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點到直線的距離
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握點到直線的距離公式，并能用公式解決相關(guān)距離問題； 2.掌握兩條平行直線之間的距離公式，會求兩平行線間的距離.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：掌握點到直線的距離公式，并能用公式解決相關(guān)點到直線的距離問題. 任務(wù)1：會使用向量工具推導(dǎo)點到直線距離公式. 思考：如圖，在鐵路的附近有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，那么怎樣設(shè)計能使公路最短？ 問題1：若設(shè)該倉庫為點P (–1，2)，鐵路為直線l1：2x + y – 5 = 0，試用向量法求出它們之間的距離？ 問題2：結(jié)合上述計算過程，求P (x0，y0) 到直線l：Ax + By + C = 0的距離d. 小結(jié)：點到直線距離公式：. 練一練：利用點到直線的距離公式計算點P (–1，2)到直線l1：2x + y – 5 = 0的距離？ 問題3：試用向量的數(shù)量積推導(dǎo)點P (x0，y0) 到直線l：Ax + By + C = 0的距離公式. 任務(wù)2：會用點到直線的距離公式解決相關(guān)距離問題. 問題1：已知△ABC的三個頂點A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，求△ABC的BC邊上的高. 練一練：已知點A(1，3)，B(2，1)，C(-1，0)，求△ABC的面積.
目標(biāo)二：掌握兩條平行直線之間的距離公式 任務(wù)：利用點到直線的距離公式，求兩條平行直線之間的距離. 思考：根據(jù)點到直線距離的求法，如何求兩條平行線之間的距離？ 問題1：求平行線與之間的距離. 問題2：已知直線，，求證：l1與l2之間的距離為. 練一練：已知兩平行直線l1：3x + 5y + 1 = 0和l2：6x + 10y + 5 = 0，求l1與l2間的距離. 方法小結(jié)：兩平行線間的距離公式： （1）當(dāng)兩條平行直線的方程中x，y系數(shù)相同時，才可套用； （2）當(dāng)兩條平行直線的方程中x，y系數(shù)不相同時，可先化為相同系數(shù)，再進(jìn)行求解.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導(dǎo)圖. 1.點到直線的距離公式有什么使用要求？若直線中A或B為零時，還能使用該距離公式嗎？ 2.使用兩平行線間的距離公式時，需要注意哪些問題？
2點到直線的距離
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握點到直線的距離公式，并能用公式解決相關(guān)距離問題； 2.掌握兩條平行直線之間的距離公式，會求兩平行線間的距離.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：掌握點到直線的距離公式，并能用公式解決相關(guān)點到直線的距離問題. 任務(wù)1：會使用向量工具推導(dǎo)點到直線距離公式. 思考：如圖，在鐵路的附近有一大型倉庫，現(xiàn)要修建一條公路與之連接起來，那么怎樣設(shè)計能使公路最短？ 參考答案：平面內(nèi)點到直線的距離：過這個點作直線的垂線所得的垂線段的長度. 問題1：若設(shè)該倉庫為點P (–1，2)，鐵路為直線l1：2x + y – 5 = 0，試用向量法求出它們之間的距離？ 參考答案：如圖所示，設(shè)點P1 (x1，y1)是直線l1上的一點，且PP1⊥l1， 則P到l1的距離等于PP1的長， 因為= (x1 + 1，y1 – 2)，且直線l1的一個法向量為= (2，1)， 由與共線可得2 × (y1 – 2) = 1 × (x1 + 1)，即①； 又因為P1 (x1，y1)是直線l1上的點，所以②； 聯(lián)立①與②，得，解得x1 = 1，y1 = 3，即P1 (1，3)， 所以= (2，1)，因此，即所求距離為. 問題2：結(jié)合上述計算過程，求P (x0，y0) 到直線l：Ax + By + C = 0的距離d. 參考答案：設(shè)P1 (x1，y1) 是直線l上的一點，且PP1⊥l， 因此； 因為= (x1 – x0，y1 – y0)，且直線l的一個法向量為= (A，B)， 因此與共線，得A(y1 – y0) = B(x1 – x0)，整理得 B(x1 – x0) – A(y1 – y0) = 0 ①； 又因為P1 (x1，y1)是直線l上的點，所以②； 在②的左右兩邊同時減去Ax0、By0，整理得 ③ 將①和③兩邊平方后相加可得： ， 因此，即. 小結(jié)：點到直線距離公式：. 練一練：利用點到直線的距離公式計算點P (–1，2)到直線l1：2x + y – 5 = 0的距離？ 參考答案：；與問題1中計算的結(jié)果一致. 問題3：試用向量的數(shù)量積推導(dǎo)點P (x0，y0) 到直線l：Ax + By + C = 0的距離公式. 參考答案：因為= (A，B)是直線l的一個法向量， 設(shè)P1 (x，y) 是直線l上任意一點，則由向量數(shù)量積的幾何意義可知，P (x0，y0) 到直線l的距離d滿足； 因為= (x – x0，y – y0)， 所以， 又因為P1 (x，y)是直線l上的點， 所以，即， 從而. 任務(wù)2：會用點到直線的距離公式解決相關(guān)距離問題. 問題1：已知△ABC的三個頂點A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，求△ABC的BC邊上的高. 參考答案：要求△ABC的BC邊上的高，即是求點A到直線BC的距離； 因為BC所在直線的截距式方程為， 所以一般式方程為x + 2y – 2 = 0， 因此所求高為. 練一練：已知點A(1，3)，B(2，1)，C(-1，0)，求△ABC的面積. 參考答案：因為，， 所以直線BC的方程為，即； 又因為點A(1，3)到直線BC的距離， 所以.
目標(biāo)二：掌握兩條平行直線之間的距離公式 任務(wù)：利用點到直線的距離公式，求兩條平行直線之間的距離. 思考：根據(jù)點到直線距離的求法，如何求兩條平行線之間的距離？ 問題1：求平行線與之間的距離. 參考答案：在l1的方程中，令y = 0，則可得x = – 1，因此(– 1，0)是直線l1上一點. 又因為(– 1，0)到的距離為， 所以所求距離為. 問題2：已知直線，，求證：l1與l2之間的距離為. 參考答案：設(shè)P(x1，y1)為l1上一點，則：，從而； 因為P到l2的距離為， 所以結(jié)論成立. 練一練：已知兩平行直線l1：3x + 5y + 1 = 0和l2：6x + 10y + 5 = 0，求l1與l2間的距離. 參考答案：因為兩直線l1與l2的系數(shù)不同，所以不能直接套用公式； 可將直線l2：6x + 10y + 5 = 0化為3x + 5y += 0， 所以l1與l2間的距離為. 方法小結(jié)：兩平行線間的距離公式： （1）當(dāng)兩條平行直線的方程中x，y系數(shù)相同時，才可套用； （2）當(dāng)兩條平行直線的方程中x，y系數(shù)不相同時，可先化為相同系數(shù)，再進(jìn)行求解.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建本課知識導(dǎo)圖. 1.點到直線的距離公式有什么使用要求？若直線中A或B為零時，還能使用該距離公式嗎？ 2.使用兩平行線間的距離公式時，需要注意哪些問題？
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