資源簡介

考前回顧08　函數(shù)與導數(shù)（知識清單+易錯分析+23年高考真題+24年最新模擬）
知識清單
1．函數(shù)的定義域和值域
(1)求函數(shù)定義域的類型和相應方法
若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．
(2)常見函數(shù)的值域
①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域為R；
②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為，當a<0時，值域為；
③反比例函數(shù)y＝(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．
2．函數(shù)的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．
(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．
3．關(guān)于函數(shù)周期性、對稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期；
②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期；
③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期．
(2)函數(shù)圖象的對稱性
①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，
則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，
則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱．
4．函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．
(1)單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減．
(2)若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．
5．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)
(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0,1)點；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1,0)點．
(2)單調(diào)性：當a>1時，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當06．函數(shù)的零點
(1)零點定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．
方程f(x)＝0有實數(shù)解 函數(shù)y＝f(x)有零點 函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
(2)確定函數(shù)零點的三種常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零點存在定理法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．
③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同時多用此法求解．
7．導數(shù)的幾何意義
(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．
8．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
(1)求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
①求函數(shù)f(x)的定義域；
②求導函數(shù)f′(x)；
③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．
(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
①若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可導函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；
③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．
9．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
(1)求函數(shù)的極值的一般步驟
①確定函數(shù)的定義域；
②解方程f′(x)＝0；
③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近兩側(cè)的符號變化：
若左正右負，則x0為極大值點；
若左負右正，則x0為極小值點；
若不變號，則x0不是極值點．
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；
②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
10．常見的含有導數(shù)的幾種不等式構(gòu)造原函數(shù)類型
(1)對于f′(x)±g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)對于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)．
(3)對于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，對于xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xf(x)，
對于xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝.
對于f(x)＋f′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exf(x)，
對于f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝.
易錯提醒
1．解決函數(shù)問題時要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．
2．解決分段函數(shù)問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍．
3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．
4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．
5．準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性容易忽視對a的取值進行討論；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．
6．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化．
7．已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對 x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點．一定要檢驗在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點．
易錯分析
易錯點1 對復合函數(shù)定義域的理解不透徹致誤
1.[江蘇三校2023聯(lián)考]已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（ ）
特別提醒：
（1）已知的定義域為，則的定義域為的解集；
（2）已知的定義域為，則的定義域為在上的值域.
【解析】因為函數(shù)的定義域，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為
要使有意義，則需要，解得，所以的定義域是故選D.
【答案】D
2. [江蘇揚州高郵2022調(diào)研]已知，且的定義域為，值域為，設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，則（ ）
【解析】因為，且的定義域為，值域為，所以的定義域為，值域為.由得，所以的定義域為，值域為，則，，所以.故選.
【答案】
易錯點2 忽視函數(shù)定義域而致誤
3.[重慶2023一診]已知定義域為的減函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為 .
特別提醒：本題中的定義域，在解不等式時，要保證且.
【解析】因為且，令，則，令，，則，所以不等式，即即，解得，所以不等式的解集
4.[安徽黃山2022一模]連續(xù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，若，則的取值范圍是（ ）
特別提醒：本題中的定義域為，在解不等式時，要保證且.
【解析】當時，由得；當時，由得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由可得，所以解得.故選.
【答案】
5.[河南中原頂級名校2022聯(lián)考]函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
特別提醒：在本題中，若忽視定義域為且，則得到的函數(shù)有2個零點，因此在利用數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)零點時，將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，需要注意一些特殊點（如定義域或端點）和特殊位置（如直線與曲線的切點、曲線的間斷點等）.
【解析】令，則，.令，，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的大致圖象，易得這兩個函數(shù)的圖象只有1個交點，所以原函數(shù)只有1個零點.故選.
易錯點3 不能正確理解分段函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性致誤
6.[吉林部分學校2023大聯(lián)考]已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
特別提醒：分段函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，不僅需要限制每段內(nèi)是單調(diào)性相同的單調(diào)函數(shù)，還需要限制交界處函數(shù)值的大小.本題中的分段函數(shù)在處是兩段的交界，當在上單調(diào)遞增時，需限制，當在上單調(diào)遞減時，需限制.
【解析】是上單調(diào)遞增，
若在上單調(diào)遞增，
則解得
綜上，的取值范圍是.故選.
【答案】B
易錯點4 對數(shù)型復合函數(shù)的定義域為和值域為理解不透徹致誤
7.[河北“五個一”名校2023聯(lián)考]已知函數(shù)的值域為，那么的取值范圍是 .
特別提醒：（1）若的定義域為，當時不符合題意，當時需且；
（2）若的值域為，當時符合題意，當時需且
【解析】令的值域為，若的值域為，則，若，則，符合題意；
若，則當即時，，符合題意.
綜上, ,所以的取值范圍是.
易錯點5 函數(shù)的圖象畫的不準確而致誤
8.[河北2023聯(lián)考]已知函數(shù)
若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（ ）
特別提醒：利用函數(shù)的圖象解決問題時，需準確畫出函數(shù)的圖象，注意特殊點、漸近線的位置，否則可能導致解題錯誤.本題中畫函數(shù) 的圖象時，注意當時，單調(diào)遞減，當時，的圖象與直線無限接近，忽略這點可能導致解題錯誤.
【解析】要使函數(shù)有3個零點，則有3個不相等的實根，即的圖象與直線有3個交點.畫出函數(shù)的圖象與直線如圖所示.
由圖象可以看出，若的圖象與直線有3個交點，則
【答案】
易錯點6 利用數(shù)形結(jié)合法求方程根的個數(shù)時，所畫的兩函數(shù)的圖象的位置不準確而致誤
[江蘇常州一中2023調(diào)研]若函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
特別提醒：本題的D選項，確定方程的實數(shù)根的個數(shù)，即與的圖象的交點個數(shù)時，需畫出兩函數(shù)的圖象，在畫函數(shù)的圖象時需要注意到，當時，，而當時，，所以當時，與的圖象無交點.本題的易錯之處在于不能準確把握與的圖象的位置.
【解析】因為為奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，.因為為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，，則，，所以的周期為8，結(jié)合題意，作出的圖象，如圖所示.
對于，，故正確
對于，的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，周期為8，則的圖象關(guān)于點（7，0）對稱，則為奇函數(shù)，故正確；
對于，在（6，8）上單調(diào)遞增，故正確；
對于，的實數(shù)根的個數(shù)即為與的圖象的交點個數(shù)，如圖，由圖可知與的圖象有6個交點，所以方程有6個實數(shù)根，故D 錯誤.
【答案】D
易錯點7 忽視分段函數(shù)交界處的函數(shù)值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 聯(lián)考]已知滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
特別提醒：本題中的函數(shù)在處是兩端的交界，研究該函數(shù)在上單調(diào)遞減時，一定要保證當時，第一段的函數(shù)值不小于第二段的函數(shù)值，即
【解析】因為對于任意實數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所有實數(shù)的取值范圍是.
易錯點8 底數(shù)含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)忽視分類討論而致誤
11.[江蘇南京師大附中2022開學考改編]當時，，則的取值范圍是 .
特別提醒：若對數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù)，則要注意按照底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1兩種情況討論，以免漏解，同時需要注意對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0.
【解析】分別記函數(shù)，.
當時，作出和的大致圖像，
如圖①所示，由圖①知，當時，不滿足題意.
當時，作出和的大致圖像，如圖②所示，
要使當時，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得
易錯點9 對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性判斷不清致誤
12.[四川瀘州江陽區(qū)2022期末]若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
特別提醒：一般地，若，則函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，若，則函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相反.
【解析】因為與互為反函數(shù)，所以，則.設(shè)，則，由，解得或，因為 在其定義域上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是
易錯點10 忽視函數(shù)圖象端點的取值致錯
13.[陜西安康2022期末]已知函數(shù)，若函數(shù)有6個零點，則的取值范圍是（ ）
特別提醒：在本題中，若忽視當時，則得到在上有個不同的實數(shù)根，會得到故解答此類問題，既要注意最值，也要注意端點值，有時需要著重檢驗斷點的取值是否符合題意
【解析】設(shè)，則，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示.
則函數(shù)有6個零點等價于方程在上有2個不同的實數(shù)根，則
解得，故選
易錯點11 混淆曲線在某點處的切線方程與過某點的切線方程
14.[江蘇南通2023期末]已知函數(shù)，則曲線經(jīng)過點的切線方程是 .
特別提醒：求曲線的切線方程時要注意“過某點的切線”與“在某點處的切線”的差異，在某點處的切線，該點一定是切點，切線有且僅有一條；過某點的切線，該點不一定是切點，切線至少有一條.
【解析】設(shè)切點為，由題知，所以切線的斜率，所以切線方程為.因為切線過點，（注：點不一定是切點），所以，即，解得或，所以斜率或，又切線過點，得切線方程為或.
3.[陜西安康2022調(diào)研]曲線過點的切線方程是（ ）
【解析】由題意可得點不在曲線上，設(shè)切點為，因為，所以所求切線的斜率所以.因為點是切點，所以，所以，即.設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為，即故選.
易錯點12 混淆極值點的含義致誤
15. [河南洛陽 2023 月考]若是函數(shù)的極值點，則的值為（ ）
特別提醒：定義域上的可導函數(shù)在處取得極值的充要條件是，并且在附近兩側(cè)異號，若“左負右正"，則為極小值點，若“左正右負”，則為極大值點.
本題易錯的地方是求出的值后，沒有通過單調(diào)性來驗證是否為函數(shù)的極值點，也就是說使得導函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點.
【解析】，則，由題意可知，即，解得或.
當時，，當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值點，故選.
【答案】
16. [山西長治八中2022測評]已知函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
特別提醒：利用導函數(shù)分析函數(shù)的極值時，要注意的是使導函數(shù)值為0的的值不一定是極值點，極值點是使導函數(shù)值為0，且左、右導函數(shù)值異號的的值，本題的易錯點在于令時，方程組有兩組解，一定要注意檢驗和的值是否能使在處取得極值.
【解析】根據(jù)題意，，解得或，當，時，在上單調(diào)遞增，無極值點，故舍去.當時，當和時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故在處有極小值，滿足條件.綜上，故選
【答案】
高考真題
一．選擇題（共13小題）
1．（2023 全國）若，且，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)對數(shù)式和指數(shù)式的互化可得出，然后根據(jù)解出的值即可．
【解答】解：，
，且，解得．
故選：．
【點評】本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，一元二次方程的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2023 新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進行求解即可．
【解答】解：設(shè)，對稱軸為，拋物線開口向上，
是的增函數(shù)，
要使在區(qū)間單調(diào)遞減，
則在區(qū)間單調(diào)遞減，
即，即，
故實數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
【點評】本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
3．（2023 天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的圖象，即可求解．
【解答】解：由圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，故錯誤，
當時，恒大于0，與圖象不符合，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．
4．（2023 上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項分析判斷即可．
【解答】解：對于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；
對于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為偶函數(shù)；
對于，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；
對于，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，為非奇非偶函數(shù)．
故選：．
【點評】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．
5．（2023 甲卷）曲線在點處的切線方程為　　
A． B． C． D．
【分析】先對函數(shù)求導，然后結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程．
【解答】解：因為，
，
故函數(shù)在點處的切線斜率，
切線方程為，即．
故選：．
【點評】本題主要考查了導數(shù)幾何意義的應用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（2023 乙卷）已知是偶函數(shù)，則　　
A． B． C．1 D．2
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，運算即可得解．
【解答】解：的定義域為，又為偶函數(shù)，
，
，
，
，．
故選：．
【點評】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
7．（2023 北京）下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞增的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【解答】解：對選項，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，選項錯誤；
對選項，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，選項錯誤；
對選項，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，選項正確；
對選項，在上不是單調(diào)的，選項錯誤．
故選：．
【點評】本題考查初等函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．
8．（2023 新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為　　
A． B． C． D．
【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)題意可得在上恒成立，設(shè)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解．
【解答】解：對函數(shù)求導可得，，
依題意，在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則，
易知當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則．
故選：．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2023 新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則　　
A． B．0 C． D．1
【分析】求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程進行求解即可．
【解答】解：由，得或，
由是偶函數(shù)，
，
得，
即，
即，
則，
，得，
得．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用偶函數(shù)的定義建立方程，利用對數(shù)的運算法則進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
10．（2023 甲卷）函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用三角函數(shù)的圖象變換，求解函數(shù)的解析式，然后判斷兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)即可．
【解答】解：的圖象向左平移個單位長度得到，
在同一個坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖：
的圖象與直線的交點個數(shù)為：3．
故選：．
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象的變換，函數(shù)的零點個數(shù)的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
11．（2023 乙卷）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】求函數(shù)的導數(shù)，存在3個零點，等價為有兩個不同的根，且極大值大于0極小值小于0，求函數(shù)的極值，建立不等式關(guān)系即可．
【解答】解：，
若函數(shù)存在3個零點，
則，有兩個不同的根，且極大值大于0極小值小于0，
即判別式△，得，
由得或，此時單調(diào)遞增，
由得，此時單調(diào)遞減，
即當時，函數(shù)取得極大值，當時，取得極小值，
則，，
即，且，
即，①，且，②，
則①恒成立，
由，，
平方得，即，
則，綜上，
即實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，求函數(shù)的導數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值與0的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
12．（2023 全國）已知函數(shù)在處取得極小值1，則　　
A． B．0 C．1 D．2
【分析】根據(jù)已知條件，對求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【解答】解：，
則，
函數(shù)在處取得極小值1，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，
故，符合題意．
故選：．
【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．
13．（2023 甲卷）已知函數(shù)．記，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】令，先利用作差比較法及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，再根據(jù)的單調(diào)性，即可求解．
【解答】解：令，則的開口向下，對稱軸為，
，
而，
，
，
由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
，
而，
，，
綜合可得，又為增函數(shù)，
，即．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，作差比較法的應用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
二．多選題（共3小題）
14．（2023 新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則　　
A． B． C． D．
【分析】將函數(shù)有極大、極小值問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應的方程有兩個不等正實根來處理．
【解答】解：函數(shù)定義域為，
且，
由題意，方程即有兩個正根，設(shè)為，，
則有，，△，
，，
，即．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)極值的基礎(chǔ)知識，屬簡單題．
15．（2023 新高考Ⅰ）已知函數(shù)的定義域為，，則　　
A． B．（1）
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
【分析】在已知等式中，取判斷；取判斷；求出，再取判斷；取滿足等式的特殊函數(shù)判斷．
【解答】解：由，
取，可得，故正確；
取，可得（1）（1），即（1），故正確；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函數(shù)，故正確；
由上可知，（1），而函數(shù)解析式不確定，
不妨取，滿足，
常數(shù)函數(shù)無極值，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的應用，取特值是關(guān)鍵，是中檔題．
16．（2023 新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意分別計算，，的范圍，進行比較即可求解．
【解答】解：由題意得，，，
，，
，，
可得，正確；
，錯誤；
，正確；
，，正確．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)模型的運用，考查學生的計算能力，是中檔題．
三．填空題（共11小題）
17．（2023 甲卷）若為偶函數(shù)，則　2　．
【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的定義可得，變形分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，
其定義域為，
若為偶函數(shù)，則，
變形可得，必有．
故答案為：2．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，涉及函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題．
18．（2023 甲卷）若為偶函數(shù)，則　2　．
【分析】根據(jù)題意，先化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的定義可得關(guān)于的方程，解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，
若為偶函數(shù)，則，
變形可得在上恒成立，必有．
故答案為：2．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的定義，涉及三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎(chǔ)題．
19．（2023 全國）為上奇函數(shù)，，（1）（2）（3）（4）（5），　6　．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的周期性，即可求解．
【解答】解：，
則函數(shù)的周期為4，
為上奇函數(shù)，
（4），
令，
則（2）（2），解得（2），
令，
則（1）（3），
（1）（5），
所以（1）（2）（3）（4）（5）（3）（2）（3）（4）．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．
20．（2023 上海）已知函數(shù)，且，則方程的解為 　　．
【分析】分和分別求解即可．
【解答】解：當時，，解得；
當時，，解得（舍；
所以的解為：．
故答案為：．
【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的基本運算、指數(shù)的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．
21．（2023 北京）已知函數(shù)，則　1　．
【分析】利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)，
，
故答案為：1．
【點評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
22．（2023 上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 　，　．
【分析】分段求出的值域，再取并集即可．
【解答】解：當時，，
當時，，
所以函數(shù)的值域為，．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．
23．（2023 全國）曲線在處切線方程為 　　．
【分析】利用導數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程．
【解答】解：由可得，，
曲線在點處的切線斜率為，
所以所求切線方程為即．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
24．（2023 全國）已知函數(shù)，則在區(qū)間的最大值為 　　．
【分析】求導后得到在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，由，，，比較大小即可求解．
【解答】解：，
，
令，則，
在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，
，，，
則在區(qū)間的最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．
25．（2023 乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是 　，　．
【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得導函數(shù)在上恒成立，再參變量分離求解即可得出答案．
【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，
在上恒成立，
即，化簡可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化簡可得，
即，，
解答，
故的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的求解，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．
26．（2023 天津）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 　，，，　．
【分析】首先要分情況去絕對值，化簡函數(shù)，再根據(jù)對應方程根的情況判定零點個數(shù)是否滿足題意．
【解答】解：①當時，，不滿足題意；
②當方程滿足且△時，
有即，，，
此時，
，當時，不滿足，
當時，△，滿足；
③△時，，，，
記的兩根為，，不妨設(shè)，
則，
當時，，且，，，
但此時，舍去，
，，且，
但此時，舍去，
故僅有1與兩個解，即有且僅有兩個零點，
當時，有，舍去，，舍去，
故僅有和兩個解，即有且僅有兩個零點，
綜上，，，，．
故答案為：，，，．
【點評】本題是含參數(shù)的函數(shù)零點問題，主要是分類討論思想的考查，屬偏難題．
27．（2023 北京）設(shè)，函數(shù)給出下列四個結(jié)論，正確的序號為 　②③　．
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當時，存在最大值；
③設(shè)，，，，則；
④設(shè)，，，，若存在最小值，則的取值范圍是，．
【分析】先大致畫出的草圖，再根據(jù)四個選項逐一判斷，對于選項①，取特殊值判斷函數(shù)函調(diào)性即可；對于選項②，分別判斷時每段函數(shù)的最值情況，再判斷是否存在最大值；對于選項③，結(jié)合圖象分析最小值的情況，即可得出的范圍；對于選項④，針對圖像分析存在最小值的情況，可得直線需要與前兩段函數(shù)圖像都有交點才可滿足，進而可求出的取值范圍．
【解答】解：，當時，，圖像為一次函數(shù)；
當時，，圖像為以為圓心，為半徑的圓的上半弧；
當時，，圖像為單調(diào)遞減的曲線；
其函數(shù)圖象大致如下：
選項①，取，在區(qū)間上先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，選項①錯誤；
選項②，當時，
，；
，，最大值為；
，；
所以存在最大值，選項②正確；
選項③，由圖可知，當點位于點，點無限接近于點時，的長度最短，
當無限接近于點時，無限接近于，
所以，選項③正確；
選項④，如上圖，若存在最小值，則、應該是直線分別于，的交點，
直線與一定存在交點，而直線與不一定存在交點，
當直線與沒有交點時，，即，此時由于點取不到，不存在最小值，
所以，選項④錯誤．
故答案為：②③．
【點評】本題考查分段函數(shù)的應用問題，考查學生用數(shù)形結(jié)合方法分析試題的能力，屬于難題．
四．解答題（共11小題）
28．（2023 上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)” ，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．
（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)” ；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）
（2）定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當，時，試求當該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)” 最小．
【分析】（1）利用圓柱體的表面積和體積公式，結(jié)合題目中的定義求解即可；
（2）利用導函數(shù)求的單調(diào)性，即可求出最小時的值．
【解答】解：（1）由圓柱體的表面積和體積公式可得：
，
所以．
（2）由題意可得，，
所以，
令，解得，
所以在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，
所以的最小值在或7取得，
當時，，
當時，，
所以在時，該建筑體最小．
【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．
29．（2023 甲卷）已知，．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【分析】（1）由題意，將代入的解析式中，對進行求導，利用導數(shù)即可得到的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，對進行求導，利用換元法，得到的最大值，將最大值與0進行比較，得到的分界點，再對進行討論即可．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域為，
若，此時，
可得
，
因為，，
所以當，即時，，單調(diào)遞增；
當，即時，，單調(diào)遞減；
（2）不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，
，
令，，
此時，
不妨令，
可得，
所以單調(diào)遞增，
此時（1），
①當時，，
所以在上單調(diào)遞減，
此時，
則當時，恒成立，符合題意；
②當時，
當時，，
所以，
又（1），
所以在區(qū)間上存在一點，使得，
即存在，使得，
當時，，
所以當時，，單調(diào)遞增，
可得當時，，不符合題意，
綜上，的取值范圍為，．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、分類討論、轉(zhuǎn)化思想和運算能力．
30．（2023 上海）已知，，函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)過點，且函數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．
【分析】（1）時，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性進行求解判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)過點，求出的值，然后根據(jù)與軸負半軸有兩個不同交點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布進行求解即可．
【解答】解：（1）若，則，
要使函數(shù)有意義，則，即的定義域為，
是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在實數(shù)，使得是奇函數(shù)．
（2）若函數(shù)過點，則（1），得，得，
此時，若數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，
即，得，當時，有兩個不同的交點，
設(shè)，
則，得，得，即，
若即是方程的根，
則，即，得或，
則實數(shù)的取值范圍是且且，
即，，．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
31．（2023 新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當時，．
【分析】（1）先求出導函數(shù)，再對分和兩種情況討論，判斷的符號，進而得到的單調(diào)性；
（2）由（1）可知，當時，，要證，只需證，只需證，設(shè)（a），，求導可得，從而證得．
【解答】解：（1），
則，
①當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，
②當時，令得，，
當時，，單調(diào)遞減；當，時，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
證明：（2）由（1）可知，當時，，
要證，只需證，
只需證，
設(shè)（a），，
則（a），
令（a）得，，
當時，（a），（a）單調(diào)遞減，當，時，（a），（a）單調(diào)遞增，
所以（a），
即（a），
所以得證，
即得證．
【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．
32．（2023 甲卷）已知函數(shù)，．
（1）當時，討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
【分析】（1）先求導函數(shù)，再判斷導函數(shù)的符號，即可求解；
（2）設(shè)，，利用其二階導函數(shù)的符號可得一階導函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)及，可得，再分類討論驗證，即可求解．
【解答】解：（1）當時，，，
，
令，，，
，
又，
，
在上單調(diào)遞減；
（2）設(shè)，，
則，，
，
在上單調(diào)遞減，
若，又，則，，
當時，，
又，，，，
，滿足題意；
當時，，，
，滿足題意；
綜合可得：若，則，
所以的取值范圍為，．
【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
33．（2023 新高考Ⅱ）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．
【分析】（1）分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可證明；
（2）分類討論二階導函數(shù)的符號，從而可得一階導函數(shù)的符號，從而得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得極值點，即可得解．
【解答】（1）證明：設(shè)，，
則，，
在上單調(diào)遞減，
，
在上單調(diào)遞減，
，
即，，
，，
設(shè)，，
則，
在上單調(diào)遞增，
，，
即，，
，，
綜合可得：當時，；
（2）解：，，
且，，
①若，即時，
易知存在，使得時，，
在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾，故舍去；
②若，即或時，
存在，使得，時，，
在，上單調(diào)遞減，又，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，滿足為的極大值點，符合題意；
③若，即時，為偶函數(shù)，
只考慮的情況，
此時，時，
，
在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾，故舍去．
綜合可得：的取值范圍為，，．
【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造函數(shù)證明不等式，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，分類討論思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
34．（2023 乙卷）已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；
（3）若在存在極值，求的取值范圍．
【分析】（1）時，求得（1），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，利用點斜式求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域和對稱性可求得，再利用賦值法求；
（3）要使在存在極值點，則有正根，即方程有正根，記，，利用導數(shù)與極值的關(guān)系分類討論即可求解．
【解答】解：（1）時，（1），
，（1），
曲線在點，（1）處的切線方程為．
（2），定義域為，，，
要使函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，則由，且，可知，
即的圖像關(guān)于對稱，
則（1），，
得，解得．
設(shè)，
由，
即曲線關(guān)于直線對稱，
綜上，，；
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點，
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
，，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意，
當，時，由于，
“，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
在區(qū)間上無零點，不符合題意，
當時，由，可得，
當時， “，單調(diào)遞減，
當，時， “，單調(diào)遞增，
的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，（1），
恒成立，
，
令，則，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
（1），即，當且僅當時，取等號，
，
，
，根據(jù)零點存在定理得：
在區(qū)間上存在唯一零點，
當時，，單調(diào)遞減，
當，時，，單調(diào)遞增，
，
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（4），，
，
函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意．
綜上，實數(shù)得取值范圍是．
【點評】本題考查利用導數(shù)求切線方程，利用函數(shù)對稱性求參數(shù)，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于難題．
35．（2023 北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線方程為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求的極值點的個數(shù)．
【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程組求出、的值．
（Ⅱ）求的導數(shù)，利用，求的導數(shù)，令，根據(jù)與的關(guān)系求出的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)題意，判斷的單調(diào)遞增，利用根的存在性定理，判斷的零點個數(shù)，即可得出極值點的個數(shù)．
【解答】解：（Ⅰ）因為函數(shù)，
所以，
因為在點，（1）處的切線方程為，
所以，即，
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
所以，
所以，
令，解得或，
所以與的關(guān)系列表如下：
0 ， ，
0 0 0
單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減
所以在區(qū)間和，上單調(diào)遞增，在區(qū)間和，上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，單調(diào)遞增，
當時，，，
所以存在，使得，
又因為在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以是的一個極小值點；
當時，單調(diào)遞減，且（1），
所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以是的一個極大值點；
當，時，單調(diào)遞增，
又因為（3），所以存在，，使得，
所以在，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增，
所以是的一個極小值點，
又因為當時，，所以在上單調(diào)遞增，無極值點；
綜上，在定義域上有3個極值點．
【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義與應用問題，也考查了導數(shù)的綜合應用問題，是難題．
36．（2023 上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．
（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；
（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；
（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當且僅當或時，（c）（c）．
【分析】（1）設(shè)，，當，時，易知，即單調(diào)減，求得最值即可判斷；
（2）根據(jù)題意得到，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，代入即可求解；
（3），，在處的切線為，求導整理得到函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，又此時“控制函數(shù)“必與相切于點，與在處相切，且過點，在之間的點不可能使得在切線下方，所以或，即可得證．
【解答】解：（1），設(shè)，
，當，時，易知，即單調(diào)減，
，即，
是的“控制函數(shù)“；
（2），
，
，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，
又，且，；
證明：（3），，
在處的切線為，
，，（1）（1），
，
，
，
，
恒成立，
函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，
是函數(shù)的“控制函數(shù)“，
此時“控制函數(shù)“必與相切于點，與在處相切，且過點，
在之間的點不可能使得在切線的下方，所以或，
所以曲線在處的切線過點，且，，
當且僅當或時，．
【點評】本題考查了導數(shù)的綜合運用，屬于難題．
37．（2023 乙卷）已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，先對求導，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）先對求導，推得，構(gòu)造函數(shù)，通過多次利用求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，并對分類討論，即可求解．
【解答】解：（1）當時，
則，
求導可得，，
當時，（1），
當時，（1），
故曲線在點，（1）處的切線方程為：，即；
（2），
則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
則，化簡整理可得，，
令，
求導可得，，
當時，
則，，
故，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，不符合題意，
令，
則，
當，即時，
，，
故在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，符合題意，
當時，令，解得，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
，
當時，，單調(diào)遞減，
，
當時，，不符合題意，
綜上所述，的取值范圍為．
【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
38．（2023 天津）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當時，求證：；
（Ⅲ）證明：．
【分析】（Ⅰ）對函數(shù)求導，求出（2）的值即可得解；
（Ⅱ）令，先利用導數(shù)求出的單調(diào)性，由此容易得證；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列 的前項和，可得當時，，由此可知，證得不等式右邊；再證明對任意的，，令，利用導數(shù)可知，由此可得，再求得，，由此可得證不等式左邊，進而得證．
【解答】解：（Ⅰ）對函數(shù)求導，可得，
則曲線在處的切線斜率為（2）；
（Ⅱ）證明：當時，，即，即，
而 在上單調(diào)遞增，
因此，原不等式得證；
（Ⅲ）證明：設(shè)數(shù)列的前項和，
則；
當時，，
由（2），，
故，不等式右邊得證；
要證，只需證：對任意的，，
令，則，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，
則，
因此當時，，
當時，累加得
，
又，，
故，即得證．
【點評】本題考查導數(shù)的綜合運用，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于難題．
最新模擬
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 武漢模擬）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少．若某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：，為時間（單位：，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為　　
A．50 B．70 C．90 D．130
【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式求出周期，由頻率與周期的關(guān)系計算即可．
【解答】解：因為函數(shù)的周期為，
所以此人每分鐘心跳的次數(shù)．
故選：．
【點評】本題考查了正弦型函數(shù)的周期與頻率的計算問題，是基礎(chǔ)題．
2．（2024 云南一模）已知函數(shù)，若，，（3），則　　
A． B． C． D．
【分析】令，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，將，，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)值，利用的單調(diào)性比較大小．
【解答】解：令，易知（4），
同理（2），而（3）（3），
因為在上單調(diào)遞增，
故（4）（3）（2），
故．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2024 2月份模擬）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線” 由德國心理學家艾賓浩斯．研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認知研究產(chǎn)生了重大影響．陳同學利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時間（小時）的大致關(guān)系：．若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的，則他復習背誦時間需大約在　　
A． B． C． D．
【分析】由，令，求出的取值范圍即可．
【解答】解：因為，令，
則，，即，
所以陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的，他復習背誦時間需大約在．
故選：．
【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型應用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
4．（2024 五華區(qū)校級模擬）網(wǎng)購已成為人們習以為常的生活方式，大量的網(wǎng)購增加了人們對快遞的需求，快遞量幾何級增長，快遞包裝箱的消費量也十分驚人，瓦楞紙板是最主要的快遞包裝材料，如何使用更少的紙板來包裹更多的物品，這對于環(huán)境保護和商家的利益都是非常重要的問題．現(xiàn)某商家需設(shè)計一體積為的紙箱．要求紙箱底面必須為正方形，為了保護易碎的商品，紙箱的底面和頂面必須用雙層瓦楞紙板制成．已知瓦楞紙板的市場價格大約為1元，則一個紙箱的成本最低約為（參考數(shù)據(jù)：，　　
A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
【分析】設(shè)該紙箱的底面邊長為，側(cè)棱長為，根據(jù)紙箱的體積和表面積，計算成本函數(shù)的最小值即可．
【解答】解：該紙箱為正四棱柱，設(shè)其底面邊長為，側(cè)棱長為，
則紙箱的體積為，表面積，
所以，
所以成本為，其中，
求導數(shù)，得，令，得，解得．
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
所以時，取得最小值，
的最小值為（元．
故選：．
【點評】本題考查了成本函數(shù)的應用問題，也考查了利用導數(shù)求函數(shù)最值問題，是中檔題．
5．（2024 湖北模擬）已知對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】令，，由題意可知：對任意，恒成立，且，可得，解得，并代入檢驗即可．
【解答】解：令，，則，
由題意可知：對任意，恒成立，且，
可得，解得，
若，令，，
則，
則在，上遞增，可得，
即對任意，恒成立，
則在，上遞增，可得，
綜上所述：符合題意，即實數(shù)的取值范圍為，．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，進而解決不等式恒成立問題的解題思路，屬于中檔題．
6．（2024 東莞市校級一模）已知集合，若，，且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對，，的個數(shù)是　　
A．16 B．24 C．32 D．48
【分析】滿足各個函數(shù)在的參數(shù)取值均為，由于，，互不相等，有三種情況：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，而冪函數(shù)不滿足；指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而對數(shù)函數(shù)不滿足；對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)不滿足；三個函數(shù)都在上單調(diào)遞增，分別求出這四種情況的所有可能種數(shù)相加即可．
【解答】解：由題意知，滿足指數(shù)函數(shù)且，對數(shù)函數(shù)且的，取值，且使得它們在單調(diào)遞增的，都只有2個，分別是2，3．滿足冪函數(shù)的取值，且使得它在上單調(diào)遞增的有4個，分別為，，2，3．
由于，，互不相等，有三種情況：①指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，而冪函數(shù)不滿足，有種；
②指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù) 在上單調(diào)遞增，而對數(shù)函數(shù)不滿足，有種；
③對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)不滿足，有種（與②相同）；
④三個函數(shù)都在單調(diào)遞增，有種；
由分類加法計數(shù)原理，共有種選法，也即滿足條件的有序?qū)崝?shù)對，，有24個．
故選：．
【點評】本題考查了排列與組合的應用問題，也考查了函數(shù)模型應用問題，是中檔題．
7．（2024 邵陽模擬）已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)．若（1），且在上恒成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，可得是減函數(shù)，然后再將化為，則問題可解．
【解答】解：令，
，
在上單調(diào)遞減，由得：
，
即（1）．．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的問題，根據(jù)已知條件合理構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
8．（2024 重慶模擬）已知是奇函數(shù)，則在點，處的切線方程為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱、奇函數(shù)則恒成立，求出，的值，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程．
【解答】解：顯然，根據(jù)奇函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
，，
所以切線方程為．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、導數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，屬于中檔題．
二．多選題（共1小題）
9．（2024 如皋市模擬）設(shè)為常數(shù)，，，則　　
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個
【分析】利用賦值法，對每一項進行判斷．
【解答】解：令，可得（a），結(jié)合，解得（a），故正確；
令，原式化為（a），
代入可得，所以原式即：，故正確；
再令得，即函數(shù)值非負，
令，可得（a），即（負值舍去），故正確；
所以僅有一個函數(shù)關(guān)系式滿足條件，故錯誤．
故答案為：．
【點評】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應用，同時考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題．
三．填空題（共7小題）
10．（2024 江西模擬）若不等式在，上恒成立，則的最大值為 　6　．
【分析】結(jié)合，原式可化為，利用函數(shù)，，為增函數(shù)，即函數(shù)在，上為單調(diào)函數(shù)，則的最值在0和2處取得，據(jù)此構(gòu)造關(guān)于，的不等式組，即可求得的最大值．
【解答】解：因為，所以可化為，
令，，，則，
故在，上單調(diào)遞增，即，
所以，，即，，
故，當且僅當， 時，上式成立，
所以的最大值為6．
故答案為：6．
【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系，含絕對值不等式的性質(zhì)等，屬于中檔題．
11．（2024 重慶模擬）給機器人輸入一個指令，（其中常數(shù)后，該機器人在坐標平面上先面向軸正方向行走個單位距離，接著原地逆時針旋轉(zhuǎn)后再面向軸正方向行走個單位距離，如此就完成一次操作．已知該機器人的安全活動區(qū)域滿足，若開始時機器人在函數(shù)圖象上的點處面向軸正方向，經(jīng)過一次操作后該機器人落在安全區(qū)域內(nèi)的一點處，且點恰好也在函數(shù)圖象上，則　3　．
【分析】首先設(shè)點，再根據(jù)題意可得點，再根據(jù)題意可知，點在安全活動區(qū)域，以及點也在函數(shù)的圖象上，且，再利用不等關(guān)系，利用基本不等式，即可求解．
【解答】解：由題意設(shè)，則一次操作后該機器人落點為，
即在安全區(qū)域內(nèi)，所以且，
由，可知，
所以，即能成立，
又因為，且等號當且僅當，即時成立，
綜上，．
故答案為：3
【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)和基本不等式在研究實際問題上的應用，屬于中檔題．
12．（2024 常德模擬）已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則　　．
【分析】先利用導數(shù)求出切線方程，然后利用弦長公式求弦長．
【解答】解：由題意（1），切點為，
，（1），
切線方程為：，
代入整理后得，
顯然△，
設(shè)，，，，則，，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查利用導數(shù)求切線的方法，直線與圓相交時的弦長公式，屬于中檔題．
13．（2024 羅湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)若函數(shù)的圖象在點，和點，處的兩條切線相互平行且分別交軸于，兩點，則的取值范圍為 　，　．
【分析】設(shè)切線的傾斜角為，則，，再結(jié)合切線相互平行，則導數(shù)相等，得到，之間的關(guān)系，將化成關(guān)于的函數(shù)，再研究函數(shù)的值域即可．
【解答】解：不妨設(shè)兩條切線的傾斜角為，顯然為銳角，
則，，所以，
由，，
所以，即，
所以，
令，，，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時，；時，，（1），
所以，即的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值的方法，屬于中檔題．
14．（2024 沙依巴克區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若，是方程的兩不等實根，則的最小值是 　　．
【分析】首先做出函數(shù)的圖象，，并由的范圍表示出，的，從而可表示為的函數(shù)，再進一步利用函數(shù)的導數(shù)求出最小值．
【解答】解：首先作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
，，
則，
所以，，
，
所以，
當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
所以由時，；（1），，
故，．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)的關(guān)系，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題和易錯題．
15．（2024 黃浦區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)，若對任意，皆有成立，則實數(shù)的取值范圍是 　，　．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時，利用分離常數(shù)法求出實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：因為，
設(shè)，則，
又因為函數(shù)，且對任意，皆有成立，
所以，，且，所以；
設(shè)，，
則，
令，解得，所以時，，單調(diào)遞增，
，時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
所以實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查了導數(shù)的定義與應用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性應用問題，是中檔題．
16．（2024 中山市校級模擬）若關(guān)于的不等式在，上恒成立，則實數(shù)的最大值為 　　．
【分析】把原不等式整理為在，上恒成立，設(shè)左邊為新函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值即可．
【解答】解：依題意，原不等式可化為在，上恒成立．
令，則，
求導數(shù)．
令，得．
當，即時，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，
則，解得，與矛盾，此時不符合題意；
當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，解得，所以，
又，所以不符合題意；
當，即時，在，上單調(diào)遞增，
則，解得．
綜上，實數(shù)的取值范圍是，，
所以實數(shù)的最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查了不等式恒成立的應用問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，是難題．
四．解答題（共11小題）
17．（2024 榆陽區(qū)校級一模）已知函數(shù)．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）時，函數(shù)，利用分類討論法求不等式的解集即可；
（2），時，不等式化為，根據(jù)絕對值的定義分離常數(shù)，從而求出的取值范圍．
【解答】解：（1）時，函數(shù)，
不等式等價于，或，或，
解得，或，或，
所以不等式的解集為；
（2），時，；
使得不等式成立，即；
所以，或；
所以，或；
由，或，
所以，或，
所以實數(shù)的取值范圍是，或．
【點評】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應用問題，是中檔題．
18．（2024 莊浪縣校級一模）設(shè)，，且（1）．
（1）求的值及的定義域．
（2）求在區(qū)間，上的最大值．
【分析】（1）由（1），求出的值，由對數(shù)的真數(shù)大于0，求得的取值范圍，即得定義域；
（2）化簡，考查在區(qū)間，上的單調(diào)性，求出最大值．
【解答】解：（1），，
（1），
；
，
，
解得；
的定義域是．
（2），
且；
當時，在區(qū)間，上取得最大值，是．
【點評】本題考查了求函數(shù)的定義域和在閉區(qū)間上的最值問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的解析式，求出定義域，根據(jù)定義域求出最值，是基礎(chǔ)題．
19．（2024 廣東模擬）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在，（1）處的切線方程；
（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）求出切點坐標與切點處的導數(shù)，再利用點斜式寫出切線方程；
（2）研究的單調(diào)性，求出的最小值，令其最小值大于等于零即可．
【解答】解：（1）若，則，所以（1），
因為，
所以（1），則切線方程為，即；
（2）因為，，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（2），
因為當時，恒成立，
所以，所以，
故的取值范圍是，．
【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，不等式恒成立問題的解題思路，屬于中檔題．
20．（2024 龍崗區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．
（1）若在上有唯一零點，求的取值范圍；
（2）若對任意實數(shù)恒成立，證明：．
【分析】（1）令，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出其大致圖像，結(jié)合圖象即可得解；
（2）根據(jù)對任意實數(shù)恒成立，可得是函數(shù)的最小值，由分類討論求出的最小值，再構(gòu)造新的函數(shù)證明即可．
【解答】解：（1）令，得，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又，
如圖，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，的取值范圍為或；
（2）證明：因為對任意實數(shù)恒成立，
所以是函數(shù)的最小值，
，
當時，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以函數(shù)沒有最小值，不符合題意，
當時，時，，時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，，
則，即，
即，即，
令，
，
當且僅當，即時取等號，
所以，
，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為，
所以，即，
所以．
【點評】本題考查利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題．
本題屬于難題．
21．（2024 重慶模擬）已知函數(shù)為實數(shù)）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個不相等的正數(shù)，滿足，求證．
（3）若有兩個零點，，證明：．
【分析】（1）求出導數(shù)，然后通過討論的取值確定導數(shù)的符號，確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)正數(shù)，滿足，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性解決問題；
（3）根據(jù)的兩個零點滿足的關(guān)系，取，構(gòu)造函數(shù)，研究的單調(diào)性和最值求解．
【解答】解：（1），
當時，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當時令，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）證明：令，
，故在上遞增，
又因為，
所以當時，；時，，
當時，在上遞增，與已知矛盾；
當時，在上遞增，上遞減，則，必有一個在上，一個在上，
不妨設(shè)，若，則顯然成立，
若，則時，知，
即，結(jié)合得，
又因為，且在上遞增，
則即證畢；
（3）證明：不妨設(shè)，由，可得，
即，則，
設(shè)，則，，
令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以（1），即．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，解決與函數(shù)零點有關(guān)的問題，綜合考查了學生的邏輯推理能力和運算能力等，屬于較難的題目．
22．（2024 吉林模擬）在平面直角坐標系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數(shù)圖象上．
（1）當頂點在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；
（2）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實根，．
求實數(shù)的取值范圍；
證明：．
【分析】（1）先確定所求幾何體何時能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最大值；
（2）根據(jù)題意知，，進行同構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等的實數(shù)根，再進行分離參數(shù)，研究的單調(diào)性和極值，即可求出的取值范圍；
由知，先證，即極值點偏移問題，構(gòu)造函數(shù)，求，在單調(diào)遞增，，得，從而可得即，再由的單調(diào)性，即可得到．
【解答】解：（1）因為在軸上方，所以：，
為直角三角形，所以當軸時，所得圓錐的體積才可能最大，
設(shè)，則，，
設(shè)，則，由，
因為，所以，
所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以，
從而；
（2）因為，即，即，
令，所以，
因為為增函數(shù)，所以即，
所以方程有兩個不等實根，等價于有兩個不等實根，，
令，所以，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
所以；
當時，；當時，由洛必達法則知，所以，
由知，，，
令，，
因為，所以，
因為，，所以，即在單調(diào)遞增，，所以．
因為，所以，
又因為，所以，
因為，，且在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，
所以．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、進而解決函數(shù)零點、不等式的證明問題的解題思路，屬于難題．
23．（2024 汕頭一模）2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學在內(nèi)共有16個學科900多項實驗與實踐活動．
我市某學校的數(shù)學老師組織學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭．結(jié)果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到．
假設(shè)小明在果園中一共會遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆．
設(shè)，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為．
（1）若，，求；
（2）當趨向于無窮大時，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值．
（取
【分析】（1）設(shè)這4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，求出不同排法；要摘到最大的那顆番石榴，討論①最大的番石榴是第3顆時，②最大的番石榴是第4顆時，求出不同排法種數(shù)，計算所求的概率值；
（2）記事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第顆，求出，利用全概率公式計算（A），列式求值即可．
【解答】解：（1），時，設(shè)這4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，有（種不同排法，
要摘到最大的那顆番石榴，有以下兩種情況：
①最大的番石榴是第3顆，其他的番石榴在任意的位置，共有（種不同排法；
②最大的番石榴是第4顆，第二大的番石榴是第1顆或第2顆，其他的番石榴任意排法，有（種不同排法；
綜上，所求的概率值為；
（2）記事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第顆，
因為最大的番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，所以，
以給給定所在位置的序號為條件，則（A），
當時，最大的番石榴在前顆番石榴內(nèi)，不會被摘到，此時；
當時，最大的番石榴被摘到，當且僅當前顆番石榴中的最大的一顆在前顆番石榴中時，此時；
由全概率公式知，（A）；
設(shè)，其中，為常數(shù)；則，
令，得，
所以，當時，，單調(diào)遞增；當，時，，單調(diào)遞減，
所以的最大值為；
所以，當時，（A）取得最大值，最大值為，此時；
所以的最大值為，此時．
【點評】本題考查了概率在生活中的應用問題，也考查了運算求解能力與數(shù)學建模核心素養(yǎng)，是難題．
24．（2024 天津模擬），，已知的圖象在，處的切線與軸平行或重合．
（1）求的值；
（2）若對，恒成立，求的取值范圍；
（3）利用如表數(shù)據(jù)證明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)，求出的值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)累加即可．
【解答】解：（1），則；
（2），即恒成立，
，則，
，
則遞減．
所以時，；
（3）證明：
．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查不等式的證明，是一道綜合題．
25．（2024 濟寧一模）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，，使得成立；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為．證明：．
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，計算，討論的取值，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．
（2）設(shè)，，判斷在區(qū)間，上單調(diào)遞減，計算，判斷，計算，判斷，即可得出區(qū)間，上存在唯一實數(shù)，使得，即可得出結(jié)論成立．
（3）由時，在上單調(diào)遞減，得出時，，設(shè)，，得出，令，，得出，即可得出．
【解答】（1）解：函數(shù)的定義域為，且；
①若，則 恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
②若，則時，，單調(diào)遞增；，時，，單調(diào)遞減；
綜上，當時，在上單調(diào)遞增；
時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：設(shè)，，
則，
因為，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減；
，
設(shè)，，則，所以時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增；所以的最小值為（1）．
又，所以，所以恒成立；又因為，，所以．
同理可得：，由時等號成立），
又因為，所以，所以恒成立；
又因為，，，所以．
所以，區(qū)間，上存在唯一實數(shù)，使得，
所以對任意，存在唯一的實數(shù)，，使得成立．
（3）證明：當時，由（1）可得，在上單調(diào)遞減，
所以時，（1），即．
令，，則，
即，所以，
令，，則，
所以，即．
【點評】本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，也考查了利用函數(shù)不等式證明的應用問題，是難題．
26．（2024 廣東模擬）已知函數(shù)有極值點
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點、，且，求的值．
【分析】（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)有極值點，則有解，繼而可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間及的取值范圍；
（Ⅱ）由于函數(shù)有兩個極值點、，則，，又由，則得到關(guān)于的關(guān)系式，即得的值．
【解答】解：（Ⅰ），
由于函數(shù)有極值點
則△，解得，或
，
減區(qū)間為；
（Ⅱ）由知，，
又由函數(shù)，
則
解得，
則的值為．
【點評】本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值問題．屬于中檔題．
27．（2024 海淀區(qū)校級模擬）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線．求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，，求實數(shù)的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為至少有兩個不等的正實根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性從而得到的范圍；
（Ⅲ）時，不合題意，時，通過討論的符號，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出的范圍．
【解答】解：（Ⅰ），
當時，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
當時，令，得，
當變化時，，的變化情況如下：
，
0
極小值
在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線，
至少有兩個不等的正實根，
令得，記其兩個實根分別為，，
則，解得：，
當時，曲線在點，，，處的切線分別為：
，，
令，
由得，（不防設(shè)，
且當時，，即在，上是單調(diào)函數(shù)，
；
，是曲線的兩條不同的切線，
實數(shù)的范圍是；
（Ⅲ）當時，函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)，
，而，不符合題意，
當時，由（Ⅰ）知：的最小值是，
①若，即時，，，
符合題意，
②若，即時，，
符合題意，
③若，即時，有，
（1），函數(shù)在，內(nèi)是增函數(shù)，
當時，，
又函數(shù)的定義域是，
，，
符合題意，
綜上，實數(shù)的范圍是．
【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用問題，考察導數(shù)的應用，考察分類討論思想，第三問中通過討論的符號，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求的范圍是解題的關(guān)鍵，本題是一道難題．考前回顧08　函數(shù)與導數(shù)（知識清單+易錯分析+23年高考真題+24年最新模擬）
知識清單
1．函數(shù)的定義域和值域
(1)求函數(shù)定義域的類型和相應方法
若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．
(2)常見函數(shù)的值域
①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域為R；
②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為，當a<0時，值域為；
③反比例函數(shù)y＝(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．
2．函數(shù)的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．
(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．
3．關(guān)于函數(shù)周期性、對稱性的結(jié)論
(1)函數(shù)的周期性
①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期；
②若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期；
③若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期．
(2)函數(shù)圖象的對稱性
①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，
則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．
②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，
則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點對稱．
4．函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．
(1)單調(diào)性的定義的等價形式：設(shè)任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減．
(2)若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．
5．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)
(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0,1)點；
y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1,0)點．
(2)單調(diào)性：當a>1時，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當06．函數(shù)的零點
(1)零點定義：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．
方程f(x)＝0有實數(shù)解 函數(shù)y＝f(x)有零點 函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點．
(2)確定函數(shù)零點的三種常用方法
①解方程判定法：解方程f(x)＝0；
②零點存在定理法：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．
③數(shù)形結(jié)合法：尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同時多用此法求解．
7．導數(shù)的幾何意義
(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．
8．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
(1)求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
①求函數(shù)f(x)的定義域；
②求導函數(shù)f′(x)；
③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．
(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
①若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立；
②若可導函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；
③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．
9．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
(1)求函數(shù)的極值的一般步驟
①確定函數(shù)的定義域；
②解方程f′(x)＝0；
③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近兩側(cè)的符號變化：
若左正右負，則x0為極大值點；
若左負右正，則x0為極小值點；
若不變號，則x0不是極值點．
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；
②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
10．常見的含有導數(shù)的幾種不等式構(gòu)造原函數(shù)類型
(1)對于f′(x)±g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)±g(x)．
(2)對于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)．
(3)對于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝(g(x)≠0)．
例如，對于xf′(x)＋f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xf(x)，
對于xf′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝.
對于f(x)＋f′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝exf(x)，
對于f′(x)－f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝.
易錯提醒
1．解決函數(shù)問題時要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．
2．解決分段函數(shù)問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍．
3．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．
4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．
5．準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)．如指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性容易忽視對a的取值進行討論；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)容易忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件．
6．易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化．
7．已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對 x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立．
8．f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點．一定要檢驗在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點．
易錯分析
易錯點1 對復合函數(shù)定義域的理解不透徹致誤
1.[江蘇三校2023聯(lián)考]已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（ ）
2. [江蘇揚州高郵2022調(diào)研]已知，且的定義域為，值域為，設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，則（ ）
易錯點2 忽視函數(shù)定義域而致誤
3.[重慶2023一診]已知定義域為的減函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為 .
4.[安徽黃山2022一模]連續(xù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，若，則的取值范圍是（ ）
5.[河南中原頂級名校2022聯(lián)考]函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
易錯點3 不能正確理解分段函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性致誤
6.[吉林部分學校2023大聯(lián)考]已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
易錯點4 對數(shù)型復合函數(shù)的定義域為和值域為理解不透徹致誤
7.[河北“五個一”名校2023聯(lián)考]已知函數(shù)的值域為，那么的取值范圍是 .
易錯點5 函數(shù)的圖象畫的不準確而致誤
8.[河北2023聯(lián)考]已知函數(shù)
若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（ ）
易錯點6 利用數(shù)形結(jié)合法求方程根的個數(shù)時，所畫的兩函數(shù)的圖象的位置不準確而致誤
[江蘇常州一中2023調(diào)研]若函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
易錯點7 忽視分段函數(shù)交界處的函數(shù)值的大小
10.[湖北鄂西北四校 2022 聯(lián)考]已知滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
易錯點8 底數(shù)含參數(shù)的對數(shù)函數(shù)忽視分類討論而致誤
11.[江蘇南京師大附中2022開學考改編]當時，，則的取值范圍是 .
易錯點9 對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性判斷不清致誤
12.[四川瀘州江陽區(qū)2022期末]若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
易錯點10 忽視函數(shù)圖象端點的取值致錯
13.[陜西安康2022期末]已知函數(shù)，若函數(shù)有6個零點，則的取值范圍是（ ）
易錯點11 混淆曲線在某點處的切線方程與過某點的切線方程
14.[江蘇南通2023期末]已知函數(shù)，則曲線經(jīng)過點的切線方程是 .
3.[陜西安康2022調(diào)研]曲線過點的切線方程是（ ）
易錯點12 混淆極值點的含義致誤
15. [河南洛陽 2023 月考]若是函數(shù)的極值點，則的值為（ ）
16. [山西長治八中2022測評]已知函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
高考真題
一．選擇題（共13小題）
1．（2023 全國）若，且，則　　
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023 新高考Ⅰ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是　　
A．， B．， C．， D．，
3．（2023 天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為　　
A． B．
C． D．
4．（2023 上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是　　
A． B． C． D．
5．（2023 甲卷）曲線在點處的切線方程為　　
A． B． C． D．
6．（2023 乙卷）已知是偶函數(shù)，則　　
A． B． C．1 D．2
7．（2023 北京）下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞增的是　　
A． B． C． D．
8．（2023 新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為　　
A． B． C． D．
9．（2023 新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則　　
A． B．0 C． D．1
10．（2023 甲卷）函數(shù)的圖象由的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為　　
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023 乙卷）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
12．（2023 全國）已知函數(shù)在處取得極小值1，則　　
A． B．0 C．1 D．2
13．（2023 甲卷）已知函數(shù)．記，，，則　　
A． B． C． D．
二．多選題（共3小題）
14．（2023 新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則　　
A． B． C． D．
15．（2023 新高考Ⅰ）已知函數(shù)的定義域為，，則　　
A． B．（1）
C．是偶函數(shù) D．為的極小值點
16．（2023 新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動力汽車 10
電動汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則　　
A． B． C． D．
三．填空題（共11小題）
17．（2023 甲卷）若為偶函數(shù)，則　　．
18．（2023 甲卷）若為偶函數(shù)，則　　．
19．（2023 全國）為上奇函數(shù)，，（1）（2）（3）（4）（5），　　．
20．（2023 上海）已知函數(shù)，且，則方程的解為 　　．
21．（2023 北京）已知函數(shù)，則　　．
22．（2023 上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 　　．
23．（2023 全國）曲線在處切線方程為 　　．
24．（2023 全國）已知函數(shù)，則在區(qū)間的最大值為 　　．
25．（2023 乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是 　　．
26．（2023 天津）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 　　．
27．（2023 北京）設(shè)，函數(shù)給出下列四個結(jié)論，正確的序號為 　　．
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當時，存在最大值；
③設(shè)，，，，則；
④設(shè)，，，，若存在最小值，則的取值范圍是，．
四．解答題（共11小題）
28．（2023 上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)” ，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．
（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑體的“體形系數(shù)” ；（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）
（2）定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設(shè)為某宿舍樓的層數(shù)，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為．當，時，試求當該宿舍樓的層數(shù)為多少時，“體形系數(shù)” 最小．
29．（2023 甲卷）已知，．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
30．（2023 上海）已知，，函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)過點，且函數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．
31．（2023 新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當時，．
32．（2023 甲卷）已知函數(shù)，．
（1）當時，討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
33．（2023 新高考Ⅱ）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．
34．（2023 乙卷）已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；
（3）若在存在極值，求的取值范圍．
35．（2023 北京）設(shè)函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線方程為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求的極值點的個數(shù)．
36．（2023 上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．
（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；
（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；
（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當且僅當或時，（c）（c）．
37．（2023 乙卷）已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
38．（2023 天津）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當時，求證：；
（Ⅲ）證明：．
最新模擬
一．選擇題（共8小題）
1．（2024 武漢模擬）人的心臟跳動時，血壓在增加或減少．若某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（單位：，為時間（單位：，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為　　
A．50 B．70 C．90 D．130
2．（2024 云南一模）已知函數(shù)，若，，（3），則　　
A． B． C． D．
3．（2024 2月份模擬）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線” 由德國心理學家艾賓浩斯．研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認知研究產(chǎn)生了重大影響．陳同學利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時間（小時）的大致關(guān)系：．若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶的，則他復習背誦時間需大約在　　
A． B． C． D．
4．（2024 五華區(qū)校級模擬）網(wǎng)購已成為人們習以為常的生活方式，大量的網(wǎng)購增加了人們對快遞的需求，快遞量幾何級增長，快遞包裝箱的消費量也十分驚人，瓦楞紙板是最主要的快遞包裝材料，如何使用更少的紙板來包裹更多的物品，這對于環(huán)境保護和商家的利益都是非常重要的問題．現(xiàn)某商家需設(shè)計一體積為的紙箱．要求紙箱底面必須為正方形，為了保護易碎的商品，紙箱的底面和頂面必須用雙層瓦楞紙板制成．已知瓦楞紙板的市場價格大約為1元，則一個紙箱的成本最低約為（參考數(shù)據(jù)：，　　
A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元
5．（2024 湖北模擬）已知對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2024 東莞市校級一模）已知集合，若，，且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對，，的個數(shù)是　　
A．16 B．24 C．32 D．48
7．（2024 邵陽模擬）已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)．若（1），且在上恒成立，則不等式的解集為　　
A． B． C． D．
8．（2024 重慶模擬）已知是奇函數(shù)，則在點，處的切線方程為　　
A． B． C． D．
二．多選題（共1小題）
9．（2024 如皋市模擬）設(shè)為常數(shù)，，，則　　
A． B．恒成立
C． D．滿足條件的不止一個
三．填空題（共7小題）
10．（2024 江西模擬）若不等式在，上恒成立，則的最大值為 　　．
11．（2024 重慶模擬）給機器人輸入一個指令，（其中常數(shù)后，該機器人在坐標平面上先面向軸正方向行走個單位距離，接著原地逆時針旋轉(zhuǎn)后再面向軸正方向行走個單位距離，如此就完成一次操作．已知該機器人的安全活動區(qū)域滿足，若開始時機器人在函數(shù)圖象上的點處面向軸正方向，經(jīng)過一次操作后該機器人落在安全區(qū)域內(nèi)的一點處，且點恰好也在函數(shù)圖象上，則　　．
12．（2024 常德模擬）已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則　　．
13．（2024 羅湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)若函數(shù)的圖象在點，和點，處的兩條切線相互平行且分別交軸于，兩點，則的取值范圍為 　　．
14．（2024 沙依巴克區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，若，是方程的兩不等實根，則的最小值是 　　．
15．（2024 黃浦區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)，若對任意，皆有成立，則實數(shù)的取值范圍是 　　．
16．（2024 中山市校級模擬）若關(guān)于的不等式在，上恒成立，則實數(shù)的最大值為 　　．
四．解答題（共11小題）
17．（2024 榆陽區(qū)校級一模）已知函數(shù)．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若，，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
18．（2024 莊浪縣校級一模）設(shè)，，且（1）．
（1）求的值及的定義域．
（2）求在區(qū)間，上的最大值．
19．（2024 廣東模擬）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在，（1）處的切線方程；
（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
20．（2024 龍崗區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．
（1）若在上有唯一零點，求的取值范圍；
（2）若對任意實數(shù)恒成立，證明：．
21．（2024 重慶模擬）已知函數(shù)為實數(shù)）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在兩個不相等的正數(shù)，滿足，求證．
（3）若有兩個零點，，證明：．
22．（2024 吉林模擬）在平面直角坐標系中，的直角頂點在軸上，另一個頂點在函數(shù)圖象上．
（1）當頂點在軸上方時，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；
（2）已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個不等實根，．
求實數(shù)的取值范圍；
證明：．
23．（2024 汕頭一模）2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學在內(nèi)共有16個學科900多項實驗與實踐活動．
我市某學校的數(shù)學老師組織學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭．結(jié)果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到．
假設(shè)小明在果園中一共會遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆．
設(shè)，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為．
（1）若，，求；
（2）當趨向于無窮大時，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值．
（取
24．（2024 天津模擬），，已知的圖象在，處的切線與軸平行或重合．
（1）求的值；
（2）若對，恒成立，求的取值范圍；
（3）利用如表數(shù)據(jù)證明：．
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454
25．（2024 濟寧一模）已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，，使得成立；
（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為．證明：．
26．（2024 廣東模擬）已知函數(shù)有極值點
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個極值點、，且，求的值．
27．（2024 海淀區(qū)校級模擬）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在兩條直線，都是曲線的切線．求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，，求實數(shù)的取值范圍．

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