資源簡介

空間中的點、直線與空間向量
學習目標 1.理解空間中兩條直線所成角的定義； 2.會用向量證明兩條直線垂直； 3.會用向量求兩條直線所成的角； 4.掌握異面直線的判定定理，會用空間向量解決異面直線相關問題.
學習活動
目標一：能解決空間中兩條直線所成角的相關問題. 任務1：理解空間中兩條直線所成角的定義. 回顧：空間中兩條直線的位置分為幾種情況？不同情況下兩條直線的夾角大小該如何確定？ 問題：設，分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，觀察下圖討論θ與〈，〉的關系. 任務2：會用向量證明兩條直線垂直. 問題：已知a，b是平面α內的兩條相交直線，直線n滿足n⊥a，n⊥b. 求證：n⊥α. 練一練：已知A，B，C的坐標分別為(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，點P的坐標是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求點P的坐標． 任務3：會用向量求兩條直線所成的角. 問題：如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，E為OC的中點，且OB = OC = 2OA = 2，求直線AE與BC所成角的大小. 【歸納總結】 求解異面直線夾角方法： 思考：結合上述問題，分別說說用三種方法解決的問題一般步驟是什么，以及這些方法各有什么優缺點？
目標二：掌握異面直線的判定定理，會用空間向量解決異面直線相關問題. 任務1：借助空間向量，探究異面直線的判定定理. 問題：設，分別是空間中直線l1，l2的方向向量. （1）如果l1與l2異面，那么與可能平行嗎？ （2）如果與不平行，那么l1與l2一定異面嗎？ 思考：那么直線l1與l2異面的充要條件是什么？ 【新知講解】 空間中兩直線l1與l2異面的充要條件： 如圖（1）（2）所示，若A∈l1，B∈l2：則l1與l2異面時，可知，，是不共面的；反之，若，，不共面，則l1與l2是異面的. 由此可知，“，，不共面 l1與l2異面”，即“，，不共面”是“l1與l2異面”的充要條件. 任務2：會用空間向量解決異面直線相關問題. 問題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷滿足下列條件的點M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 【歸納總結】 一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l1，則稱MN為l1與l2的公垂線段. 空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一. 兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離. 如圖所示，直線AA1和直線BC是兩條異面直線，直線AB為AA1和BC的唯一一條公垂線段，其中線段AB的長為這兩條異面直線之間的距離.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.兩個向量的夾角與兩條直線所成角有何區別？ 2.如何用向量證明兩條直線垂直？ 3.簡述求兩條直線所成的角的方法； 4.如何使用空間向量判定兩條直線異面？
2課時7 空間中的點、直線與空間向量
學習目標 1.理解空間中兩條直線所成角的定義； 2.會用向量證明兩條直線垂直； 3.會用向量求兩條直線所成的角； 4.掌握異面直線的判定定理，會用空間向量解決異面直線相關問題.
學習活動
目標一：能解決空間中兩條直線所成角的相關問題. 任務1：理解空間中兩條直線所成角的定義. 回顧：空間中兩條直線的位置分為幾種情況？不同情況下兩條直線的夾角大小該如何確定？ 參考答案： 平行 (重合)，相交，異面； 兩條相交直線所成角的大小：即相交所得到的不大于直角的角的大小； 兩條異面直線a，b所成角的大小：等于兩條相交直線a'，b'所成角的大小，其中a'∥a且b'∥b； 規定：兩條平行直線所成角的大小為0°； 綜上所述，空間中任意兩條直線所成角的大小都是確定的. 特別地，當空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時，l與m垂直，記作l⊥m. 問題：設，分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，觀察下圖討論θ與〈，〉的關系. 參考答案： 由圖可知：θ =〈，〉或θ = π –〈，〉； 特別地，sin θ = sin〈，〉，cos θ = |cos〈，〉|； 且l1⊥l2 〈，〉= . 任務2：會用向量證明兩條直線垂直. 問題：已知a，b是平面α內的兩條相交直線，直線n滿足n⊥a，n⊥b. 求證：n⊥α. 參考答案： 證明：如圖所示，設m是α內的任意一條直線，且，，，分別為直線n，a，b，m的方向向量. 則由已知可得，，； 因為a與b相交，所以，不共線， 又因為，，共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的實數對 (x，y)，使； 因此，從而可知⊥，所以n⊥m. 因為直線n垂直于平面α內的任意一條直線，所以n⊥α. 練一練：已知A，B，C的坐標分別為(0，1，0)，(-1，0，-1)，(2，1，1)，點P的坐標是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，求點P的坐標． 參考答案： 解：依題意可得，，， ∵PA⊥平面ABC，∴且，即且, ，解得x = -1，y = 2； ∴點P的坐標是(-1，0，2)． 任務3：會用向量求兩條直線所成的角. 問題：如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩互相垂直，E為OC的中點，且OB = OC = 2OA = 2，求直線AE與BC所成角的大小. 參考答案： （基向量法）根據已知可得，，，不共面，且，，； 又因為，， 所以， 類似地，， ； 所以； 因此，即直線AE與BC所成角的大小為. （坐標法）因為OA，OB，OC兩兩互相垂直，所以能以O為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示直角坐標系. 由OB = OC = 2OA = 2可知，A (1，0，0)，E (0，0，1)，B (0，2，0)，C (0，0，2)，所以，； 因此， 從而，即直線AE與BC所成角的大小為. （幾何法/定義法）如圖，設OB的中點為F，連接EF，AF. 由E，F分別為OC，OB中點可知EF為△OBC的中位線，從而EF∥BC； 因此直線AE與BC所成角的大小等于直線AE與EF所成角的大小； 又易知OA = OE = OF = 1，且OA，OE，OF兩兩垂直， 因此AE = EF = AF =， 所以是等邊三角形，從而∠AEF =； 因此，直線AE與BC所成角的大小為. 【歸納總結】 求解異面直線夾角方法： 思考：結合上述問題，分別說說用三種方法解決的問題一般步驟是什么，以及這些方法各有什么優缺點？
目標二：掌握異面直線的判定定理，會用空間向量解決異面直線相關問題. 任務1：借助空間向量，探究異面直線的判定定理. 問題：設，分別是空間中直線l1，l2的方向向量. （1）如果l1與l2異面，那么與可能平行嗎？ （2）如果與不平行，那么l1與l2一定異面嗎？ 參考答案： （1）l1與l2異面 與不平行；即與不可能平行 （2）與不平行 l1與l2異面或相交；即l1與l2不一定異面. 思考：那么直線l1與l2異面的充要條件是什么？ 【新知講解】 空間中兩直線l1與l2異面的充要條件： 如圖（1）（2）所示，若A∈l1，B∈l2：則l1與l2異面時，可知，，是不共面的；反之，若，，不共面，則l1與l2是異面的. 由此可知，“，，不共面 l1與l2異面”，即“，，不共面”是“l1與l2異面”的充要條件. 任務2：會用空間向量解決異面直線相關問題. 問題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷滿足下列條件的點M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 參考答案： 解：以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，正方體的棱長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A (1，0，0)，D1 (0，0，1)，B (1，1，0)，D (0，0，0)， 所以，，. 假設滿足條件的M，N存在，而且，， 則. 因為MN⊥AD1，MN⊥BD，所以⊥，⊥， 從而，解得t =，s =； 因此，滿足條件的M，N是存在的. 【歸納總結】 一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l1，則稱MN為l1與l2的公垂線段. 空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一. 兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離. 如圖所示，直線AA1和直線BC是兩條異面直線，直線AB為AA1和BC的唯一一條公垂線段，其中線段AB的長為這兩條異面直線之間的距離.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.兩個向量的夾角與兩條直線所成角有何區別？ 2.如何用向量證明兩條直線垂直？ 3.簡述求兩條直線所成的角的方法； 4.如何使用空間向量判定兩條直線異面？
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