有唯一的正整數(shù)a，對于恒有：，若存在，請求出k的范圍以及正整數(shù)a的值；若不存在請說明理由.（下表的近似值供參考）
ln2 ln3 ln4 ln5 ln6 ln7 ln8 ln9
0.69 1.10 1.38 1.61 1.79 1.95 2.07 2.20
2.（2022·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處切線的方程；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的正整數(shù)，對于恒有？若存在，求出的取值范圍及正整數(shù)的值，若不存在，請說明理由？（下表的近似值僅供參考）
3.（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，（）.
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，分別記為，，且.
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）若不等式恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），求正數(shù)的取值范圍.
【題型五】恒成立求參：三角函數(shù)型整數(shù)解
1.（2020·云南昆明·統(tǒng)考三模）已知．
（1）證明：；
（2）對任意，，求整數(shù) 的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：）
2.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，不等式對任意恒成立，求滿足條件的最大整數(shù)b.
3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
(2)若，時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最小值．
【題型六】能成立求參
利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解： （1），； （2），； （3），； （4），.
1.（2023下·北京·高三校考）已知函數(shù)，.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在（是常數(shù)，）使不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2.（2023下·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，，求關(guān)于x的方程，的實(shí)根個(gè)數(shù)；
(2)令，若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
3.（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知．（）
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且存在，使得，求的取值范圍．
【題型七】能成立求參：雙變量型
已知函數(shù)， （1）若，，總有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中，．
(1)試討論函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若對任意的，，總有成立，試求b的最大值．
2.（2022上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，，且存在，，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【題型八】能成立求參：三角函數(shù)型
1.（2022·河南·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）、，使得不等式成立，求的取值范圍；
（3）不等式在上恒成立，求整數(shù)的最大值.
2.（2022上·江西宜春·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）若存在，使得成立，證明：.
3.（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：存在，使得不等式 有解（e是自然對數(shù)的底）.
【題型九】零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)與三個(gè)零點(diǎn)
1.（2023上·上海楊浦·高三同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考）已知函數(shù)，，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
(2)令當(dāng)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，證明：.
2.（2021上·河南·高三階段練習(xí)）已知
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，若當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值．
3.（2022上·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)：
①解關(guān)于的不等式；
②證明：；
(2)若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【題型十】同構(gòu)型求參
同構(gòu)法求參數(shù)范圍 通過對原函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q或者變換，可以帶到一個(gè)與之相同（同構(gòu)，結(jié)構(gòu)相同，性質(zhì)相同）的新函數(shù)，新函數(shù)相對容易處理。利用同構(gòu)法，可以講原函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)更簡單的問題，并通過求導(dǎo)求最值進(jìn)行分析從而得到參數(shù)范圍。 同構(gòu)法求解參數(shù)范圍： 尋找原函數(shù)及其特點(diǎn) 進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃畏绞健?對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析 根據(jù)新函數(shù)極值最值等得到參數(shù)范圍 常見同構(gòu)技巧： 指對變形同構(gòu) ①（“無中生有”，原理公式） ② ③ ④ ⑤
1.（2023下·吉林長春·高三長春市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)對任意的、，當(dāng)時(shí)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2.（2022上·陜西安康·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且這兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，若不等式恒成立，求的值.
3.（2022下·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)（），且有兩個(gè)極值點(diǎn)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使成立，若存在求出的值，若不存在，請說明理由．
4（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與軸平行．
(1)求實(shí)數(shù)的值及的極值；
(2)若對任意，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【題型十一】同構(gòu)型證明不等式
1.（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；
(2)證明：.
2.已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
3..已知函數(shù)，，其中.
（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：.
【題型十二】三個(gè)零點(diǎn)型證明不等式
1.（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.
2.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)，其中.
(1)若函數(shù)存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)存在三個(gè)零點(diǎn)，其中.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ii）求證：.
【題型十三】證明含三角函數(shù)型不等式
1.已知函數(shù)，．
(1)求的最大值；
(2)證明：；
(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2.（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)若在處的切線為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)，時(shí)，求證：
3.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
【題型十四】三角函數(shù)型極值點(diǎn)偏移
零點(diǎn)型，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用： 零點(diǎn)是否是特殊值，或者在某個(gè)確定的區(qū)間之內(nèi)。 零點(diǎn)是否可以通過構(gòu)造零點(diǎn)方程，進(jìn)行迭代或者轉(zhuǎn)化。 將方程根的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理 處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下： ①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍； ②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)； ③得到與的大小關(guān)系后，將置換為； ④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
1.（2024·四川涼山·二模）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)，若，證明：．
2.（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象在處的切線斜率為2．
(1)求m；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若有兩個(gè)不等的實(shí)根，求證：．
3.（23-24高三上·江蘇泰州）已知函數(shù)，，.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，
（i）求的范圍；
（ii）求證：.
【題型十五】數(shù)列型不等式證明
數(shù)列型不等式證明 對于型數(shù)列不等式證明，可以轉(zhuǎn)化為定義域?yàn)?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)證明不等式。 一些特殊形式的數(shù)列不等式，可以通過選擇合適的換元，構(gòu)造新函數(shù)，注意因?yàn)榈恼麛?shù)屬性，注意對應(yīng)換元的取值范圍 數(shù)列型不等式的證明，一般需要聯(lián)系前面第一問的結(jié)論，對要證明的不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱譁惻鋪碜C明
1.（2022·遼寧沈陽校考三模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：．
2.（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)證明：.
3.（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)證明：．

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