資源簡介

空間中的平面與空間向量
學習目標 1.理解三垂線定理及其逆定理，會用三垂線定理及其逆定理解決簡單的問題.
學習活動
目標：理解并運用三垂線定理及其逆定理. 任務1：理解三垂線定理及其逆定理. 問題1：如圖，過平面外一點A，能做幾條直線與平面α垂直？ 【歸納小結】 點在平面上的射影（投影）： （1）已知空間中的平面α以及點A，過A作α的垂線l，設l與α相交于點A ，則A 就是點A在平面α內的射影（投影）； （2）當A不是平面α內的點時，如果A的射影為A′，則與都是平面α的一個法向量. 思考：一個圖形在平面上是否也有上述射影的概念？ 問題2：作出圖形F在平面α內的射影，并解釋圖形射影的概念？ 【新知講授】 圖形在平面上的射影（投影）： （1）如圖，若△ABC的頂點A在平面α內，B與C都在平面α外，則分別過B與C作α的垂線，設交點分別為B′，C′，則△AB′C′就是△ABC在平面內的射影； （2）此時與都是平面α的一個法向量. 思考：一個平面幾何圖形在一個平面內的射影形狀可能有幾種情況？ 問題3：如圖所示，已知AB是平面α的一條斜線且B為斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α = B)，設其中A'是A在平面α內的射影，而l是平面α內的一條直線. 判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明： （1）當l⊥A′B時，l⊥AB； （2）當l⊥AB時，l⊥A′B. 【歸納總結】 三垂線定理及其逆定理： （1）三垂線定理：如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在該平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直； （2）三垂線定理的逆定理：如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內的射影垂直. 任務2：運用三垂線定理及其逆定理解決簡單的問題. 問題1：如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是一個正方體，求證：A1D⊥BD1. 問題2：如圖所示的三棱錐O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD為△CAB的AB邊上的高，求證：OD⊥AB. 【歸納總結】 應用三垂線定理及其逆定理的思路： 一定平面，二找垂線，三證垂直. 練一練：如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點，求證：PO⊥BD，PC⊥BD.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.一個平面幾何圖形在一個平面內的射影形狀可能有幾種情況？ 2.詳細闡述應用三垂線定理及其逆定理的思路？
2空間中的平面與空間向量
學習目標 1.理解三垂線定理及其逆定理，會用三垂線定理及其逆定理解決簡單的問題.
學習活動
目標：理解并運用三垂線定理及其逆定理. 任務1：理解三垂線定理及其逆定理. 問題1：如圖，過平面外一點A，能做幾條直線與平面α垂直？ 參考答案：有且僅有一條. 【歸納小結】 點在平面上的射影（投影）： （1）已知空間中的平面α以及點A，過A作α的垂線l，設l與α相交于點A ，則A 就是點A在平面α內的射影（投影）； （2）當A不是平面α內的點時，如果A的射影為A′，則與都是平面α的一個法向量. 思考：一個圖形在平面上是否也有上述射影的概念？ 問題2：作出圖形F在平面α內的射影，并解釋圖形射影的概念？ 參考答案： 如圖，圖形F上所有點在平面α內的射影所組成的集合F ，稱為圖形F在平面α內的射影. 【新知講授】 圖形在平面上的射影（投影）： （1）如圖，若△ABC的頂點A在平面α內，B與C都在平面α外，則分別過B與C作α的垂線，設交點分別為B′，C′，則△AB′C′就是△ABC在平面內的射影； （2）此時與都是平面α的一個法向量. 思考：一個平面幾何圖形在一個平面內的射影形狀可能有幾種情況？ 問題3：如圖所示，已知AB是平面α的一條斜線且B為斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α = B)，設其中A'是A在平面α內的射影，而l是平面α內的一條直線. 判斷下列命題是否成立，并用空間向量證明： （1）當l⊥A′B時，l⊥AB； （2）當l⊥AB時，l⊥A′B. 參考答案：設∥l，則由⊥α且l α可知⊥，即； （1）如果l⊥A′B，則⊥，， 又因為， 所以； 因此，l⊥AB； （2）如果l⊥AB，則⊥，， 又因為， 所以； 因此，l⊥A B； 【歸納總結】 三垂線定理及其逆定理： （1）三垂線定理：如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在該平面內的射影垂直，則它也和這條斜線垂直； （2）三垂線定理的逆定理：如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內的射影垂直. 任務2：運用三垂線定理及其逆定理解決簡單的問題. 問題1：如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是一個正方體，求證：A1D⊥BD1. 參考答案： 證明：連接AD1， 因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以AB⊥面ADD1A1， 因此BD1在平面ADD1A1內的射影為AD1； 又因為ADD1A1是正方形，所以A1D⊥AD1， 因此根據三垂線定理可知A1D⊥BD1. 問題2：如圖所示的三棱錐O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD為△CAB的AB邊上的高，求證：OD⊥AB. 參考答案： 證明：因為CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB = O，所以CO⊥面OAB； 因為CD在平面OAB內的射影為OD，又因為CD⊥AB， 所以根據三垂線定理的逆定理可知OD⊥AB. 【歸納總結】 應用三垂線定理及其逆定理的思路： 一定平面，二找垂線，三證垂直. 練一練：如圖，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點，求證：PO⊥BD，PC⊥BD. 參考答案： 證明：因為PA⊥正方形ABCD所在平面，則PO，PC在平面ABCD內的射影為AO，AC， 又因為AC，BD為正方形ABCD的對角線， 所以AC⊥BD，AO⊥BD， 由三垂線定理得，PO⊥BD，PC⊥BD.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.一個平面幾何圖形在一個平面內的射影形狀可能有幾種情況？ 2.詳細闡述應用三垂線定理及其逆定理的思路？
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