資源簡介

空間中的點、直線與空間向量
學習目標 1.理解空間中的點、直線的定義，會用空間向量刻畫空間中的點、直線的位置； 2.理解直線的方向向量，會用向量的方法證明線線平行.
學習活動
目標一：會用空間向量刻畫空間中的點、直線的位置. 任務1：借助空間向量刻畫空間中點的位置. 問題：如圖所示的四面體A-BCD中，怎樣借助空間向量來描述A，B，C在空間中是不同的點？ 思考：結合上述結論，說說怎樣借助空間向量來刻畫空間中點的位置？ 【新知講授】 位置向量： 一般地，如果在空間中指定一點O，那么空間中任意一點P的位置，都可以由向量唯一確定，此時，通常稱為點P的位置向量. 特別地，空間直角坐標系中的任意一點都由它的位置向量唯一確定，從而也就由它的坐標唯一確定. 任務2：借助空間向量刻畫空間中直線的位置. 問題：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，設，如果只借助，能否確定直線AB在空間中的位置？ 思考：一般地，怎樣借助空間向量來刻畫空間中直線的位置？ 【新知講授】 方向向量： 一般地，如果l是空間中的一條直線，是空間中的一個非零向量，表示的有向線段所在直線與l 平行或重合，稱為直線l的一個方向向量 (方向向量不唯一)；此時，也稱向量與直線l平行，記作// l.
目標二：理解直線的方向向量，會用向量的方法證明線線平行. 任務1：借助實例，理解直線的方向向量. 問題：結合空間中直線的方向向量的定義回答下列問題. （1）如圖，已知 A，B，C 為直線 l 上的點，，與直線l有怎樣的關系？ （2）觀察下圖，說說怎樣借助空間向量來確定空間中直線的位置？ （3）如圖，如果是直線l1的一個方向向量，是直線l2的一個方向向量，且∥，那么直線l1，l2有怎樣的關系？ 【歸納總結】 （1）如果A，B是直線l上兩個不同的點，則就是直線l上的一個方向向量； （2）如果是直線l的一個方向向量，則對任意的實數λ ≠ 0，空間向量也是直線l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量都平行； （3）如果是直線l的一個方向向量，A為直線l上的一個已知的點，則對于直線l上的任意一點B，向量一定與非零向量平行，即存在唯一的實數λ，使得； 即空間中直線l的位置可由和點A唯一確定； （4）如果是直線l1的一個方向向量，是直線l2的一個方向向量，則∥l1∥l2，或l1與l2重合. 練一練：設與都是直線l的方向向量，則下列關于與的敘述正確的是( ) A.= B.與同向 C.∥ D.與有相同的位置向量 任務2：會用向量的方法證明線線平行. 問題：若已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，求證：直線BD1與直線CE不平行. 【歸納總結】 利用向量方法證明線線平行的方法與步驟： 練一練：在三棱錐中O-ABC，OA = OB = 1，OC = 2，OA，OB，OC兩兩垂直，試找出一點D，使BD∥AC，DC∥AB．
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.如何刻畫空間中的點、直線的位置？ 2.解釋位置向量和方向向量的定義； 3.簡述利用向量的方法證明線線平行的基本過程.
2空間中的點、直線與空間向量
學習目標 1.理解空間中的點、直線的定義，會用空間向量刻畫空間中的點、直線的位置； 2.理解直線的方向向量，會用向量的方法證明線線平行.
學習活動
目標一：會用空間向量刻畫空間中的點、直線的位置. 任務1：借助空間向量刻畫空間中點的位置. 問題：如圖所示的四面體A-BCD中，怎樣借助空間向量來描述A，B，C在空間中是不同的點？ 參考答案：在圖中，可以借助向量，，的不同，來描述A，B，C在空間中是不同的點. 思考：結合上述結論，說說怎樣借助空間向量來刻畫空間中點的位置？ 【新知講授】 位置向量： 一般地，如果在空間中指定一點O，那么空間中任意一點P的位置，都可以由向量唯一確定，此時，通常稱為點P的位置向量. 特別地，空間直角坐標系中的任意一點都由它的位置向量唯一確定，從而也就由它的坐標唯一確定. 任務2：借助空間向量刻畫空間中直線的位置. 問題：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，設，如果只借助，能否確定直線AB在空間中的位置？ 參考答案：圖中，因為，所以只借助向量不能確定直線AB在空間中的位置，但是向量可以描述所有與直線AB平行或重合的直線. 思考：一般地，怎樣借助空間向量來刻畫空間中直線的位置？ 【新知講授】 方向向量： 一般地，如果l是空間中的一條直線，是空間中的一個非零向量，表示的有向線段所在直線與l 平行或重合，稱為直線l的一個方向向量 (方向向量不唯一)；此時，也稱向量與直線l平行，記作// l.
目標二：理解直線的方向向量，會用向量的方法證明線線平行. 任務1：借助實例，理解直線的方向向量. 問題：結合空間中直線的方向向量的定義回答下列問題. （1）如圖，已知 A，B，C 為直線 l 上的點，，與直線l有怎樣的關系？ （2）觀察下圖，說說怎樣借助空間向量來確定空間中直線的位置？ （3）如圖，如果是直線l1的一個方向向量，是直線l2的一個方向向量，且∥，那么直線l1，l2有怎樣的關系？ 【歸納總結】 （1）如果A，B是直線l上兩個不同的點，則就是直線l上的一個方向向量； （2）如果是直線l的一個方向向量，則對任意的實數λ ≠ 0，空間向量也是直線l的一個方向向量，而且直線l的任意兩個方向向量都平行； （3）如果是直線l的一個方向向量，A為直線l上的一個已知的點，則對于直線l上的任意一點B，向量一定與非零向量平行，即存在唯一的實數λ，使得； 即空間中直線l的位置可由和點A唯一確定； （4）如果是直線l1的一個方向向量，是直線l2的一個方向向量，則∥l1∥l2，或l1與l2重合. 練一練：設與都是直線l的方向向量，則下列關于與的敘述正確的是( ) A.= B.與同向 C.∥ D.與有相同的位置向量 參考答案：C 任務2：會用向量的方法證明線線平行. 問題：若已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，求證：直線BD1與直線CE不平行. 參考答案： 以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，正方體的棱長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 B (1，1，0)，D1 (0，0，1)，C (0，1，0)，E (0，，1)， 所以，. 又因為，所以與不平行. 因為為直線BD1的一個方向向量，為直線CE的一個方向向量，當BD1∥CE時，必有∥. 由上可知直線BD1與直線CE不平行. 【歸納總結】 利用向量方法證明線線平行的方法與步驟： 練一練：在三棱錐中O-ABC，OA = OB = 1，OC = 2，OA，OB，OC兩兩垂直，試找出一點D，使BD∥AC，DC∥AB． 參考答案： 解：如圖，以O為原點，OA，OB，OC分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)，則，； 設D (x，y，z)，則，， 要使BD∥AC，DC∥AB，即∥，∥， ，解得x = -1，y = 1，z = 2； 所以D (-1，1，2).
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.如何刻畫空間中的點、直線的位置？ 2.解釋位置向量和方向向量的定義； 3.簡述利用向量的方法證明線線平行的基本過程.
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