資源簡介

直線與平面的夾角
學習目標 1.理解斜線與平面所成角的概念與性質(zhì)； 2.能辨析斜線與平面所成的角和直線與平面的夾角的區(qū)別； 3.運用斜線與平面所成角的性質(zhì)解決相關(guān)問題.
學習活動
目標一：理解直線與平面的夾角的概念與性質(zhì). 任務(wù)1：理解斜線與平面所成的角的概念. 情境：日常生活中，很多場景中都有直線與平面成一定角度的形象. 如圖（1）所示，握筆寫字時，如果把筆抽象成直線，把紙抽象成平面，則直線與平面成一定角度；如圖（2）所示，地球儀的地軸（即旋轉(zhuǎn)軸）與赤道所在的平面垂直，并且與水平桌面成一定角度. 思考：結(jié)合上述實例，說說該如何刻畫直線與平面所成的角呢？ 【歸納小結(jié)】 兩種特殊情況下平面與直線所成的角： （1）若l⊥α，則直線與這個平面所成的角為90°； （2）若l∥α，或l α，則直線與這個平面所成的角為0°. 問題：如圖所示，設(shè)l是平面α的一條斜線，m是平面α內(nèi)的任意一條直線. 能否將m與l所成的角定義為直線l與平面α所成的角？ 參考答案：如下圖所示，當m的位置不同時，m與l所成角的大小可能也不同，因此不能將其定義為直線l與平面α所成的角. 【新知講授】 斜線與平面所成的角： 平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角. 如圖所示，如果直線AB是平面α的一條斜線，B為斜足，A'B是直線AB在平面α內(nèi)的射影，則∠ABA'就是直線AB與平面α所成的角. 練一練：若直線m不平行于平面α，則直線m與平面α所成角θ的范圍是___________. 參考答案：θ∈[0，]. 任務(wù)2：探究斜線與平面所成的角的性質(zhì). 問題1：如圖所示，設(shè)AO是平面α的一條斜線段，O為斜足，A'為A在平面α內(nèi)的射影，而OM是平面α內(nèi)的一條射線，A′M⊥OM. 記∠AOA' = θ1，∠A'OM = θ2，∠AOM = θ. （1）直觀上判斷θ1與θ的大小關(guān)系； （2）證明：AM⊥OM； （3）探究θ1，θ2，θ三者之間的等量關(guān)系. 參考答案： （1）θ1 ≤ θ； （2）證明：∵AA'⊥α，∴△AA'O，△AA'M都是直角三角形，且A'M是AM在平面α內(nèi)的射影； 因此，根據(jù)A'M⊥OM與三垂線定理可知AM⊥OM且△AMO也是直角三角形. （3）如果設(shè)OA = 1，則在Rt△AA'O中，OA' = OAcos θ1 = cos θ1， 因此在Rt△OMA'中，OM = OA'cos θ2 = cos θ1cos θ2； 另在Rt△AMO中，有OM = OAcos θ = cos θ. 因此cos θ = cos θ1cos θ2 . 思考：根據(jù)等量關(guān)系cos θ = cos θ1cos θ2，判斷θ1和θ的大小關(guān)系是怎樣的？ 參考答案： ∵0 ≤ cos θ2 ≤ 1，cos θ = cos θ1cos θ2，∴cos θ < cos θ1， 又∵θ1和θ都是銳角，∴θ1 ≤ θ. 【歸納總結(jié)】 最小角定理：平面的斜線與平面所成的角，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角. 【新知講授】 直線與平面所成角：空間中任意一條直線與任意一個平面所成的角的大小都是確定的，直線與平面所成的角也稱為它們的夾角. 練一練：如圖所示，已知∠BAC在平面α內(nèi)，過該角的頂點A引平面α的斜線AP，且使∠PAB =∠PAC，求證：斜線AP在平面α內(nèi)的射影平分∠BAC. 參考答案：設(shè)點P在平面α內(nèi)的射影為點M，則AM為AP在平面α內(nèi)的射影. 根據(jù)前面的結(jié)論有： cos∠PAB = cos∠PAM cos∠BAM，cos∠PAC = cos∠PAM cos∠CAM， 由∠PAB =∠PAC可得cos∠BAM = cos∠CAM， 因此∠BAM =∠CAM，即AM平分∠BAC. 問題2：如圖所示，平面α外一點P在α內(nèi)的射影為P′，過P作平面α的斜線段PA1，PA2，且A1，A2均為斜足，設(shè)PA1，PA2與平面α所成角分別為θ1，θ2. （1）若PA1 = PA2，則θ1，θ2之間有什么大小關(guān)系？ （2）若P′A1 = P′A2，則θ1，θ2之間有什么大小關(guān)系？ 參考答案： （1）∵PP'⊥α，∴△PP'A1與△PP'A2都是直角三角形， ∴PP' = PA1 sin θ1 = PA2 sin θ2； 又∵θ1，θ2都是銳角，∴當PA1 = PA2時，θ1 = θ2； （2）同理得 PP' = P'A1 tan θ1=P'A2 tan θ2， ∴當P'A1 = P'A2時，θ1 = θ2. 【歸納總結(jié)】 經(jīng)過平面外同一點所作的平面的多條斜線中，斜線段長、射影長及斜線與平面所成的角，只要有一個相等，則另外兩個也對應(yīng)相等. 如圖所示，即AB = AC OB = OC θ1 = θ2. 問題3：當線段AB所在的直線與平面α所成的角為θ，且AB在平面α內(nèi)的射影為A'B'時，線段A'B'和AB之間有什么大小關(guān)系？ 參考答案：如圖所示，作出不同情況下線段AB的射影，則 （1）當θ = 0°時，A'B' = AB，滿足A'B' = ABcos θ； （2）當θ = 90°時，A'與B'重合，滿足A'B' = ABcos θ； （3）當0°< θ <90°時，A'B' = ABcos θ； 綜上可得，當線段AB所在的直線與平面α所成的角為θ，且AB在平面α內(nèi)的射影為A'B'時，有A'B' = ABcos θ. 練一練：已知直線l與平面α所成的角為θ，且A，B是直線上兩點. 若AB = 6，θ =，求線段AB在平面α內(nèi)的射影A'B'的長. 參考答案：A'B' = ABcos= 6×= 3.
學習總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.簡述斜線與平面所成的角和直線與平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系.？ 2.舉例說明，斜線與平面所成角的性質(zhì)，分別有何應(yīng)用？
2直線與平面的夾角
學習目標 1.理解斜線與平面所成角的概念與性質(zhì)； 2.能辨析斜線與平面所成的角和直線與平面的夾角的區(qū)別； 3.運用斜線與平面所成角的性質(zhì)解決相關(guān)問題.
學習活動
目標一：理解直線與平面的夾角的概念與性質(zhì). 任務(wù)1：理解斜線與平面所成的角的概念. 情境：日常生活中，很多場景中都有直線與平面成一定角度的形象. 如圖（1）所示，握筆寫字時，如果把筆抽象成直線，把紙抽象成平面，則直線與平面成一定角度；如圖（2）所示，地球儀的地軸（即旋轉(zhuǎn)軸）與赤道所在的平面垂直，并且與水平桌面成一定角度. 思考：結(jié)合上述實例，說說該如何刻畫直線與平面所成的角呢？ 【歸納小結(jié)】 兩種特殊情況下平面與直線所成的角： （1）若l⊥α，則直線與這個平面所成的角為90°； （2）若l∥α，或l α，則直線與這個平面所成的角為0°. 問題：如圖所示，設(shè)l是平面α的一條斜線，m是平面α內(nèi)的任意一條直線. 能否將m與l所成的角定義為直線l與平面α所成的角？ 【新知講授】 斜線與平面所成的角： 平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角. 如圖所示，如果直線AB是平面α的一條斜線，B為斜足，A'B是直線AB在平面α內(nèi)的射影，則∠ABA'就是直線AB與平面α所成的角. 練一練：若直線m不平行于平面α，則直線m與平面α所成角θ的范圍是___________. 任務(wù)2：探究斜線與平面所成的角的性質(zhì). 問題1：如圖所示，設(shè)AO是平面α的一條斜線段，O為斜足，A'為A在平面α內(nèi)的射影，而OM是平面α內(nèi)的一條射線，A′M⊥OM. 記∠AOA' = θ1，∠A'OM = θ2，∠AOM = θ. （1）直觀上判斷θ1與θ的大小關(guān)系； （2）證明：AM⊥OM； （3）探究θ1，θ2，θ三者之間的等量關(guān)系. 思考：根據(jù)等量關(guān)系cos θ = cos θ1cos θ2，判斷θ1和θ的大小關(guān)系是怎樣的？ 【歸納總結(jié)】 最小角定理：平面的斜線與平面所成的角，是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角. 【新知講授】 直線與平面所成角：空間中任意一條直線與任意一個平面所成的角的大小都是確定的，直線與平面所成的角也稱為它們的夾角. 練一練：如圖所示，已知∠BAC在平面α內(nèi)，過該角的頂點A引平面α的斜線AP，且使∠PAB =∠PAC，求證：斜線AP在平面α內(nèi)的射影平分∠BAC. 問題2：如圖所示，平面α外一點P在α內(nèi)的射影為P′，過P作平面α的斜線段PA1，PA2，且A1，A2均為斜足，設(shè)PA1，PA2與平面α所成角分別為θ1，θ2. （1）若PA1 = PA2，則θ1，θ2之間有什么大小關(guān)系？ （2）若P′A1 = P′A2，則θ1，θ2之間有什么大小關(guān)系？ 【歸納總結(jié)】 經(jīng)過平面外同一點所作的平面的多條斜線中，斜線段長、射影長及斜線與平面所成的角，只要有一個相等，則另外兩個也對應(yīng)相等. 如圖所示，即AB = AC OB = OC θ1 = θ2. 問題3：當線段AB所在的直線與平面α所成的角為θ，且AB在平面α內(nèi)的射影為A'B'時，線段A'B'和AB之間有什么大小關(guān)系？ 練一練：已知直線l與平面α所成的角為θ，且A，B是直線上兩點. 若AB = 6，θ =，求線段AB在平面α內(nèi)的射影A'B'的長.
學習總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. 1.簡述斜線與平面所成的角和直線與平面的夾角的區(qū)別與聯(lián)系.？ 2.舉例說明，斜線與平面所成角的性質(zhì)，分別有何應(yīng)用？
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