資源簡介

圓的標準方程
學(xué)習(xí)目標 1.會用定義推導(dǎo)圓的標準方程并能用該方程判斷點與圓的位置關(guān)系； 2.能根據(jù)所給條件求出圓的標準方程，并解決一些簡單實際問題.
學(xué)習(xí)活動
目標一：根據(jù)圓的定義，推導(dǎo)圓的標準方程并能用該方程判斷點與圓的位置關(guān)系. 任務(wù)1：根據(jù)圓的定義，推導(dǎo)圓的標準方程. 情境：小時候?qū)W習(xí)過李白的詩詞“小時不識月，呼作白玉盤…” 思考：觀察上圖中月亮的圖片，從數(shù)學(xué)角度說說能看成什么平面圖形？該如何定義這種平面圖形. 舊知回顧： 圓的概念：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合，其中定點是圓心，定長是半徑； 確定一個圓的幾何要素：圓心、半徑. 問題：設(shè)平面直角坐標系中的⊙C的圓心坐標為C (a，b)，而且半徑為r (r > 0). （1）若C (1，2)，r = 2，判斷點A (3，2)是否在圓C上； （2）若C (1，2)，r = 2，設(shè)M (x，y)是平面直角坐標系中任意一點，那么點M在⊙C上的充要條件是什么？ （3）設(shè)M(x，y)是平面直角坐標系中任意一點，那么點M在⊙C上的充要條件是什么？ 參考答案： （1）因為，即，所以點A在C上； （2）由圓的定義知，M (x，y)在C上的充要條件是|CM| = 2， 即，因此x，y要滿足； （3）同理，點M (x，y)在C上的充要條件是|CM| = r， 即，因此x，y要滿足. 新知講解： 圓的標準方程：(x a) 2 + (y b) 2 = r 2，圓心C (a，b)，半徑r. 注意： （1）若點M (x，y)在C上，點M 的坐標就滿足方程； （2）若點M坐標(x，y)滿足方程，可得|CM| = r，則點M在C上. 思考：圓心在坐標系的原點，半徑為r的圓的標準方程是什么？ 練一練：已知C的標準方程為(x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2，試寫出C的圓心坐標及半徑. 參考答案：圓心：(– 3，1)；半徑r =. 任務(wù)2：運用圓的標準方程判斷點與圓的位置關(guān)系. 問題1：點A (1，1)，B (4，0)，C (，) 同圓 x2 + y2 = 4的關(guān)系如圖所示，則|OA|，|OB|，|OC|同圓的半徑r = 2是什么關(guān)系？ 參考答案：|OA| < 2，|OB| > 2，|OC| = 2. 問題2：結(jié)合上述實例，設(shè)N(x0，y0)是平面直角坐標系中一點，如何判斷點N與⊙C的位置關(guān)系 參考答案： 點M (x0，y0)與圓C：(x – a)2 + (y – b)2 = r2 的位置關(guān)系： 練一練：點P (1，3)與圓x2 + y2 = 24的位置關(guān)系是 (　 ) A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不確定 參考答案：B.
目標二：能根據(jù)條件求出圓的標準方程，并能利用圓的標準方程解決一些簡單實際問題. 任務(wù)1：根據(jù)條件求出圓的標準方程. 問題1：根據(jù)下列條件，求出圓的標準方程： （1）圓心在C (–2，1)，且過點A (2，–2)； （2）過(0，1)和點(2，1)，半徑為. 參考答案： （1）所求圓的半徑為， 又因為圓心是C (–2，1)，所以圓的標準方程為； （2）設(shè)圓心為C (a，b)，則圓的標準方程為； 因為點(0，1)和點(2，1)在圓上，所以， 解得或； 因此，圓的標準方程為或. 問題2：如圖所示，設(shè)C的圓心C在直線l：2x – 7y + 8 = 0上，且A(6，0)，B(1，5)都是C上的點，求圓的標準方程. 參考答案：方法一（待定系數(shù)法）： 設(shè)圓的標準方程為， 由題意可得：，解得； 因此，圓的標準方程為. 方法二（幾何法）： 由于圓過A，B兩點，故圓心在線段AB的垂直平分線m上，即圓心C為直線l與直線m的交點. 設(shè)線段AB的垂直分線為m，，故， 又因為線段AB的中點坐標為， 所以直線m的方程為，即， 因此，圓心C滿足，解得，即圓心為C (3，2). 所以圓的半徑， 故圓的標準方程為. 歸納小結(jié)： 求圓的標準方程的一般方法： （1）待定系數(shù)法：求圓的標準方程的一般步驟： （2）幾何法：利用平面幾何知識，先求出圓心和半徑，然后再寫出圓的標準方程； （3）待定系數(shù)法和幾何法：兩種方法交叉使用，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 練一練：求過點A(1，-1)、B(-1，1)，且圓心在直線x + y – 2 = 0上的圓的標準方程. 參考答案：設(shè)圓的標準方程為， 根據(jù)已知條件可得，解得， 所以所求圓的標準方程為. 任務(wù)2：利用圓的標準方程解決一些簡單實際問題. 問題：趙州橋位于我國河北省，是我國現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋. 如圖所示，趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，現(xiàn)測得趙州橋的跨度a和圓拱高b，試用a，b表示出趙州橋圓弧所在圓的半徑. 參考答案：如圖所示，作出示意圖，其中AB表示跨度，O為AB中點，OC為拱高，D為圓心. 方法一：由垂徑定理可知，故， 即，解得 方法二：如圖所示，以O(shè)為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系. 根據(jù)已知條件有，C (0，b)，且B、C在圓上，圓心D在y軸的負半軸上， 因此可設(shè)圓心坐標為D (0，t)，半徑為r， 所以，解得
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，并構(gòu)建本課知識導(dǎo)圖. 1.說說如何用圓的標準方程判斷點與圓的位置關(guān)系？ 2.求圓的標準方程有哪些方法？簡述這些方法的基本步驟.
2圓的標準方程
學(xué)習(xí)目標 1.會用定義推導(dǎo)圓的標準方程并能用該方程判斷點與圓的位置關(guān)系； 2.能根據(jù)所給條件求出圓的標準方程，并解決一些簡單實際問題.
學(xué)習(xí)活動
目標一：根據(jù)圓的定義，推導(dǎo)圓的標準方程并能用該方程判斷點與圓的位置關(guān)系. 任務(wù)1：根據(jù)圓的定義，推導(dǎo)圓的標準方程. 情境：小時候?qū)W習(xí)過李白的詩詞“小時不識月，呼作白玉盤…” 思考：觀察上圖中月亮的圖片，從數(shù)學(xué)角度說說能看成什么平面圖形？該如何定義這種平面圖形. 舊知回顧： 圓的概念：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合，其中定點是圓心，定長是半徑； 確定一個圓的幾何要素：圓心、半徑. 問題：設(shè)平面直角坐標系中的⊙C的圓心坐標為C (a，b)，而且半徑為r (r > 0). （1）若C (1，2)，r = 2，判斷點A (3，2)是否在圓C上； （2）若C (1，2)，r = 2，設(shè)M (x，y)是平面直角坐標系中任意一點，那么點M在⊙C上的充要條件是什么？ （3）設(shè)M(x，y)是平面直角坐標系中任意一點，那么點M在⊙C上的充要條件是什么？ 新知講解： 圓的標準方程：(x a) 2 + (y b) 2 = r 2，圓心C (a，b)，半徑r. 注意： （1）若點M (x，y)在C上，點M 的坐標就滿足方程； （2）若點M坐標(x，y)滿足方程，可得|CM| = r，則點M在C上. 思考：圓心在坐標系的原點，半徑為r的圓的標準方程是什么？ 練一練：已知C的標準方程為(x 3) 2 + (y + 1) 2 = 2，試寫出C的圓心坐標及半徑. 任務(wù)2：運用圓的標準方程判斷點與圓的位置關(guān)系. 問題1：點A (1，1)，B (4，0)，C (，) 同圓 x2 + y2 = 4的關(guān)系如圖所示，則|OA|，|OB|，|OC|同圓的半徑r = 2是什么關(guān)系？ 問題2：結(jié)合上述實例，設(shè)N(x0，y0)是平面直角坐標系中一點，如何判斷點N與⊙C的位置關(guān)系 練一練：點P (1，3)與圓x2 + y2 = 24的位置關(guān)系是 (　 ) A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不確定
目標二：能根據(jù)條件求出圓的標準方程，并能利用圓的標準方程解決一些簡單實際問題. 任務(wù)1：根據(jù)條件求出圓的標準方程. 問題1：根據(jù)下列條件，求出圓的標準方程： （1）圓心在C (–2，1)，且過點A (2，–2)； （2）過(0，1)和點(2，1)，半徑為. 問題2：如圖所示，設(shè)C的圓心C在直線l：2x – 7y + 8 = 0上，且A(6，0)，B(1，5)都是C上的點，求圓的標準方程. 歸納小結(jié)： 求圓的標準方程的一般方法： （1）待定系數(shù)法：求圓的標準方程的一般步驟： （2）幾何法：利用平面幾何知識，先求出圓心和半徑，然后再寫出圓的標準方程； （3）待定系數(shù)法和幾何法：兩種方法交叉使用，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 練一練：求過點A(1，-1)、B(-1，1)，且圓心在直線x + y – 2 = 0上的圓的標準方程. 任務(wù)2：利用圓的標準方程解決一些簡單實際問題. 問題：趙州橋位于我國河北省，是我國現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋. 如圖所示，趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，現(xiàn)測得趙州橋的跨度a和圓拱高b，試用a，b表示出趙州橋圓弧所在圓的半徑.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列問題，并構(gòu)建本課知識導(dǎo)圖. 1.說說如何用圓的標準方程判斷點與圓的位置關(guān)系？ 2.求圓的標準方程有哪些方法？簡述這些方法的基本步驟.
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