資源簡介

空間中的距離
學習目標 1.理解空間中兩點間的距離及點到直線的距離的概念； 2.會用向量方法求兩點間的距離及點到直線的距離的概念.
學習活動
目標一：理解空間中兩點間的距離及點到直線的距離的概念. 任務：借助生活情境，理解空間中兩點之間的距離及點到直線的距離的概念. 情境：生活中可以看到很多道路上都有限高桿. 其主要的作用是為了防止過高的車輛通過，以保障車輛和路上的設備設施的安全. 如限高路段內(nèi)有不能移動的重要電纜、管道，或者涵洞，或者附近有高速路橋、鐵路橋等. 思考：試用數(shù)學的語言解釋上圖中所示的限高3.1 m是什么意思？ 問題1：小學和初中階段學過哪些平面內(nèi)的“距離”的概念？ 思考：觀察上述定義和圖形，說說這三種距離有什么共同的特點？ 【歸納小結(jié)】 平面中的三種距離都可以歸結(jié)為點與點的距離，而且是所有的點與點之間最短連線的長度. 如圖所示，在△ABC中，高AD的長就是頂點A到直線BC的距離，即A與直線BC上的點的最短連線的長度. 空間中任意兩個圖形之間的距離要小于等于兩個端點分別在這兩個圖形上的線段長. 如圖，兩圖形之間的距離AC，一定小于（或等于）AB的線段長. 【新知講解】 距離的概念： 一個圖形內(nèi)的任一點與另一個圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離. 如圖所示，一個圖形F1內(nèi)的任一點與另一個圖形F2內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形F1與圖形F2的距離（圖中線段b的長）.
目標二：會用向量方法求兩點間的距離及點到直線的距離. 任務1：通過向量，求空間中兩點之間的距離. 問題：如圖所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體AD = 3，AB = 4，AA' = 5，∠BAD = 90°，∠BAA' =∠DAA' = 60°，求AC'的長. 練一練：如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB. 已知AB = 4，AC = 6，BD = 8，求CD的長. 任務2：通過向量，求空間中點到直線的距離. 回顧：空間中點A到直線l的距離：經(jīng)過A點到直線l的垂線段的長. 點到直線的距離也是這個點與直線上點的最短連線的長度. 如圖，點A是直線l外一點，若AB是直線l的垂線段，則AB的長就是點A到直線l的距離，這一距離等于||. 問題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求點C1到直線BD1的距離. 【歸納總結(jié)】 用空間向量求點到直線距離的基本方法： ① 在空間直角坐標系內(nèi)，用已知線段的向量表示出直線的一個方向向量； ② 用已知線段的向量刻畫垂足； ③ 根據(jù)直線與垂線段的垂直關(guān)系（數(shù)量積為0)求垂足的坐標； ④ 求出垂線段的向量； ⑤ 求出垂線段的向量的模. 練一練：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，嘗試用幾何法求點C1到直線BD1的距離. 思考：結(jié)合上述問題，比較向量法和幾何法求點到直線的優(yōu)缺點？
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導圖. 1.闡述圖形與圖形距離的概念，并說出理論依據(jù)； 2.簡述向量法求空間中兩點之間的距離及點到直線的距離的基本思路與步驟.
2空間中的距離
學習目標 1.理解空間中兩點間的距離及點到直線的距離的概念； 2.會用向量方法求兩點間的距離及點到直線的距離的概念.
學習活動
目標一：理解空間中兩點間的距離及點到直線的距離的概念. 任務：借助生活情境，理解空間中兩點之間的距離及點到直線的距離的概念. 情境：生活中可以看到很多道路上都有限高桿. 其主要的作用是為了防止過高的車輛通過，以保障車輛和路上的設備設施的安全. 如限高路段內(nèi)有不能移動的重要電纜、管道，或者涵洞，或者附近有高速路橋、鐵路橋等. 思考：試用數(shù)學的語言解釋上圖中所示的限高3.1 m是什么意思？ 問題1：小學和初中階段學過哪些平面內(nèi)的“距離”的概念？ 參考答案： 平面內(nèi)的三種“距離”： 兩點間的距離：兩點間的所有連線中，線段最短，連接兩點間的線段的長度稱為兩點間的距離； 點到直線的距離：從直線外一點到這條直線所作的線段中，垂線段最短，它的長度稱為這個點到直線的距離； 兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，稱為這兩條平行線之間的距離. 思考：觀察上述定義和圖形，說說這三種距離有什么共同的特點？ 【歸納小結(jié)】 平面中的三種距離都可以歸結(jié)為點與點的距離，而且是所有的點與點之間最短連線的長度. 如圖所示，在△ABC中，高AD的長就是頂點A到直線BC的距離，即A與直線BC上的點的最短連線的長度. 空間中任意兩個圖形之間的距離要小于等于兩個端點分別在這兩個圖形上的線段長. 如圖，兩圖形之間的距離AC，一定小于（或等于）AB的線段長. 【新知講解】 距離的概念： 一個圖形內(nèi)的任一點與另一個圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離. 如圖所示，一個圖形F1內(nèi)的任一點與另一個圖形F2內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形F1與圖形F2的距離（圖中線段b的長）.
目標二：會用向量方法求兩點間的距離及點到直線的距離. 任務1：通過向量，求空間中兩點之間的距離. 問題：如圖所示，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體AD = 3，AB = 4，AA' = 5，∠BAD = 90°，∠BAA' =∠DAA' = 60°，求AC'的長. 參考答案：解：由已知可得，，，不共面，而且|| = 3， || = 4，|| = 5； 從而·= 0，·= 3×5×cos 60° = 7.5，； 又因為， 所以； 因此，即所求長為. 練一練：如圖，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB. 已知AB = 4，AC = 6，BD = 8，求CD的長. 參考答案：解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，且二面角為60°， ∴<，> = 60°，∴<，> = 120°， ∵， ∴ ∴||=，即CD的長為. 任務2：通過向量，求空間中點到直線的距離. 回顧：空間中點A到直線l的距離：經(jīng)過A點到直線l的垂線段的長. 點到直線的距離也是這個點與直線上點的最短連線的長度. 如圖，點A是直線l外一點，若AB是直線l的垂線段，則AB的長就是點A到直線l的距離，這一距離等于||. 問題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求點C1到直線BD1的距離. 參考答案：解：以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系. 則B (1，1，0)，D1 (0，0，1)，C1 (0，1，1)，故= (–1，–1，1)； 設E滿足且C1E⊥BD1，則 = (1，1，0) + λ(–1，–1，1) = (1 – λ，1 – λ，λ)， 即E (1 – λ，1 – λ，λ)，所以= (1 – λ，– λ，λ – 1). 又因為C1E⊥BD1，所以， 即(–1)×(1 – λ) + (–1)×(– λ) + 1×(λ – 1) = 0，解得， 因此，從而可知點C1到直線BD1的距離為 . 【歸納總結(jié)】 用空間向量求點到直線距離的基本方法： ① 在空間直角坐標系內(nèi)，用已知線段的向量表示出直線的一個方向向量； ② 用已知線段的向量刻畫垂足； ③ 根據(jù)直線與垂線段的垂直關(guān)系（數(shù)量積為0)求垂足的坐標； ④ 求出垂線段的向量； ⑤ 求出垂線段的向量的模. 練一練：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，嘗試用幾何法求點C1到直線BD1的距離. 參考答案：解：如圖，連接BC1， （方法一）由ABCD–A1B1C1D1是棱長為1的正方體，可得 BC1 =，BD1 =，D1C1⊥BC1； 因此△BC1D1∽△C1ED1，BC1 : BD1 = C1E : C1D1，可得C1E =； （方法二）由可得C1E =. 思考：結(jié)合上述問題，比較向量法和幾何法求點到直線的優(yōu)缺點？
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導圖. 1.闡述圖形與圖形距離的概念，并說出理論依據(jù)； 2.簡述向量法求空間中兩點之間的距離及點到直線的距離的基本思路與步驟.
2

展開更多......

收起↑