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空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間直角坐標(biāo)系的定義； 2.掌握空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式； 3.會(huì)用空間直角坐標(biāo)系解決相關(guān)幾何問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：了解空間直角坐標(biāo)系的定義. 任務(wù)：通過(guò)類比平面直角坐標(biāo)系，了解空間直角坐標(biāo)系的定義. 思考：如圖所示，怎樣才能精準(zhǔn)刻畫(huà)出地球的衛(wèi)星在空間中的位置？ 問(wèn)題1：仔細(xì)閱讀課本P21~22頁(yè)，畫(huà)出一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并解釋下列概念的含義， （1）空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面； （2）空間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)； （3）空間直角坐標(biāo)系的卦限. 參考答案：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz：. ①在空間中任意選定一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)； ②選擇合適的平面建立平面直角坐標(biāo)系xOy； ③過(guò)O作一條與xOy平面垂直的數(shù)軸z軸. 【新知講授】 空間直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念： （1）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的，它們都稱為坐標(biāo)軸；通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面，分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面. z軸正方向的確定方法：在z軸的正半軸看xOy平面，x軸的正半軸繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合. （2）在平面內(nèi)畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz的方法：空間x軸、y軸水平放置，正方向夾角為135°(或45°)，z軸與y軸 (或x軸垂直). 如圖，設(shè)M為空間中的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于x軸，y軸，z軸于P，Q，R三點(diǎn)，且P，Q，R在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x，y，z，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z)；反之，有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z) 可以對(duì)應(yīng)唯一點(diǎn)M. 由此，空間中的點(diǎn)與三個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間，有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，空間一點(diǎn)M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z) 確定，因此將 (x，y，z) 稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)，記作M (x，y，z). x，y，z都稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)分量，x稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo))，y稱為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo))，z稱為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(或x坐標(biāo)). （3）如圖所示，三個(gè)坐標(biāo)平面把空間直角坐標(biāo)系中不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成八個(gè)卦限. 按逆時(shí)針?lè)较颍?在坐標(biāo)平面xOy的上方，分別是第I卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分別是第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第I卦限的點(diǎn)集，用集合可表示為 {(x，y，z)|x>0，y>0，z>0} 追問(wèn)：其他卦限的點(diǎn)用集合如何表示？有什么規(guī)律嗎？ 問(wèn)題2：已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn). 以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 求以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：A，B，B1，E，F(xiàn). 參考答案： 因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1， 因此A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)； 又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是CC1，A1B1的中點(diǎn)， 所以E(0，1，)，F(xiàn)(1，，1). 思考：若指定空間中的單位向量，，的始點(diǎn)都在原點(diǎn)O，且它們的方向分別與x軸、y軸、z軸的正方向相同，則向量的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 參考答案： 向量的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)相同； 即. 練一練：回顧平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律，若P(x，y，z)為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，寫(xiě)出P關(guān)于下列點(diǎn)、直線和平面的對(duì)稱點(diǎn). （1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； （2）關(guān)于x軸對(duì)稱； （3）關(guān)于y軸對(duì)稱； （4）關(guān)于z軸對(duì)稱； （5）關(guān)于平面xOy對(duì)稱； （6）關(guān)于平面zOx對(duì)稱； （7）關(guān)于平面yOz對(duì)稱. 參考答案： （1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：P1 (-x，-y，-z)； （2）關(guān)于x軸對(duì)稱：P2 (x，-y，-z)； （3）關(guān)于y軸對(duì)稱：P3 (-x，y，-z)； （4）關(guān)于z軸對(duì)稱：P4 (-x，-y，z)； （5）關(guān)于平面xOy對(duì)稱：P5 (x，y，-z)； （6）關(guān)于平面zOx對(duì)稱：P6 (x，-y，z)； （7）關(guān)于平面yOz對(duì)稱：P7 (-x，y，z). 方法小結(jié)：關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)就不改變，其余坐標(biāo)則相反.
目標(biāo)二：掌握空間向量坐標(biāo)的相關(guān)應(yīng)用. 任務(wù)：通過(guò)類比平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 問(wèn)題1：設(shè)空間中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2). （1）試求出AB兩點(diǎn)間的距離；（2）試求出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)； 參考答案： （1）設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則，， 所以， 即空間向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，等于表示這個(gè)空間向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo). 因此； （2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y，z)，則， 又因?yàn)椋?所以線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 【歸納總結(jié)】 空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式： 空間直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：. 練一練：已知點(diǎn)A(1，5，3)，B(3，1，4)，求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo). 參考答案： 根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得： 線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即 問(wèn)題2：在空間直角坐標(biāo)系中，已知A (-2，-3，5)，B (0，2，2)，C (2，7，-1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線. 參考答案： 證明：因?yàn)椋?， 所以，因此∥， 又因?yàn)檫@兩個(gè)向量有公共的始點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)共線. 問(wèn)題3：如圖所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA = CB = C1C = 2，AC⊥CB，且D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求A1B與DE的長(zhǎng). 參考答案： 解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由題意可知C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，A1 (2，0，2)，B1 (0，2，2)，C1 (0，0，2). 因此A1B =； 又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以D的坐標(biāo)為，即D (1，1，0)； 同理可得E (0，1，2)，從而DE =. 【歸納總結(jié)】 利用坐標(biāo)法求解立體幾何問(wèn)題時(shí)的一般過(guò)程： ① 選好坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； ② 依題意確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)； ③ 通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得到答案.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. 1.如何建立空間直角坐標(biāo)系？建系過(guò)程中有哪些需要注意的地方？ 2.空間兩點(diǎn)間距離的公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別是什么？ 3.如何利用坐標(biāo)法求解立體幾何相關(guān)問(wèn)題？
2空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解空間直角坐標(biāo)系的定義； 2.掌握空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式； 3.會(huì)用空間直角坐標(biāo)系解決相關(guān)幾何問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：了解空間直角坐標(biāo)系的定義. 任務(wù)：通過(guò)類比平面直角坐標(biāo)系，了解空間直角坐標(biāo)系的定義. 思考：如圖所示，怎樣才能精準(zhǔn)刻畫(huà)出地球的衛(wèi)星在空間中的位置？ 問(wèn)題1：仔細(xì)閱讀課本P21~22頁(yè)，畫(huà)出一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并解釋下列概念的含義， （1）空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸及坐標(biāo)平面； （2）空間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)； （3）空間直角坐標(biāo)系的卦限. 【新知講授】 空間直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念： （1）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的，它們都稱為坐標(biāo)軸；通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面，分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面. z軸正方向的確定方法：在z軸的正半軸看xOy平面，x軸的正半軸繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合. （2）在平面內(nèi)畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz的方法：空間x軸、y軸水平放置，正方向夾角為135°(或45°)，z軸與y軸 (或x軸垂直). 如圖，設(shè)M為空間中的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于x軸，y軸，z軸于P，Q，R三點(diǎn)，且P，Q，R在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x，y，z，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z)；反之，有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z) 可以對(duì)應(yīng)唯一點(diǎn)M. 由此，空間中的點(diǎn)與三個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間，有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，空間一點(diǎn)M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組 (x，y，z) 確定，因此將 (x，y，z) 稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)，記作M (x，y，z). x，y，z都稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)分量，x稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo))，y稱為點(diǎn)M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo))，z稱為點(diǎn)M的豎坐標(biāo)(或x坐標(biāo)). （3）如圖所示，三個(gè)坐標(biāo)平面把空間直角坐標(biāo)系中不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成八個(gè)卦限. 按逆時(shí)針?lè)较颍?在坐標(biāo)平面xOy的上方，分別是第I卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ卦限；在xOy的下方，分別是第V卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限. 根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第I卦限的點(diǎn)集，用集合可表示為 {(x，y，z)|x>0，y>0，z>0} 追問(wèn)：其他卦限的點(diǎn)用集合如何表示？有什么規(guī)律嗎？ 問(wèn)題2：已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn). 以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 求以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：A，B，B1，E，F(xiàn). 思考：若指定空間中的單位向量，，的始點(diǎn)都在原點(diǎn)O，且它們的方向分別與x軸、y軸、z軸的正方向相同，則向量的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 練一練：回顧平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律，若P(x，y，z)為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，寫(xiě)出P關(guān)于下列點(diǎn)、直線和平面的對(duì)稱點(diǎn). （1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； （2）關(guān)于x軸對(duì)稱； （3）關(guān)于y軸對(duì)稱； （4）關(guān)于z軸對(duì)稱； （5）關(guān)于平面xOy對(duì)稱； （6）關(guān)于平面zOx對(duì)稱； （7）關(guān)于平面yOz對(duì)稱.
目標(biāo)二：掌握空間向量坐標(biāo)的相關(guān)應(yīng)用. 任務(wù)：通過(guò)類比平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 問(wèn)題1：設(shè)空間中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2). （1）試求出AB兩點(diǎn)間的距離；（2）試求出線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)； 【歸納總結(jié)】 空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式： 空間直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式：. 練一練：已知點(diǎn)A(1，5，3)，B(3，1，4)，求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo). 問(wèn)題2：在空間直角坐標(biāo)系中，已知A (-2，-3，5)，B (0，2，2)，C (2，7，-1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線. 問(wèn)題3：如圖所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA = CB = C1C = 2，AC⊥CB，且D，E分別是棱AB，B1C1的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求A1B與DE的長(zhǎng). 【歸納總結(jié)】 利用坐標(biāo)法求解立體幾何問(wèn)題時(shí)的一般過(guò)程： ① 選好坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； ② 依題意確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)； ③ 通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算得到答案.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. 1.如何建立空間直角坐標(biāo)系？建系過(guò)程中有哪些需要注意的地方？ 2.空間兩點(diǎn)間距離的公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別是什么？ 3.如何利用坐標(biāo)法求解立體幾何相關(guān)問(wèn)題？
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