資源簡介

二面角
學習目標 1.理解二面角及其平面角的概念； 2.掌握求二面角的基本方法和步驟，會求二面角的大小. 3.掌握二面角的平面角作法.
學習活動
目標一：理解二面角及其平面角的概念. 任務：借助生活中的實例，直觀認知二面角，理解二面角的概念. 回顧：在初中，角的定義是什么？ 參考答案：由公共端點出發的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的兩條邊. 情境：日常生活中，很多場景中都有平面與平面成一定角度的形象，如圖所示，建造大壩時，為了加固大壩，大壩外側的平面一般會與水平面成一定角度；又如，很多古建筑的屋頂都是二面角的形象. 問題1：觀察上述情境，通過類比線與線所成的角的構成，嘗試刻畫平面與平面所成的角的構成. 參考答案： 射線與射線所成角：直線上的一個點把這條直線分成兩個部分，其中的每一部分都叫做射線； 平面與平面所成角：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫做半平面. 【新知講解】 二面角的相關概念： （1）從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面； （2）如圖，在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA，OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角. 規定： ① 二面角的大小用它的平面角大小來度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小； ② 平面角是直角的二面角稱為直二面角； ③ 二面角及其平面角的大小范圍為 [0，180°]； ④ 兩平面相交時，它們所成角的大小，是它們所形成的四個二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. （如圖所示，黃赤交角為23°26 ） 思考：找出生活中存在的二面角，并說說如何測量它們的平面角？ 參考答案：如教室的墻角，書桌上的臺燈等.
目標二：會求二面角的大小. 任務：完成下列問題，掌握求二面角的基本方法和步驟，會求二面角的大小. 問題1：如圖所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B兩個點，AC α且AC⊥l，BD β且BD⊥l，若AB = 6，AC = 3，BD = 4，CD = 7，求二面角α-l-β的大小. 參考答案：解：如圖所示，在平面β內過A作BD的平行線AE，且使得AE = BD，連接CE，ED. 因為四邊形AEDB是一個矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一個平面角， 又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，從而 . 在△AEC中，由余弦定理可知 ，因此∠CAE =； 即所求二面角的大小為. 【歸納總結】 定義法求二面角的一般步驟： （1）作(找)出二平面的平面角； （2）寫出(或證明)作(找)出平面角的過程； （3）計算：利用解三角形知識求解； （4）結論：根據題意給出結果. 問題2：如圖所示，設S為二面角α-AB-β的半平面α上的一點，過點S作半平面β的垂線SS'，設O為棱AB上一點. （1）判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件； （2）結合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ 參考答案： （1）因為S′是S在平面β內的射影，所以S′O是SO在平面β內的射影； 又根據三垂線定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S′O⊥AB的充要條件. （2）當二面角α-AB-β是一個銳角時，能得到作出它的平面角的另一種方法： ①過其中一個半平面內一點S，作另一個半平面的垂線段SS′； ②過S(或S′)作棱的垂線SO(或S′O)； ③連接S′O(或SO)即可. 拓展：面積射影定理：射影三角形與原三角形的面積之比為cos θ. 下圖中，如果二面角α-AB-β的大小為θ， 則在△SOS′中，因為，所以，即射影三角形與原三角形的面積之比為cos θ. 問題3：如圖所示三棱錐S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA = SC =，AB = BC = 2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. 參考答案： 解：設O，E分別為AC，AB的中點，連接SO，OE，SE，如圖所示. 因為SA = SC，所以 SO⊥AC， 又因為面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC， 因此SE在平面ABC內的射影為OE，且OE為△ABC的中位線，AB⊥BC，所以AB⊥OE. 由三垂線定理可知AB⊥SE，因此∠SEO為二面角S-AB-C的一個平面角. 由AB = BC = 2且AB⊥BC可知AC =， 又因為SO =，而且EO =BC = 1， 從而∠SEO = 45°，即所求二面角大小為45°. 【歸納總結】 求二面角的一般方法（綜合幾何法）： （1）定義法：在棱上任取一點，過這點在兩個半平面內分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； （2）利用三垂線定理及其逆定理：自二面角的一個面上的一點向另一個平面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足與面上這一點連線，和斜足與垂足連線所夾的角，就是二面角的平面角； （3）射影面積公式法：； (S 表示射影圖形面積，S表示原圖形面積). 練一練：已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，求二面角B1-A1C1-B的大小. 參考答案：解：如圖，設O為A1C1的中點，連接B1O，BO. ∵BB1⊥面A1B1C1D1，∴BO在平面A1B1C1內的射影為B1O， 又∵A1B1 = C1B1，∴B1O⊥A1C1，∴BO⊥A1C1， ∴∠BOB1是二面角B1-A1C1-B的平面角； ∵，∴∠BOB1 = 45°，即所求二面角大小為45°.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.辨析二面角與二面角的平面角的概念區別； 2.簡述求二面角的基本方法有哪幾種？ 3.簡述定義法求二面角的大小的一般步驟.
2二面角
學習目標 1.理解二面角及其平面角的概念； 2.掌握求二面角的基本方法和步驟，會求二面角的大小. 3.掌握二面角的平面角作法.
學習活動
目標一：理解二面角及其平面角的概念. 任務：借助生活中的實例，直觀認知二面角，理解二面角的概念. 回顧：在初中，角的定義是什么？ 情境：日常生活中，很多場景中都有平面與平面成一定角度的形象，如圖所示，建造大壩時，為了加固大壩，大壩外側的平面一般會與水平面成一定角度；又如，很多古建筑的屋頂都是二面角的形象. 問題1：觀察上述情境，通過類比線與線所成的角的構成，嘗試刻畫平面與平面所成的角的構成. 【新知講解】 二面角的相關概念： （1）從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面； （2）如圖，在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA，OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角. 規定： ① 二面角的大小用它的平面角大小來度量，即二面角的大小等于它的平面角的大小； ② 平面角是直角的二面角稱為直二面角； ③ 二面角及其平面角的大小范圍為 [0，180°]； ④ 兩平面相交時，它們所成角的大小，是它們所形成的四個二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. （如圖所示，黃赤交角為23°26 ） 思考：找出生活中存在的二面角，并說說如何測量它們的平面角？
目標二：會求二面角的大小. 任務：完成下列問題，掌握求二面角的基本方法和步驟，會求二面角的大小. 問題1：如圖所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B兩個點，AC α且AC⊥l，BD β且BD⊥l，若AB = 6，AC = 3，BD = 4，CD = 7，求二面角α-l-β的大小. 【歸納總結】 定義法求二面角的一般步驟： （1）作(找)出二平面的平面角； （2）寫出(或證明)作(找)出平面角的過程； （3）計算：利用解三角形知識求解； （4）結論：根據題意給出結果. 問題2：如圖所示，設S為二面角α-AB-β的半平面α上的一點，過點S作半平面β的垂線SS'，設O為棱AB上一點. （1）判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件； （2）結合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？ 拓展：面積射影定理：射影三角形與原三角形的面積之比為cos θ. 下圖中，如果二面角α-AB-β的大小為θ， 則在△SOS′中，因為，所以，即射影三角形與原三角形的面積之比為cos θ. 問題3：如圖所示三棱錐S-ABC中，面SAC⊥面ABC，SA = SC =，AB = BC = 2，且AB⊥BC，求二面角S-AB-C的大小. . 【歸納總結】 求二面角的一般方法（綜合幾何法）： （1）定義法：在棱上任取一點，過這點在兩個半平面內分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； （2）利用三垂線定理及其逆定理：自二面角的一個面上的一點向另一個平面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足與面上這一點連線，和斜足與垂足連線所夾的角，就是二面角的平面角； （3）射影面積公式法：； (S 表示射影圖形面積，S表示原圖形面積). 練一練：已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，求二面角B1-A1C1-B的大小.
學習總結
任務：回答下列問題. 1.辨析二面角與二面角的平面角的概念區別； 2.簡述求二面角的基本方法有哪幾種？ 3.簡述定義法求二面角的大小的一般步驟.
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