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直線與平面的夾角
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系. 2.會(huì)用空間向量求直線與平面的夾角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)：會(huì)用空間向量求直線與平面的夾角. 任務(wù)1：理解直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系. 問(wèn)題：如果是直線l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ. 觀察下圖，討論θ與〈，〉的關(guān)系. 思考：結(jié)合上面θ與〈，〉的關(guān)系，說(shuō)說(shuō)它們的正、余弦之間有何關(guān)系？ 練一練：如果是直線l的一個(gè)方向向量，是直線l在平面α內(nèi)的射影的一個(gè)方向向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ. 試著通過(guò)作圖討論θ與〈，〉的關(guān)系. 任務(wù)2：用空間向量求直線與平面的夾角. 問(wèn)題1：已知ABCD-A′B′C′D′是正方體，試用向量的方法求B′D′與平面A′BCD′所成角的大小？ 【歸納總結(jié)】 用空間向量法求直線與平面的夾角的基本步驟： （1）建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線方向向量及平面法向量； （3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的三角函數(shù)值； （4）結(jié)合圖形(角的關(guān)系)及三角函數(shù)值關(guān)系確定角的值，并寫出結(jié)論. 追問(wèn)：根據(jù)直線與平面所成角的定義及幾何推理是否也可解答上述問(wèn)題？ 問(wèn)題2：已知ABCD-A′B′C′D′是正方體，試根據(jù)直線與平面所成角的定義及幾何推理，求B′D′與平面A′BCD′所成角的大小？ 【歸納總結(jié)】 用定義法及幾何推理求直線與平面的夾角的基本步驟： （1）找到(或作出)斜線(斜線段)上一點(diǎn)到平面的垂線(或垂線段)，并證明； （2）找到(或作出)斜線(斜線段)在平面內(nèi)的射影，并確定線面角； （3）根據(jù)題目條件解直角三角形，經(jīng)計(jì)算(或推理)得到角的值； （4）寫出結(jié)論. 思考：試比較上述兩種解法的優(yōu)缺點(diǎn). 【歸納總結(jié)】 向量法與幾何推理法求直線與平面的夾角的優(yōu)缺點(diǎn)： 練一練：如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA = AC =AB，N為AB上一點(diǎn)，AB = 4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)，求SN與平面CMN所成角的大小.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題. 1.簡(jiǎn)述直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系； 2.簡(jiǎn)述用空間向量求直線與平面的夾角的基本步驟.
2直線與平面的夾角
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系. 2.會(huì)用空間向量求直線與平面的夾角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)：會(huì)用空間向量求直線與平面的夾角. 任務(wù)1：理解直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系. 問(wèn)題：如果是直線l的一個(gè)方向向量，是平面α的一個(gè)法向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ. 觀察下圖，討論θ與〈，〉的關(guān)系. 參考答案： 如圖（1）（4）所示，θ = –〈，〉； 如圖（2）（3）所示，θ =〈，〉– ； 綜上，θ = –〈，〉或θ =〈，〉– ，θ∈[0，]. 思考：結(jié)合上面θ與〈，〉的關(guān)系，說(shuō)說(shuō)它們的正、余弦之間有何關(guān)系？ 參考答案：cos θ = sin〈，〉；sin θ = | cos〈，〉| . 練一練：如果是直線l的一個(gè)方向向量，是直線l在平面α內(nèi)的射影的一個(gè)方向向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ. 試著通過(guò)作圖討論θ與〈，〉的關(guān)系. 參考答案： 如圖（1）（4）所示，θ = π –〈，〉； 如圖（2）（3）所示，θ =〈，〉； 綜上，θ = π –〈，〉或θ =〈，〉，即θ與〈，〉的關(guān)系是相等或互為補(bǔ)角. 任務(wù)2：用空間向量求直線與平面的夾角. 問(wèn)題1：已知ABCD-A′B′C′D′是正方體，試用向量的方法求B′D′與平面A′BCD′所成角的大小？ 參考答案：以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，正方體的棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則A′(1，0，1)，B(1，1，0)，D′(0，0，1)，B′(1，1，1)， 所以，，； 設(shè)平面A′BCD′的一個(gè)法向量為= (x，y，z)，則 ，取 = 1，可得= (0，1，1)； 又因?yàn)椋? 即B′D′與平面A′BCD′所成角θ的大小為：. 【歸納總結(jié)】 用空間向量法求直線與平面的夾角的基本步驟： （1）建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求直線方向向量及平面法向量； （3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的三角函數(shù)值； （4）結(jié)合圖形(角的關(guān)系)及三角函數(shù)值關(guān)系確定角的值，并寫出結(jié)論. 追問(wèn)：根據(jù)直線與平面所成角的定義及幾何推理是否也可解答上述問(wèn)題？ 問(wèn)題2：已知ABCD-A′B′C′D′是正方體，試根據(jù)直線與平面所成角的定義及幾何推理，求B′D′與平面A′BCD′所成角的大小？ 參考答案：如下圖所示，設(shè)A′B的中點(diǎn)為E，連接B′E，D′E ∵ABB′A′是正方形，∴B′E⊥A′B， 又∵D′A′⊥面ABB′A′，且B′E 面ABB′A′，∴D′A′⊥B′E. 再根據(jù)D′A′∩A′B=A′，可知B′E⊥面A′BCD′ 因此B′D′在面A′BCD′內(nèi)的射影為D′E， ∴∠B′D′E就是B′D′與平面A′BCD′所成的角. ∵正方體中有B′D = 2B′E，∴在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E =； 又∵∠B′D′E是一個(gè)銳角，∴∠B′D′E =，即B′D′與平面A′BCD′所成角的大小為. 【歸納總結(jié)】 用定義法及幾何推理求直線與平面的夾角的基本步驟： （1）找到(或作出)斜線(斜線段)上一點(diǎn)到平面的垂線(或垂線段)，并證明； （2）找到(或作出)斜線(斜線段)在平面內(nèi)的射影，并確定線面角； （3）根據(jù)題目條件解直角三角形，經(jīng)計(jì)算(或推理)得到角的值； （4）寫出結(jié)論. 思考：試比較上述兩種解法的優(yōu)缺點(diǎn). 【歸納總結(jié)】 向量法與幾何推理法求直線與平面的夾角的優(yōu)缺點(diǎn)： 練一練：如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA = AC =AB，N為AB上一點(diǎn)，AB = 4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)，求SN與平面CMN所成角的大小. 參考答案： 解：設(shè)PA = 1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則C (0，1，0)，M (1，0，)，N (，0，0)，S (1，，0)， 所以，，； 設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為= (x，y，z)，則 ，取y = 1，可得= (2，1，–2)； 又因?yàn)椋裕?從而可知SN與平面CMN所成角的大小為.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題. 1.簡(jiǎn)述直線方向向量和平面法向量的夾角與線面角的關(guān)系； 2.簡(jiǎn)述用空間向量求直線與平面的夾角的基本步驟.
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