資源簡(jiǎn)介

二面角
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解兩平面的法向量的夾角與兩平面夾角的關(guān)系； 2.會(huì)用平面的法向量求兩個(gè)平面的夾角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：理解兩平面的法向量的夾角與兩平面夾角的關(guān)系. 任務(wù)：利用平面的法向量研究平面與平面所成的角. 回顧：在空間中，是如何借助直線的方向向量和平面的法向量來(lái)研究直線與平面的所成的角？ 問(wèn)題1：如果，分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ，觀察下圖，討論θ與〈，〉之間有什么關(guān)系？ 參考答案：如圖（1）（2）所示，可以看出： θ =〈，〉或θ = π –〈，〉； 特別地，sin θ = sin〈，〉. 思考：當(dāng)二面角θ是鈍角時(shí)，θ與〈，〉之間的關(guān)系？ 練一練：設(shè)平面α的一個(gè)法向量= (1，1，0)，平面β的一個(gè)法向量為= (1，0，-1)，求二面角α-l-β的大小. 參考答案：解：∵= (1，1，0)，= (1，0，-1)， ∴，∴〈，〉= 60°. ∴則二面角α-l-β的大小為60°或120°.
目標(biāo)二：會(huì)用空間向量求二面角的大小. 任務(wù)：借助平面的法向量，掌握空間向量求二面角的大小的方法及步驟. 問(wèn)題1：如圖所示，已知四棱錐S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD為直角梯形，∠DAB =∠ABC=90°，且SA = AB = BC = 3AD，求平面SAB與SCD所成角的正弦值. 參考答案：解：依題意，AD，AB，AS兩兩互相垂直. 以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如所示的空間直角坐標(biāo)系. 則A (0，0，0)，S (0，0，3)，C (3，3，0)，D (1，0，0)， 所以= (1，0，0)，= (-1，0，3)，= (2，3，0). 顯然，是平面SAB的一個(gè)法向量. 設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為= (x，y，z)，則； 令x = 3，可得y = -2，z = 1，此時(shí)= (3，-2，1). 因?yàn)椋?所以可知所求角的正弦值為. 問(wèn)題2：如圖所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB = 90°，AC = BC = 1，AA1 = 2，且D是AA1的中點(diǎn).求平面BDC與平面BDC1所成角的大小. 參考答案：解：依題意，CA，CB，CC1兩兩互相垂直. 以C為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則C (0，0，0)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C1 (0，0，2)， 所以= (0，1，0)，= (1，0，1)，= (-1，0，1)，= (0，-1，2)； 設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量為= (x1，y1，z1)，則； 令z1 = 1，則得x1 = -1，y1 = 0，此時(shí)= (-1，0，1)； 設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為= (x2，y2，z2)，則； 令z2 = 1，則得x2 = 1，y2 = 2，此時(shí)= (1，2，1). 因?yàn)? (-1)×1 + 0×2 + 1×1 = 0，所以(，) = 90°，可得平面BDC與平面BDC1所成角的大小為90°，即這兩個(gè)平面是互相垂直的. 【歸納總結(jié)】 向量法求二面角的一般步驟： （1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出必要點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求出兩組有公共頂點(diǎn)的棱(線段)的方向向量； （3）分別求出兩個(gè)平面的法向量； （4）求出向量夾角的三角函數(shù)值； （5）寫(xiě)出結(jié)論. 練一練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，求平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值. 參考答案：解：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz， 設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(0，0，1)，E(1，0，)，D(0，1，0)， ∴= (0，1，-1)，= (1，0，)， 設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為= (x，y，z)，則， 令x = 1，則y = 2，z = 2，此時(shí)= (1，2，2)； ∵平面ABCD的一個(gè)法向量為= (0，0，1)， ∴cos <，> ==， 即平面A1ED與平面ABCD所成角的余弦值為.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題. 1.兩平面的平面角與其法向量夾角有怎樣的關(guān)系？ 2.向量法求二面角的一般步驟是什么？
2二面角
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解兩平面的法向量的夾角與兩平面夾角的關(guān)系； 2.會(huì)用平面的法向量求兩個(gè)平面的夾角.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：理解兩平面的法向量的夾角與兩平面夾角的關(guān)系. 任務(wù)：利用平面的法向量研究平面與平面所成的角. 回顧：在空間中，是如何借助直線的方向向量和平面的法向量來(lái)研究直線與平面的所成的角？ 問(wèn)題1：如果，分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ，觀察下圖，討論θ與〈，〉之間有什么關(guān)系？ 思考：當(dāng)二面角θ是鈍角時(shí)，θ與〈，〉之間的關(guān)系？ 練一練：設(shè)平面α的一個(gè)法向量= (1，1，0)，平面β的一個(gè)法向量為= (1，0，-1)，求二面角α-l-β的大小.
目標(biāo)二：會(huì)用空間向量求二面角的大小. 任務(wù)：借助平面的法向量，掌握空間向量求二面角的大小的方法及步驟. 問(wèn)題1：如圖所示，已知四棱錐S-ABCD中，SA⊥面ABCD，ABCD為直角梯形，∠DAB =∠ABC=90°，且SA = AB = BC = 3AD，求平面SAB與SCD所成角的正弦值. 問(wèn)題2：如圖所示，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB = 90°，AC = BC = 1，AA1 = 2，且D是AA1的中點(diǎn).求平面BDC與平面BDC1所成角的大小. 【歸納總結(jié)】 向量法求二面角的一般步驟： （1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出必要點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求出兩組有公共頂點(diǎn)的棱(線段)的方向向量； （3）分別求出兩個(gè)平面的法向量； （4）求出向量夾角的三角函數(shù)值； （5）寫(xiě)出結(jié)論. 練一練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，求平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問(wèn)題. 1.兩平面的平面角與其法向量夾角有怎樣的關(guān)系？ 2.向量法求二面角的一般步驟是什么？
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