資源簡介

課時8 空間中的平面與空間向量
學習目標 1.理解平面法向量的概念與性質； 2.會用平面的法向量、直線的方向向量證明線面、面面的平行、垂直關系.
學習活動
目標一：理解平面法向量的概念與性質. 任務：理解平面法向量的概念與性質. 回顧：如何描述空間中點和直線的位置？ 參考答案：點的位置：位置向量； 直線的位置：直線的方向向量和一定點. 問題：類比點和直線的位置描述，說說怎樣借助空間向量來刻畫空間中平面的位置？ 參考答案：如圖，用操場上的一個點和一個旗桿，可以描述出操場的位置；類似地，可用平面上的一個點和一個空間向量來描述平面. 【新知講授】 法向量： 如果α是空間中的一個平面，是空間中的一個非零向量，且表示的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱為平面α的一個法向量. 此時，與平面α垂直，記作⊥α. 練一練：如圖，根據法向量的定義，找出下面長方體各個面所在平面的一個法向量. 參考答案：如平面ABCD的一個法向量為（答案不唯一）. 【歸納總結】 平面的法向量的定義的認識： （1）一個平面α的法向量不唯一，同一個法向量也可表示為不同平面的法向量； （2）平面α的一個法向量一般用非零向量表示； （3）若非零向量是平面α的一個法向量，則也是平面α的一個法向量. 思考：結合法向量的定義和認識，說說平面的法向量有哪些性質？ 【新知講授】 平面的法向量的性質： （1）如果直線l垂直平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量； 如圖，AA1⊥平面ABCD，則、、、均為平面ABCD的一個法向量. （2）如果是平面α的一個法向量，則對任意的實數λ ≠ 0，空間向量也是平面α的一個法向量，而且平面α的任意兩個法向量都平行； （3）如果是平面α的一個法向量，A為平面α上一個已知的點，則對于平面α上的任意一點B，向量一定與垂直，即 (平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量)； 綜上，平面α的位置可由與A唯一確定，即一點和一個法向量可確定一個平面.
目標二：會運用平面的法向量解決相關問題并出相應法向量. 任務1：借助法向量和方向向量證明線面、面面的平行、垂直關系. 問題1：如果是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，當∥與⊥時，直線l與平面α分別有什么關系？ 參考答案：如圖所示，可以看出： （1）∥ l⊥α；（2）⊥ l∥α或l α. 問題2：如果是平面α1的一個法向量，是平面α2的一個法向量，當⊥與∥時，平面α1與平面α2分別有什么關系？ 參考答案：如圖所示，可以看出： （1）⊥ α1⊥α2；（2）∥ α1∥α2或α1與α2重合. 問題3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B與A1C1的中點．求證：MN∥面ADD1A1. 參考答案： 證明：以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，正方體的棱長為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系. 則B (1，0，0)，A1 (0，0，1)，C (1，1，1)， 又因為M是A1B的中點，所以M的坐標為，即； 類似地，可得；因此. 又因為AB⊥面ADD1A1，所以是平面ADD1A1的一個法向量，而且= (1，0，0)； 因此，，即. 由圖可知MN不在平面ADD1A1內，因此MN∥面ADD1A1. 練一練：試著用幾何方法，證明上題中MN∥面ADD1A1. 參考答案： 證明：如圖所示，連接BC1，AD1， 在△A1BC1中，因為點M，N分別是A1B和A1C1的中點，所以MN∥BC1； 又因為BC1∥AD1，所以MN∥AD1； 由圖可知MN不在平面ADD1A1內，因此MN∥面ADD1A1. 任務2：求平面的法向量. 思考：怎樣才能求得空間中平面的一個法向量，其理論依據是什么？ 參考答案：理論依據“直線與平面垂直的判定定理”：如果ABC是平面α內不共線的三點，非零空間向量滿足，⊥，⊥，則是平面α的一個法向量. 問題： 如圖所示，已知空間直角坐標系中的三棱錐O-ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一個法向量. 參考答案：解：由已知可得， = (0，b，0) – (a，0，0) = (– a，b，0)， = (0，0，c) – (a，0，0) = (– a，0，c)， 設平面ABC的一個法向量為，則 ，將x看成常數，可解得，； 令x = bc，則y = ac，z = ab. 因此，= (bc，ac，ab) 為平面ABC的一個法向量. 【歸納總結】 求平面一個法向量的步驟： 坐標法： （1）根據 (或建立) 坐標系求出必要的點的坐標； （2）分別求出所求平面內兩條相交直線的一個方向向量，如， ； （3）設平面的一個法向量為； （4）列出并解方程組； （5）賦非零值，即賦xyz中的一個為非零數值，進而得到另外兩個的值； （6）得出結論，得到平面的一個法向量. 練一練：如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點. AB = AP = 1，AD =，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量. 參考答案：解：因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直. 如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz，則， 于是； 設為平面ACE的一個法向量為，則 ，將y看成常數，可解得； 令y = -1，則x = z =； 所以平面ACE的一個法向量為= (，-1，).
學習總結
任務：回答下列問題. 1.什么是平面的法向量？它有哪些性質？ 2.如何用平面的法向量、直線的方向向量判斷線面、面面的垂直、平行關系？ 3.簡述用坐標法求平面的一個法向量的步驟.
2空間中的平面與空間向量
學習目標 1.理解平面法向量的概念與性質； 2.會用平面的法向量、直線的方向向量證明線面、面面的平行、垂直關系.
學習活動
目標一：理解平面法向量的概念與性質. 任務：理解平面法向量的概念與性質. 回顧：如何描述空間中點和直線的位置？ 問題：類比點和直線的位置描述，說說怎樣借助空間向量來刻畫空間中平面的位置？ 【新知講授】 法向量： 如果α是空間中的一個平面，是空間中的一個非零向量，且表示的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱為平面α的一個法向量. 此時，與平面α垂直，記作⊥α. 練一練：如圖，根據法向量的定義，找出下面長方體各個面所在平面的一個法向量. 【歸納總結】 平面的法向量的定義的認識： （1）一個平面α的法向量不唯一，同一個法向量也可表示為不同平面的法向量； （2）平面α的一個法向量一般用非零向量表示； （3）若非零向量是平面α的一個法向量，則也是平面α的一個法向量. 思考：結合法向量的定義和認識，說說平面的法向量有哪些性質？ 【新知講授】 平面的法向量的性質： （1）如果直線l垂直平面α，則直線l的任意一個方向向量都是平面α的一個法向量； 如圖，AA1⊥平面ABCD，則、、、均為平面ABCD的一個法向量. （2）如果是平面α的一個法向量，則對任意的實數λ ≠ 0，空間向量也是平面α的一個法向量，而且平面α的任意兩個法向量都平行； （3）如果是平面α的一個法向量，A為平面α上一個已知的點，則對于平面α上的任意一點B，向量一定與垂直，即 (平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量)； 綜上，平面α的位置可由與A唯一確定，即一點和一個法向量可確定一個平面.
目標二：會運用平面的法向量解決相關問題并出相應法向量. 任務1：借助法向量和方向向量證明線面、面面的平行、垂直關系. 問題1：如果是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，當∥與⊥時，直線l與平面α分別有什么關系？ 問題2：如果是平面α1的一個法向量，是平面α2的一個法向量，當⊥與∥時，平面α1與平面α2分別有什么關系？ 問題3：已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B與A1C1的中點．求證：MN∥面ADD1A1. 練一練：試著用幾何方法，證明上題中MN∥面ADD1A1. 任務2：求平面的法向量. 思考：怎樣才能求得空間中平面的一個法向量，其理論依據是什么？ 問題： 如圖所示，已知空間直角坐標系中的三棱錐O-ABC中，O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，求平面ABC的一個法向量. 【歸納總結】 求平面一個法向量的步驟： 坐標法： （1）根據 (或建立) 坐標系求出必要的點的坐標； （2）分別求出所求平面內兩條相交直線的一個方向向量，如， ； （3）設平面的一個法向量為； （4）列出并解方程組； （5）賦非零值，即賦xyz中的一個為非零數值，進而得到另外兩個的值； （6）得出結論，得到平面的一個法向量. 練一練：如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點. AB = AP = 1，AD =，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面ACE的一個法向量.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.什么是平面的法向量？它有哪些性質？ 2.如何用平面的法向量、直線的方向向量判斷線面、面面的垂直、平行關系？ 3.簡述用坐標法求平面的一個法向量的步驟.
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