資源簡(jiǎn)介

復(fù)習(xí)課 空間向量與立體幾何
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.查閱教材，建構(gòu)單元知識(shí)體系； 2.掌握空間向量的相關(guān)運(yùn)算； 3.能借助空間向量求解立體幾何問題； 4.能利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理求解立體幾何問題； 5.通過比較兩類解法，總結(jié)兩類立體幾何解法的優(yōu)缺點(diǎn).
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：建構(gòu)本單元知識(shí)體系. 任務(wù)：查閱教材，回答下列問題，并建構(gòu)單元知識(shí)體系 1.什么是向量的線性運(yùn)算？向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？ 2.闡述空間向量的基本定理，并解釋基底、基向量的概念； 3.當(dāng)空間中兩向量平行或垂直時(shí)，它們的坐標(biāo)間有什么關(guān)系？ 4.簡(jiǎn)述三垂線定理及其逆定理的含義； 5.線面角、二面角及二面角的平面角分別是什么？ 6.點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距及面面距分別是什么？ 【知識(shí)生成】
目標(biāo)二：掌握空間向量的相關(guān)運(yùn)算. 任務(wù)：求解下列問題，并說說運(yùn)用了哪些空間向量知識(shí). 問題1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 參考答案： （1）； （2）∵， ∴； （3）； （4）. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的線性運(yùn)算；② 空間向量的數(shù)量積；③ 空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系. 問題2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且與共線，求x，y的值. 參考答案： 解：∵= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且∥， ∴當(dāng)x ≠ 0時(shí)，有，解得，； 當(dāng)x = 0時(shí)，顯然與不共線； ∴綜上所述，，. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行的關(guān)系. 問題3：已知空間三點(diǎn)A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 參考答案：依題意= (-2，-1，3)，= (-1，3，-2)， 又， ∵<，>∈[0，π]，∴<，> =. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系.
目標(biāo)三：能運(yùn)用不同方法求解立體幾何問題. 任務(wù)1：借助空間向量求解下列立體幾何問題 問題1：在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）證明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值. 參考答案： 解：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)為O，連接QO，CO， ∵QA = QD，OA = OD，∴QO⊥AD， 而AD = 2，QA =，∴QO == 2； 在正方形ABCD中，∵AD = 2，∴DO = 1，∴OC =， ∵QC = 3，∴QC2 = QO2 + OC2，∴△QOC為直角三角形且QO⊥OC， ∵OC∩AD = O，OC 平面ABCD，AD 平面ABCD， ∴QO⊥平面ABCD， ∵QO 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD. （2）連接BD，在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)O作OT∥CD，交BC于點(diǎn)T，則OT⊥AD， 結(jié)合（1）中的QO⊥平面ABCD，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則D (0，1，0)，Q (0，0，2)，B (2，-1，0)，故= (-2，1，2)，= (-2，2，0)， 設(shè)平面BQD的一個(gè)法向量為= (x，y，z)， 則， 取x = 1，則y = 1，z =，故= (1，1，)； 而平面ADQ的一個(gè)法向量為= (1，0，0)， ∴cos <，> =， 故平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值為. 【歸納總結(jié)】 求兩平面夾角問題的思路： 一是利用夾角的定義，在圖形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法，根據(jù)向量的運(yùn)算求解. 注意：線線角、線面角、面面角與對(duì)應(yīng)向量滿足的關(guān)系. 問題2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q為棱PD的中點(diǎn)，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求證：PA⊥平面ABCD； （2）求直線PB到平面ACQ的距離. 參考答案： 解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD，PA⊥AD，又PA 平面PAD，∴PA⊥平面ABCD. （2）∵底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，∴AB，AD，AP兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz. ∵PA = AB = 2，∴A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，Q (0，1，1)，= (2，2，0)，= (0，1，1). ∵PA⊥平面ABCD，∴= (0，0，2)為平面ABCD的一個(gè)法向量； 設(shè)平面ACQ的一個(gè)法向量為= (x，y，z)， 則，令x = 1，則y = -1，z = 1，故= (1，-1，1)， ∵= (2，0，-2)，∴，且PB 平面ACQ， ∴PB∥平面ACQ， ∴點(diǎn)P到平面ACQ的距離即為直線PB到平面ACQ的距離， ∵= (0，0，2)，∴點(diǎn)P到平面ACQ的距離為； 即直線PB到平面ACQ的距離為. 【歸納總結(jié)】 （1）求點(diǎn)到平面的距離，常常利用向量法，將其轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度； （2）求直線到平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以易于求解為準(zhǔn)則. 任務(wù)2：利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理求解立體幾何問題. 問題：已知ABCD-A1B1C1D1是正方體，求平面AB1C的一個(gè)法向量. 參考答案：如圖，連接BD，BD1，則由圖可知： ∵D1D⊥底面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD內(nèi)投影； ∵AC⊥BD，∴AC⊥BD1（三垂線定理）； 同理可證AB1⊥BD1. 又∵AC ∩ AB1 = A，∴BD1⊥平面AB1C， ∴BD1是平面AB1C的一個(gè)法向量. 【歸納總結(jié)】 首先據(jù)表述正確畫出圖形，再分析圖形中幾何基本元素的相互關(guān)系，然后根據(jù)已知定義、性質(zhì)、定理進(jìn)行推理，最后寫出所求問題的結(jié)論. 注意：也可建立坐標(biāo)系后，用待定系數(shù)法求出平面的一個(gè)法向量.
目標(biāo)四：通過比較兩類解法，總結(jié)兩類立體幾何解法的優(yōu)缺點(diǎn). 任務(wù)：回顧上述兩種求解立體幾何問題的解法，完成下列思考. 問題：結(jié)合必修中所學(xué)立體幾何內(nèi)容，指出兩類立體幾何解法的一般步驟，并總結(jié)每一類解法的優(yōu)缺點(diǎn). 【歸納總結(jié)】 借助空間向量求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據(jù)題目條件合理地建立空間直角坐標(biāo)系，并寫出幾何體中必要的點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求出棱（線段）所在直線的一個(gè)方向向量、平面的一個(gè)法向量； （3）根據(jù)條件、問題進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，利用向量關(guān)系判斷幾何體中的元素的關(guān)系； （4）寫出所求問題的結(jié)論. 利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理等求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據(jù)題目表述正確畫出圖形或找到圖形中的幾何基本元素； （2）分析圖形中幾何基本元素的相互關(guān)系（或作出必要的輔助線）； （3）根據(jù)定義、性質(zhì)、定理進(jìn)行推理（或計(jì)算推理）； （4）寫出所求問題的結(jié)論. 兩類解法優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比：
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：本單元我們收獲了什么？還存在哪些疑惑呢？
2復(fù)習(xí)課 空間向量與立體幾何
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.查閱教材，建構(gòu)單元知識(shí)體系； 2.掌握空間向量的相關(guān)運(yùn)算； 3.能借助空間向量求解立體幾何問題； 4.能利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理求解立體幾何問題； 5.通過比較兩類解法，總結(jié)兩類立體幾何解法的優(yōu)缺點(diǎn).
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：建構(gòu)本單元知識(shí)體系. 任務(wù)：查閱教材，回答下列問題，并建構(gòu)單元知識(shí)體系 1.什么是向量的線性運(yùn)算？向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？ 2.闡述空間向量的基本定理，并解釋基底、基向量的概念； 3.當(dāng)空間中兩向量平行或垂直時(shí)，它們的坐標(biāo)間有什么關(guān)系？ 4.簡(jiǎn)述三垂線定理及其逆定理的含義； 5.線面角、二面角及二面角的平面角分別是什么？ 6.點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、線面距及面面距分別是什么？ 【知識(shí)生成】
目標(biāo)二：掌握空間向量的相關(guān)運(yùn)算. 任務(wù)：求解下列問題，并說說運(yùn)用了哪些空間向量知識(shí). 問題1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的線性運(yùn)算；② 空間向量的數(shù)量積；③ 空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系. 問題2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且與共線，求x，y的值. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行的關(guān)系. 問題3：已知空間三點(diǎn)A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 【涉及知識(shí)點(diǎn)】 ① 空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系.
目標(biāo)三：能運(yùn)用不同方法求解立體幾何問題. 任務(wù)1：借助空間向量求解下列立體幾何問題 問題1：在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）證明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值. 【歸納總結(jié)】 求兩平面夾角問題的思路： 一是利用夾角的定義，在圖形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法，根據(jù)向量的運(yùn)算求解. 注意：線線角、線面角、面面角與對(duì)應(yīng)向量滿足的關(guān)系. 問題2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q為棱PD的中點(diǎn)，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求證：PA⊥平面ABCD； （2）求直線PB到平面ACQ的距離. 【歸納總結(jié)】 （1）求點(diǎn)到平面的距離，常常利用向量法，將其轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長(zhǎng)度； （2）求直線到平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以易于求解為準(zhǔn)則. 任務(wù)2：利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理求解立體幾何問題. 問題：已知ABCD-A1B1C1D1是正方體，求平面AB1C的一個(gè)法向量. 【歸納總結(jié)】 首先據(jù)表述正確畫出圖形，再分析圖形中幾何基本元素的相互關(guān)系，然后根據(jù)已知定義、性質(zhì)、定理進(jìn)行推理，最后寫出所求問題的結(jié)論. 注意：也可建立坐標(biāo)系后，用待定系數(shù)法求出平面的一個(gè)法向量.
目標(biāo)四：通過比較兩類解法，總結(jié)兩類立體幾何解法的優(yōu)缺點(diǎn). 任務(wù)：回顧上述兩種求解立體幾何問題的解法，完成下列思考. 問題：結(jié)合必修中所學(xué)立體幾何內(nèi)容，指出兩類立體幾何解法的一般步驟，并總結(jié)每一類解法的優(yōu)缺點(diǎn). 【歸納總結(jié)】 借助空間向量求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據(jù)題目條件合理地建立空間直角坐標(biāo)系，并寫出幾何體中必要的點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）求出棱（線段）所在直線的一個(gè)方向向量、平面的一個(gè)法向量； （3）根據(jù)條件、問題進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，利用向量關(guān)系判斷幾何體中的元素的關(guān)系； （4）寫出所求問題的結(jié)論. 利用有關(guān)定義、判定定理、性質(zhì)定理等求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據(jù)題目表述正確畫出圖形或找到圖形中的幾何基本元素； （2）分析圖形中幾何基本元素的相互關(guān)系（或作出必要的輔助線）； （3）根據(jù)定義、性質(zhì)、定理進(jìn)行推理（或計(jì)算推理）； （4）寫出所求問題的結(jié)論. 兩類解法優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)比：
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