資源簡介

空間中的距離
學習目標 1.理解點到平面、相互平行的直線與平面、相互平行的平面與平面之間的距離的概念； 2.會用向量法求點面距、線面距及面面距.
學習活動
目標一：理解點到平面的距離的概念，會求點到平面的距離. 任務1：通過類比點到直線的距離概念，理解點到平面的距離的概念. 問題：類比點到直線距離概念，給出點到平面的距離的概念，并畫出相關圖形說明其成立的依據(jù). 【新知講解】 點到平面的距離： （1）給定空間中一個平面α及α外一點A，過A可以作平面α的一條垂線段，這條垂線段的長稱為點A到平面α的距離. (注意：若點A是平面α內(nèi)一點，則點A到平面α的距離為0) （2）點到平面的距離是這個點與平面內(nèi)點的最短連線的長度. 如圖所示，點A是平面α外一點，若AA'是平面α的垂線段 (即A'為A在平面α內(nèi)的射影)，則平面α內(nèi)不同于A'的任意一點B，一定滿足AB > AA'（AB與AA'分別是Rt△AA'B的斜邊與一條直角邊）. 任務2：探究點到平面的距離公式，并會用向量法求點到平面的距離. 問題1：如圖，設是平面α的一個單位法向量 (即|| = 1)，因為AA'⊥α，所以表示的有向線段可以在直線AA'上，則： （1）的幾何意義是什么？和AA'之間又有何關系？ （2）一般情況下，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，如何根據(jù)和平面α的一個法向量表示出點A到平面α的距離？ 參考答案： （1）因為， 又是平面α的一個單位法向量，所以， 其中為在上的投影的數(shù)量，所以等于在上的投影的數(shù)量； 因此，如圖所示，有= A'A； （2）一般地，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，是平面α的一個法向量，則點到平面的距離. 【歸納小結(jié)】 點到平面距離公式： 一般地，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，是平面α的一個法向量，則點到平面的距離. 問題2：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個邊長為1的正方形，PA⊥面ABCD，PA = 1，求點D到平面PBC的距離. 參考答案：解：以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系. 則B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)， 所以= (0，1，0)，= (–1，0，1)，= (0，1，–1)； 設平面PBC的一個法向量為= (x，y，z)，則， 令z = 1，則得x = 1，y = 0，此時= (1，0，1)； 因為， 所以點D到平面PBC的距離為. 練一練：試套用上述問題條件，分別借助和來計算點D到平面PBC的距離. 參考答案： 借助： 因為平面PBC的一個法向量= (1，0，1)，且= (–1，0，0)， 所以距離； 借助： 因為平面PBC的一個法向量= (1，0，1)，且= (–1，1，0)， 所以距離. 【歸納小結(jié)】 一般向量法求點到平面的距離的步驟： （1）根據(jù)條件合理建立空間直角坐標系，并求出相應點的坐標； （2）求出相應平面內(nèi)不共線的兩個向量及點到這個平面的一條斜線段的向量； （3）利用方程組求出平面的一個法向量； （4）利用公式求出點到平面的距離； （5）寫出所求問題的結(jié)論.
目標二：理解相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離的概念，并會用向量法求出它們之間的距離. 任務：會用向量法求線面距和面面距. 問題1：觀察下列相互平行的直線與平面及相互平行的平面與平面圖形，類比點到平面距離公式的探究過程，寫出它們之間的距離公式. 參考答案： 如圖（1）所示，當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離； 如圖（2）所示，當平面與平面平行時，一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離；（與兩個平行平面同時垂直的直線，稱為這兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個平面的共垂線段.） 綜上所述，直線與平面之間的距離和平面與平面之間的距離，都可以歸結(jié)成點到平面的距離，可通過空間向量來求得. 如圖（1）（2）所示，相互平行的直線與平面之間的距離和相互平行的平面與平面之間的距離公式均為. 【歸納小結(jié)】 直線到平面距離公式及平面到平面的距離公式： （成立前提：上述直線與平面都是相互平行的） . 問題2：觀察已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分別為A1B1，AD，CC1的中點，判斷直線AC與平面EMN的關系，并求出AC與平面EMN之間的距離. 參考答案：解：以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，正方體的棱長為2個單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系. 則M (1，0，0)，E (2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，所以= (1，1，2)，= (–1，2，1)，= (–2，2，0)； 設平面EMN的一個法向量為= (x，y，z)，則 ，令z = 1，則得= (–1，–1，1)； 因為，所以⊥； 又因為點A顯然不在平面EMN內(nèi)，所以AC與平面EMN平行； 又因為= (1，0，0)，所以， 故點A到平面EMN的距離為，也是AC與平面EMN之間的距離. 練一練：在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC = 90°，AD = 1，CD =，BC = 2，AA1 = 2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平面ABE的距離. 參考答案：解：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz， 則A1 (1，0，2)，A (1，0，0)，E (0，，1)，C (0，，0). 過點C作AB的垂線交AB于點F，易得BF =， ∴B (1，2，0)，∴= (0，2，0)，= (–1，–，1). 設平面ABE的一個法向量為= (x，y，z)，則 ，令x = 1，則得= (1，0，1)； 又因為= (0，0，2)，所以； 所以直線A1B1與平面ABE的距離為.
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導圖. 1.寫出點到平面、直線與平面及平面與平面之間的距離公式，并解釋它們的含義； 2.簡述用向量法求三種距離的基本思路及步驟.
2空間中的距離
學習目標 1.理解點到平面、相互平行的直線與平面、相互平行的平面與平面之間的距離的概念； 2.會用向量法求點面距、線面距及面面距.
學習活動
目標一：理解點到平面的距離的概念，會求點到平面的距離. 任務1：通過類比點到直線的距離概念，理解點到平面的距離的概念. 問題：類比點到直線距離概念，給出點到平面的距離的概念，并畫出相關圖形說明其成立的依據(jù). 【新知講解】 點到平面的距離： （1）給定空間中一個平面α及α外一點A，過A可以作平面α的一條垂線段，這條垂線段的長稱為點A到平面α的距離. (注意：若點A是平面α內(nèi)一點，則點A到平面α的距離為0) （2）點到平面的距離是這個點與平面內(nèi)點的最短連線的長度. 如圖所示，點A是平面α外一點，若AA'是平面α的垂線段 (即A'為A在平面α內(nèi)的射影)，則平面α內(nèi)不同于A'的任意一點B，一定滿足AB > AA'（AB與AA'分別是Rt△AA'B的斜邊與一條直角邊）. 任務2：探究點到平面的距離公式，并會用向量法求點到平面的距離. 問題1：如圖，設是平面α的一個單位法向量 (即|| = 1)，因為AA'⊥α，所以表示的有向線段可以在直線AA'上，則： （1）的幾何意義是什么？和AA'之間又有何關系？ （2）一般情況下，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，如何根據(jù)和平面α的一個法向量表示出點A到平面α的距離？ 【歸納小結(jié)】 點到平面距離公式： 一般地，若A是平面α外一點，B是平面α內(nèi)一點，是平面α的一個法向量，則點到平面的距離. 問題2：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個邊長為1的正方形，PA⊥面ABCD，PA = 1，求點D到平面PBC的距離. 練一練：試套用上述問題條件，分別借助和來計算點D到平面PBC的距離. 【歸納小結(jié)】 一般向量法求點到平面的距離的步驟： （1）根據(jù)條件合理建立空間直角坐標系，并求出相應點的坐標； （2）求出相應平面內(nèi)不共線的兩個向量及點到這個平面的一條斜線段的向量； （3）利用方程組求出平面的一個法向量； （4）利用公式求出點到平面的距離； （5）寫出所求問題的結(jié)論.
目標二：理解相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離的概念，并會用向量法求出它們之間的距離. 任務：會用向量法求線面距和面面距. 問題1：觀察下列相互平行的直線與平面及相互平行的平面與平面圖形，類比點到平面距離公式的探究過程，寫出它們之間的距離公式. 【歸納小結(jié)】 直線到平面距離公式及平面到平面的距離公式： （成立前提：上述直線與平面都是相互平行的） . 問題2：觀察已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分別為A1B1，AD，CC1的中點，判斷直線AC與平面EMN的關系，并求出AC與平面EMN之間的距離. 練一練：在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC = 90°，AD = 1，CD =，BC = 2，AA1 = 2，E是CC1的中點，求直線A1B1與平面ABE的距離.
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導圖. 1.寫出點到平面、直線與平面及平面與平面之間的距離公式，并解釋它們的含義； 2.簡述用向量法求三種距離的基本思路及步驟.
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