資源簡介

課時2 空間向量及其運算
學習目標 1.掌握空間向量的線性運算； 2.掌握空間中向量夾角的概念及表示方法； 3.掌握空間向量數量積的定義、性質、運算律及計算方法.
學習活動
目標一：掌握空間向量的線性運算. 任務：通過類比平面向量的線性運算，掌握空間向量的線性運算. 問題1：結合平面向量的減法運算，完成下列填空. 空間向量的減法： （1）在空間中任取一點O，作=，=，作出向量，則向量是____________________，即–=； （2）當與不共線時，向量，，正好能構成一個三角形，這種求兩向量差的作圖方法稱為______________________. 參考答案： （1）向量與的差（也稱為向量與的差向量）； （2）向量減法的三角形法則. 問題2：如圖所示，任意兩個不共線的向量，，在空間中任取一點A，作=，=，以AB，AC為鄰邊，作平行四邊形ABDC，則如何用向量，表示，？ 參考答案： 如圖所示，，； 追問：由上可知，向量與的和向量、差向量分別有何意義？ 【歸納總結】 如圖所示，，. 即向量與的和向量、差向量分別可以看成平行四邊形的兩條對角線. 練一練：觀察如圖四棱錐O-ABCD，完成下列填空. ；. 參考答案：；. 思考：對比下列向量加、減法的運算，說說有什么發現？ ； ，. 【新知講授】 1.同平面中的情形一樣，給定一個空間向量，把與這個向量方向相反大小相等的向量稱為它的相反向量，向量的相反向量記作. ① 如的相反向量是，即； ② 因為零向量始點與終點相同，所以. 2.空間向量的減法可看成向量的加法：，即一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量. 問題3：若是實數，是向量，類比平面向量的運算，解釋的含義及其幾何意義？ 【新知講授】 1.數乘向量： （1）同平面中的情形一樣，給定一個實數與任意一個空間向量，規定：它們的乘積是一個空間向量，記作，其中： ①當且時，的模為||||，而且的方向：當> 0時，與的方向相同；當< 0時，與的方向相反； ②當= 0或時，. 這種實數與空間向量相乘的運算簡稱為數乘向量； （2）如果存在實數，使得，則∥；且如果存在實數，使得，則與平行且有公共點A，故A，B，C三點一定共線；（特別地，當時，即時，B為線段AC的中點） （3）實數與，向量與，有如下運算律： ，. 2.數乘向量的幾何意義： 數乘向量的幾何意義就是把向量沿著的方向或反方向擴大或縮小||倍. 問題4：設AB是空間中任意一條線段，O是空間中任意一點，求證：M為AB中點的充要條件是 參考答案： 證明：因為M為AB的中點 ， 所以結論成立. 【歸納總結】 如圖，棱錐O-ABCD的底面ABCD是一個平行四邊形，則N既是AC的中點，也是BD的中點，由問題4結論可知， ；同理等. 練一練：如圖所示三棱錐A-BCD中，O為CD的中點，化簡，并在圖中作出表示化簡結果的向量. 參考答案： 因為O為CD中點，所以，從而有 . 化簡結果的向量如圖所示.
目標二：掌握空間向量數量積. 任務1：通過類比平面向量夾角的概念，定義空間向量的夾角. 【新知講授】 平面向量夾角：平面內，給定兩個非零向量，，任意在平面內選定一點O，作，，則大小在[0，π]內的∠AOB稱為與的夾角，記作<，>. 問題1：結合平面向量夾角的定義，如何定義空間向量夾角？ 【新知講授】 空間向量的夾角： 1.給定兩個非零向量，，任意在空間中選定一點O，作，，則大小在[0，π]內的∠AOB稱為與的夾角，記作<，>； 2.如果<，> =，則稱向量與垂直，記作⊥； 3.規定：零向量與任意向量都垂直. 問題2：如圖所示是一個正方形，求下列各對向量的夾角： （1）與； （2）與； （3）與； （4）與. 參考答案： （1）因為與的方向相同，所以,=,= 45°； （2），=，= 135°； （3），=，= 90°； （4），=，= 180°. 任務2：將平面向量數量積的概念與性質推廣到空間向量中. 【新知講授】 平面向量數量積的概念與性質： （1）平面內，兩個非零向量與的數量積（也稱為內積）定義為 （注：兩個向量的數量積的結果是一個數）； （2）數量積的幾何意義：如圖所示，過的始點和終點分別向所在的直線作垂線，即可得到向量在向量上的投影，與的數量積等于在上的投影的數量與的長度的乘積； （3）與單位向量的數量積等于在上的投影的數量； （4）規定：零向量與任意向量的數量積為0. 問題1：觀察上述平面向量數量積的有關概念與性質，能否將它們從平面推廣到空間中？ 【新知講授】 空間向量數量積的概念與性質： 1.空間中，兩個非零向量與的數量積定義為； 2.空間向量的數量積具有以下性質； ① ； ② ； ③ ； ④ ()·=(·)； ⑤ （交換律）； ⑥ （分配律）. 追問：上述向量數量積的性質，分別有什么應用？ 3.兩個向量與的數量積的幾何意義：數量積等于在上的投影的數量與的長度||的乘積. 問題2：如圖所示長方體ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中點，AA'=AD=2，AB=4，求： （1）； （2）. 參考答案： （1）（方法一）因為是長方體，而且AA' = AD = 2，所以，，， 因此. （方法二）由圖可以看出，在上的投影是，而且，注意到與的方向相同，所以等于的長，即. （2）由圖可知，在上的投影是，而且，注意到與的方向相反，所以等于的長的相反數，即. 練一練：已知空間向量、滿足||=1，||=2，，試求： （1）|2+3|； （2）(+2)·(2–3). 參考答案： （1）|2+3|2 = (2+3)2 = 42 +12+92 = 4||2 +12||||cos+9||2 = 4×12 + 12×1×2×+ 9×22 = 52， 因此 |2+3|==. （2）(+2)·(2–3) = 22 +–62 = 2||2 +||||cos–6||2 = 2×12 + 1×2×–6×22 = –21.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.空間向量的線性運算有哪些？ 2.兩個向量的數量積與數乘向量有何區別？
2課時2 空間向量及其運算
學習目標 1.掌握空間向量的線性運算； 2.掌握空間中向量夾角的概念及表示方法； 3.掌握空間向量數量積的定義、性質、運算律及計算方法.
學習活動
目標一：掌握空間向量的線性運算. 任務：通過類比平面向量的線性運算，掌握空間向量的線性運算. 問題1：結合平面向量的減法運算，完成下列填空. 空間向量的減法： （1）在空間中任取一點O，作=，=，作出向量，則向量是____________________，即–=； （2）當與不共線時，向量，，正好能構成一個三角形，這種求兩向量差的作圖方法稱為______________________. 問題2：如圖所示，任意兩個不共線的向量，，在空間中任取一點A，作=，=，以AB，AC為鄰邊，作平行四邊形ABDC，則如何用向量，表示，？ 追問：由上可知，向量與的和向量、差向量分別有何意義？ 【歸納總結】 如圖所示，，. 即向量與的和向量、差向量分別可以看成平行四邊形的兩條對角線. 練一練：觀察如圖四棱錐O-ABCD，完成下列填空. ；. 思考：對比下列向量加、減法的運算，說說有什么發現？ ； ，. 【新知講授】 1.同平面中的情形一樣，給定一個空間向量，把與這個向量方向相反大小相等的向量稱為它的相反向量，向量的相反向量記作. ① 如的相反向量是，即； ② 因為零向量始點與終點相同，所以. 2.空間向量的減法可看成向量的加法：，即一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量. 問題3：若是實數，是向量，類比平面向量的運算，解釋的含義及其幾何意義？ 【新知講授】 1.數乘向量： （1）同平面中的情形一樣，給定一個實數與任意一個空間向量，規定：它們的乘積是一個空間向量，記作，其中： ①當且時，的模為||||，而且的方向：當> 0時，與的方向相同；當< 0時，與的方向相反； ②當= 0或時，. 這種實數與空間向量相乘的運算簡稱為數乘向量； （2）如果存在實數，使得，則∥；且如果存在實數，使得，則與平行且有公共點A，故A，B，C三點一定共線；（特別地，當時，即時，B為線段AC的中點） （3）實數與，向量與，有如下運算律： ，. 2.數乘向量的幾何意義： 數乘向量的幾何意義就是把向量沿著的方向或反方向擴大或縮小||倍. 問題4：設AB是空間中任意一條線段，O是空間中任意一點，求證：M為AB中點的充要條件是 【歸納總結】 如圖，棱錐O-ABCD的底面ABCD是一個平行四邊形，則N既是AC的中點，也是BD的中點，由問題4結論可知， ；同理等. 練一練：如圖所示三棱錐A-BCD中，O為CD的中點，化簡，并在圖中作出表示化簡結果的向量.
目標二：掌握空間向量數量積. 任務1：通過類比平面向量夾角的概念，定義空間向量的夾角. 【新知講授】 平面向量夾角：平面內，給定兩個非零向量，，任意在平面內選定一點O，作，，則大小在[0，π]內的∠AOB稱為與的夾角，記作<，>. 問題1：結合平面向量夾角的定義，如何定義空間向量夾角？ 【新知講授】 空間向量的夾角： 1.給定兩個非零向量，，任意在空間中選定一點O，作，，則大小在[0，π]內的∠AOB稱為與的夾角，記作<，>； 2.如果<，> =，則稱向量與垂直，記作⊥； 3.規定：零向量與任意向量都垂直. 問題2：如圖所示是一個正方形，求下列各對向量的夾角： （1）與； （2）與； （3）與； （4）與. 任務2：將平面向量數量積的概念與性質推廣到空間向量中. 【新知講授】 平面向量數量積的概念與性質： （1）平面內，兩個非零向量與的數量積（也稱為內積）定義為 （注：兩個向量的數量積的結果是一個數）； （2）數量積的幾何意義：如圖所示，過的始點和終點分別向所在的直線作垂線，即可得到向量在向量上的投影，與的數量積等于在上的投影的數量與的長度的乘積； （3）與單位向量的數量積等于在上的投影的數量； （4）規定：零向量與任意向量的數量積為0. 問題1：觀察上述平面向量數量積的有關概念與性質，能否將它們從平面推廣到空間中？ 【新知講授】 空間向量數量積的概念與性質： 1.空間中，兩個非零向量與的數量積定義為； 2.空間向量的數量積具有以下性質； ① ； ② ； ③ ； ④ ()·=(·)； ⑤ （交換律）； ⑥ （分配律）. 追問：上述向量數量積的性質，分別有什么應用？ 3.兩個向量與的數量積的幾何意義：數量積等于在上的投影的數量與的長度||的乘積. 問題2：如圖所示長方體ABCD-A'B'C'D'中，E是AA'的中點，AA'=AD=2，AB=4，求： （1）； （2）. 練一練：已知空間向量、滿足||=1，||=2，，試求： （1）|2+3|； （2）(+2)·(2–3). 參考答案： （1）|2+3|2 = (2+3)2 = 42 +12+92 = 4||2 +12||||cos+9||2 = 4×12 + 12×1×2×+ 9×22 = 52， 因此 |2+3|==. （2）(+2)·(2–3) = 22 +–62 = 2||2 +||||cos–6||2 = 2×12 + 1×2×–6×22 = –21.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.空間向量的線性運算有哪些？ 2.兩個向量的數量積與數乘向量有何區別？
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