資源簡介

空間向量的坐標與空間直角坐標系
學習目標 1.通過類比平面向量的坐標，了解空間向量坐標的定義； 2.理解空間向量的運算與坐標的關系； 3.會用坐標表示空間向量的平行和垂直關系．
學習活動
目標一：了解空間向量坐標的定義. 任務：通過類比平面向量的坐標，了解空間向量坐標的定義. 問題1：如圖，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，作為基底，若，則向量的坐標如何表示？ 參考答案：. 問題2：如圖，已知，，且OADB–CEGF是棱長為1的正方體，OF1E1A–A1D1C1B1是一個長方體，A1為OC的中點，F1O = 2. （1）設，，將向量與都用，，表示； （2）若是空間中任意一個向量，如何才能寫出在基底{，，}下的分解式. 參考答案： （1）=++；=– 2+； （2）將向量的始點平移到點O，然后過它的終點分別作與，，所在直線垂直的平面，即可寫出它在基底{，，}下的分解式. 【新知講授】 空間中向量的坐標： （1）如果空間向量的基底{，，}中，，，都是單位向量，而且這三個向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底； （2）在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，且如果= x+ y+ z，則稱有序實數組(x，y，z)為向量的坐標，記作 = (x，y，z)，其中x，y，z都稱為的坐標分量. 思考：若= x+ y+ z，則的坐標一定是(x，y，z)嗎？ 問題3：已知{，，}是單位正交基底，分別寫出下列空間向量的坐標： （1）= 2+3+；（2）= –+– 2；（2）= –2–；（4）. 參考答案： （1）= (2，3，1)； （2）= (–1，1，–2)； （3）= (0，–2，–1)； （4）= (0，0，0). 練一練：如果已知{，，}是單位正交基底，下列說法正確的是(　　) A.若= 2–＋3，則= (2，1，3) B.若= –＋2，則= (–1，2) C.若=＋3–，則= (1，3，–1) D.若= –3，則= (0，0，–3) 參考答案：C
目標二：理解空間向量的運算與坐標的關系. 任務：通過類比平面向量的運算的坐標表示，得出空間向量的運算的坐標表示. 問題1：設空間中兩個向量，滿足= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 則當=時，它們對應的坐標之間有什么關系？ 參考答案： 設{，，}是單位正交基底，則，， 當=時，有， 由空間向量基本定理可知，x1 = x2，y1 = y2，z1 = z2；反之結論也成立. 即：空間中兩個向量相等的充要條件是它們的坐標分量對應相等. 問題2：類比平面向量運算的坐標表示，完成填空. 平面向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示設= (x1，y1)，= (x2，y2)設= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)____________________________________________________________________
參考答案： 平面向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示設= (x1，y1)，= (x2，y2)設= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)
問題3：已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)，參照的坐標運算法則的推導過程，推導下列坐標運算法則. （1）(u，v∈R)； （2）； 示例：因為= x1+ y1+ z1+ x2+ y2+ z2= (x1+x2)+ (y1+y2)+ (z1+z2)，所以= (x1+x2，y1+y2，z1+z2). 參考答案： （1）， ， ， 即= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）因為{，，}是單位正交基底，所以， ，因此 【歸納總結】 空間向量的運算與坐標： 已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， （1）如果u，v∈R，則= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）；特別地：； （3）當且時，由向量數量積的定義可知： . 練一練1：已知= (–2，3，5)，= (3，–3，2)，求下列向量的坐標： （1）； （2）； （3）. 參考答案： （1）= (– 2，3，5) – (3，– 3，2) = (– 2 – 3，3 + 3，5 – 2) = (– 5，6，3)； （2）= 2(– 2，3，5) + (3，– 3，2) = (– 4，6，10) + (3，– 3，2) = (– 1，3，12)； （3）= –5(3，– 3，2) = (– 15，15，–10). 練一練2：已知= (1，0，1)，= (2，– 2，0)，求〈，〉. 參考答案： 因為，，；所以； 因此〈〉= 60°.
目標三：會用坐標表示空間向量的平行、垂直關系． 任務：應用向量的相關定理，回答下列問題. 問題1：已知空間向量，的坐標為= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 那么怎樣用它們的坐標表示下列結論？ （1）當時，∥的充要條件是存在實數，使得； （2）⊥的充要條件是. 參考答案： （1）當時， ∥ (x2，y2，z2) =(x1，y1，z1) ； 特別地，當的每一個坐標分量都不為零(即x1，y1，z1均不為0)時，有 ∥ ； （2）⊥ (x1，y1，z1)·(x2，y2，z2) x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0. 練一練： （1）已知= (1，-1，1)，= (x，y，z)，且∥，求x，y，z所要滿足的關系式； （2）已知= (-1，-1，1)，= (2，-2，6)，求一個非零空間向量，使得⊥且⊥. 參考答案： （1）因為= (1，-1，1)的每一個坐標分量都不為零，因此 ∥ x = – y = z； （2）設= (x，y，z)，則⊥且⊥ ， 將z看成已知數，求解方程組可得x = -z，y = 2z， 因此= (-z，2z，z) = z(-1，2，1)； 取z = 1，可得滿足條件的一個非零空間向量= (-1，2，1). 注：空間中同時垂直于兩個不共線向量的空間向量有無數個，而且這無數個向量是相互平行的.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.單位正交基底的概念是什么？它有什么特點？ 2.分別說說，如何用向量的坐標，判斷兩個空間向量相等、平行和垂直？
2空間向量的坐標與空間直角坐標系
學習目標 1.通過類比平面向量的坐標，了解空間向量坐標的定義； 2.理解空間向量的運算與坐標的關系； 3.會用坐標表示空間向量的平行和垂直關系．
學習活動
目標一：了解空間向量坐標的定義. 任務：通過類比平面向量的坐標，了解空間向量坐標的定義. 問題1：如圖，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量，作為基底，若，則向量的坐標如何表示？ 問題2：如圖，已知，，且OADB–CEGF是棱長為1的正方體，OF1E1A–A1D1C1B1是一個長方體，A1為OC的中點，F1O = 2. （1）設，，將向量與都用，，表示； （2）若是空間中任意一個向量，如何才能寫出在基底{，，}下的分解式. 【新知講授】 空間中向量的坐標： （1）如果空間向量的基底{，，}中，，，都是單位向量，而且這三個向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底； （2）在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，且如果= x+ y+ z，則稱有序實數組(x，y，z)為向量的坐標，記作 = (x，y，z)，其中x，y，z都稱為的坐標分量. 思考：若= x+ y+ z，則的坐標一定是(x，y，z)嗎？ 問題3：已知{，，}是單位正交基底，分別寫出下列空間向量的坐標： （1）= 2+3+；（2）= –+– 2；（2）= –2–；（4）. 練一練：如果已知{，，}是單位正交基底，下列說法正確的是(　　) A.若= 2–＋3，則= (2，1，3) B.若= –＋2，則= (–1，2) C.若=＋3–，則= (1，3，–1) D.若= –3，則= (0，0，–3)
目標二：理解空間向量的運算與坐標的關系. 任務：通過類比平面向量的運算的坐標表示，得出空間向量的運算的坐標表示. 問題1：設空間中兩個向量，滿足= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 則當=時，它們對應的坐標之間有什么關系？ 問題2：類比平面向量運算的坐標表示，完成填空. 平面向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示設= (x1，y1)，= (x2，y2)設= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)____________________________________________________________________
問題3：已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)，參照的坐標運算法則的推導過程，推導下列坐標運算法則. （1）(u，v∈R)； （2）； 示例：因為= x1+ y1+ z1+ x2+ y2+ z2= (x1+x2)+ (y1+y2)+ (z1+z2)，所以= (x1+x2，y1+y2，z1+z2). 【歸納總結】 空間向量的運算與坐標： 已知= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， （1）如果u，v∈R，則= (ux1 + vx2，uy1 + vy2，uz1 + vz2)； （2）；特別地：； （3）當且時，由向量數量積的定義可知： . 練一練1：已知= (–2，3，5)，= (3，–3，2)，求下列向量的坐標： （1）； （2）； （3）. 練一練2：已知= (1，0，1)，= (2，– 2，0)，求〈，〉.
目標三：會用坐標表示空間向量的平行、垂直關系． 任務：應用向量的相關定理，回答下列問題. 問題1：已知空間向量，的坐標為= (x1，y1，z1)，= (x2，y2，z2)， 那么怎樣用它們的坐標表示下列結論？ （1）當時，∥的充要條件是存在實數，使得； （2）⊥的充要條件是. 練一練： （1）已知= (1，-1，1)，= (x，y，z)，且∥，求x，y，z所要滿足的關系式； （2）已知= (-1，-1，1)，= (2，-2，6)，求一個非零空間向量，使得⊥且⊥.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.單位正交基底的概念是什么？它有什么特點？ 2.分別說說，如何用向量的坐標，判斷兩個空間向量相等、平行和垂直？
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