資源簡介

空間向量的基本定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 類比共線向量基本定理與平面向量基本定理，理解共面向量定理； 2.理解空間向量基本定理； 3.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：理解共面向量定理. 任務(wù)：類比共線向量基本定理與平面向量基本定理，理解共面向量定理. 問題1：回顧共線向量基本定理與平面向量基本定理，完成下列填空. （1）共線向量基本定理：如果______0且∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得_______； （2）平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個(gè)向量與______，則對該平面內(nèi)任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使得_______. 問題2：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在直線AA1上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得. 已知點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD，AB上，試用向量，表示向量？ 思考：結(jié)合問題2，說說如何判斷空間中的三個(gè)向量是否共面？ 【新知講授】 共面向量基本定理： 如果兩個(gè)向量，不共線，則向量，，共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對 (x，y)，使. 問題3：如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，在AC1上和BC上分別有一點(diǎn)M和N，且，，其中0≤k≤1. 求證：，，共面. 練一練：已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi) . ， ，∴向量，，共面； 又它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線， ∴M，A，B，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi). 【歸納總結(jié)】 判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法： 如果A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對 (x，y)，使.
目標(biāo)二：理解空間向量的基本定理. 任務(wù)：通過類比共線向量基本定理和平面向量基本定理得出空間向量基本定理. 問題1：嘗試由共線向量和平面向量的基本定理類比得出相應(yīng)在空間中的結(jié)論？ 【新知講授】 空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序數(shù)組 (x，y，z)，使得. 問題2：回顧平面向量基本定理的證明過程，如何證明空間向量基本定理？（） 思考：如何證明空間向量基本定理的唯一性？ 【歸納總結(jié)】 向量的線性組合與基底、基向量： 1.表達(dá)式一般稱為向量，，的線性組合或線性表達(dá)式； 2.空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}稱為空間向量的一組基底；其中，，稱為基向量； 3.若，則稱為在基底{，，}下的分解式. 練一練：如圖所示，平行六面體ABCD-A B C D 中，設(shè)，，，試用基底{，，}表示向量，，，. 問題3：如圖所示，已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，D為A1C1的中點(diǎn)，∠ABC = 60°，AB = 2，BC = CC1 = 1，求. 練一練：如圖，M是四面體O-ABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且，，試用向量，，表示.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.共面向量基本定理概念是什么？ 2.空間向量的基本定理概念是什么？ 3.向量的線性組合與基底、基向量概念是什么？
2空間向量的基本定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 類比共線向量基本定理與平面向量基本定理，理解共面向量定理； 2.理解空間向量基本定理； 3.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：理解共面向量定理. 任務(wù)：類比共線向量基本定理與平面向量基本定理，理解共面向量定理. 問題1：回顧共線向量基本定理與平面向量基本定理，完成下列填空. （1）共線向量基本定理：如果______0且∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得_______； （2）平面向量基本定理：如果平面內(nèi)兩個(gè)向量與______，則對該平面內(nèi)任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)對(x，y)，使得_______. 參考答案：（1）≠；；（2）不共線；. 問題2：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在直線AA1上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得. 已知點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD，AB上，試用向量，表示向量？ 參考答案：由圖可知，， 又點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AD，AB上，則必存在實(shí)數(shù)s，t，使得，； 所以. 由上可知，共線向量基本定理與平面向量的基本定理在空間中仍然成立. 思考：結(jié)合問題2，說說如何判斷空間中的三個(gè)向量是否共面？ 【新知講授】 共面向量基本定理： 如果兩個(gè)向量，不共線，則向量，，共面的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對 (x，y)，使. 問題3：如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，在AC1上和BC上分別有一點(diǎn)M和N，且，，其中0≤k≤1. 求證：，，共面. 參考答案：因?yàn)椋?==， 所以. 由共面向量定理可知，，，共面. 練一練：已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi) . ， ，∴向量，，共面； 又它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線， ∴M，A，B，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi). 【歸納總結(jié)】 判斷空間中四點(diǎn)是否共面的方法： 如果A，B，C三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實(shí)數(shù)對 (x，y)，使.
目標(biāo)二：理解空間向量的基本定理. 任務(wù)：通過類比共線向量基本定理和平面向量基本定理得出空間向量基本定理. 問題1：嘗試由共線向量和平面向量的基本定理類比得出相應(yīng)在空間中的結(jié)論？ 參考答案：空間中，當(dāng)，，三個(gè)向量不共面時(shí)，任意一個(gè)向量都可以寫成，，的線性運(yùn)算，而且表達(dá)式唯一. 【新知講授】 空間向量基本定理：如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序數(shù)組 (x，y，z)，使得. 問題2：回顧平面向量基本定理的證明過程，如何證明空間向量基本定理？（） 參考答案： （1）當(dāng)與，，的某兩個(gè)向量共面時(shí)，根據(jù)共面向量基本定理可知結(jié)論成立； （2）當(dāng)與，，的任意兩個(gè)向量不共面時(shí)， 如圖，過點(diǎn)O作，，，， 過點(diǎn)P作直線PP1，平行于OC，交平面OAB于點(diǎn)P1； 過P1作直線P1A1∥OB，P1B1∥OA，且分別交直線OA，OB于點(diǎn)A1，B1； 在OC上取一點(diǎn)C1，使得. 存在三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使得，，. 作，則OA1P1B1-C1MPN是一個(gè)平行六面體， 因此，， 即. 思考：如何證明空間向量基本定理的唯一性？ 參考答案：反證法： 設(shè)且，則； 如果x ≠ x′，則，即，，共面； 這與已知矛盾，因此x = x′，同理y = y′，z = z′. 綜上，空間向量基本定理中，用，，表示的表達(dá)式唯一. 特別地，當(dāng)，，不共面時(shí)，可知 x = y = z = 0. 【歸納總結(jié)】 向量的線性組合與基底、基向量： 1.表達(dá)式一般稱為向量，，的線性組合或線性表達(dá)式； 2.空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}稱為空間向量的一組基底；其中，，稱為基向量； 3.若，則稱為在基底{，，}下的分解式. 練一練：如圖所示，平行六面體ABCD-A B C D 中，設(shè)，，，試用基底{，，}表示向量，，，. 參考答案：因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以 ； 同理； ； . 問題3：如圖所示，已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，D為A1C1的中點(diǎn)，∠ABC = 60°，AB = 2，BC = CC1 = 1，求. 參考答案：由題意可知， ，，， ； 所以，； 又因?yàn)椋?， 所以 練一練：如圖，M是四面體O-ABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且，，試用向量，，表示. 參考答案：由圖可知，
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.共面向量基本定理概念是什么？ 2.空間向量的基本定理概念是什么？ 3.向量的線性組合與基底、基向量概念是什么？
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