資源簡介

復習課 空間向量與立體幾何
學習目標 1.查閱教材，建構單元知識體系； 2.掌握空間向量的相關運算； 3.能借助空間向量求解立體幾何問題； 4.能利用有關定義、判定定理、性質定理求解立體幾何問題； 5.通過比較兩類解法，總結兩類立體幾何解法的優缺點.
學習活動
目標一：建構本單元知識體系. 任務：查閱教材，回答下列問題，并建構單元知識體系 1.什么是向量的線性運算？向量的數量積有哪些性質？ 2.闡述空間向量的基本定理，并解釋基底、基向量的概念； 3.當空間中兩向量平行或垂直時，它們的坐標間有什么關系？ 4.簡述三垂線定理及其逆定理的含義； 5.線面角、二面角及二面角的平面角分別是什么？ 6.點線距、點面距、線面距及面面距分別是什么？ 【知識生成】
目標二：掌握空間向量的相關運算. 任務：求解下列問題，并說說運用了哪些空間向量知識. 問題1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 參考答案： （1）； （2）∵， ∴； （3）； （4）. 【涉及知識點】 ① 空間向量的線性運算；② 空間向量的數量積；③ 空間向量的運算與坐標的關系. 問題2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且與共線，求x，y的值. 參考答案： 解：∵= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且∥， ∴當x ≠ 0時，有，解得，； 當x = 0時，顯然與不共線； ∴綜上所述，，. 【涉及知識點】 ① 空間向量的坐標與空間向量的平行的關系. 問題3：已知空間三點A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 參考答案：依題意= (-2，-1，3)，= (-1，3，-2)， 又， ∵<，>∈[0，π]，∴<，> =. 【涉及知識點】 ① 空間向量的運算與坐標的關系.
目標三：能運用不同方法求解立體幾何問題. 任務1：借助空間向量求解下列立體幾何問題 問題1：在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）證明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值. 參考答案： 解：（1）如圖，取AD的中點為O，連接QO，CO， ∵QA = QD，OA = OD，∴QO⊥AD， 而AD = 2，QA =，∴QO == 2； 在正方形ABCD中，∵AD = 2，∴DO = 1，∴OC =， ∵QC = 3，∴QC2 = QO2 + OC2，∴△QOC為直角三角形且QO⊥OC， ∵OC∩AD = O，OC 平面ABCD，AD 平面ABCD， ∴QO⊥平面ABCD， ∵QO 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD. （2）連接BD，在平面ABCD內，過點O作OT∥CD，交BC于點T，則OT⊥AD， 結合（1）中的QO⊥平面ABCD，故可建立如圖所示的空間直角坐標系， 則D (0，1，0)，Q (0，0，2)，B (2，-1，0)，故= (-2，1，2)，= (-2，2，0)， 設平面BQD的一個法向量為= (x，y，z)， 則， 取x = 1，則y = 1，z =，故= (1，1，)； 而平面ADQ的一個法向量為= (1，0，0)， ∴cos <，> =， 故平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值為. 【歸納總結】 求兩平面夾角問題的思路： 一是利用夾角的定義，在圖形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立適當的空間直角坐標系，利用向量法，根據向量的運算求解. 注意：線線角、線面角、面面角與對應向量滿足的關系. 問題2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q為棱PD的中點，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求證：PA⊥平面ABCD； （2）求直線PB到平面ACQ的距離. 參考答案： 解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD = AD，PA⊥AD，又PA 平面PAD，∴PA⊥平面ABCD. （2）∵底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，∴AB，AD，AP兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標系Axyz. ∵PA = AB = 2，∴A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，Q (0，1，1)，= (2，2，0)，= (0，1，1). ∵PA⊥平面ABCD，∴= (0，0，2)為平面ABCD的一個法向量； 設平面ACQ的一個法向量為= (x，y，z)， 則，令x = 1，則y = -1，z = 1，故= (1，-1，1)， ∵= (2，0，-2)，∴，且PB 平面ACQ， ∴PB∥平面ACQ， ∴點P到平面ACQ的距離即為直線PB到平面ACQ的距離， ∵= (0，0，2)，∴點P到平面ACQ的距離為； 即直線PB到平面ACQ的距離為. 【歸納總結】 （1）求點到平面的距離，常常利用向量法，將其轉化為平面外一點與平面內一點構成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長度； （2）求直線到平面的距離，往往轉化為點到平面的距離求解，且這個點要適當選取，以易于求解為準則. 任務2：利用有關定義、判定定理、性質定理求解立體幾何問題. 問題：已知ABCD-A1B1C1D1是正方體，求平面AB1C的一個法向量. 參考答案：如圖，連接BD，BD1，則由圖可知： ∵D1D⊥底面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD內投影； ∵AC⊥BD，∴AC⊥BD1（三垂線定理）； 同理可證AB1⊥BD1. 又∵AC ∩ AB1 = A，∴BD1⊥平面AB1C， ∴BD1是平面AB1C的一個法向量. 【歸納總結】 首先據表述正確畫出圖形，再分析圖形中幾何基本元素的相互關系，然后根據已知定義、性質、定理進行推理，最后寫出所求問題的結論. 注意：也可建立坐標系后，用待定系數法求出平面的一個法向量.
目標四：通過比較兩類解法，總結兩類立體幾何解法的優缺點. 任務：回顧上述兩種求解立體幾何問題的解法，完成下列思考. 問題：結合必修中所學立體幾何內容，指出兩類立體幾何解法的一般步驟，并總結每一類解法的優缺點. 【歸納總結】 借助空間向量求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據題目條件合理地建立空間直角坐標系，并寫出幾何體中必要的點的坐標； （2）求出棱（線段）所在直線的一個方向向量、平面的一個法向量； （3）根據條件、問題進行相關的計算，利用向量關系判斷幾何體中的元素的關系； （4）寫出所求問題的結論. 利用有關定義、判定定理、性質定理等求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據題目表述正確畫出圖形或找到圖形中的幾何基本元素； （2）分析圖形中幾何基本元素的相互關系（或作出必要的輔助線）； （3）根據定義、性質、定理進行推理（或計算推理）； （4）寫出所求問題的結論. 兩類解法優缺點對比：
學習總結
任務：本單元我們收獲了什么？還存在哪些疑惑呢？
2復習課 空間向量與立體幾何
學習目標 1.查閱教材，建構單元知識體系； 2.掌握空間向量的相關運算； 3.能借助空間向量求解立體幾何問題； 4.能利用有關定義、判定定理、性質定理求解立體幾何問題； 5.通過比較兩類解法，總結兩類立體幾何解法的優缺點.
學習活動
目標一：建構本單元知識體系. 任務：查閱教材，回答下列問題，并建構單元知識體系 1.什么是向量的線性運算？向量的數量積有哪些性質？ 2.闡述空間向量的基本定理，并解釋基底、基向量的概念； 3.當空間中兩向量平行或垂直時，它們的坐標間有什么關系？ 4.簡述三垂線定理及其逆定理的含義； 5.線面角、二面角及二面角的平面角分別是什么？ 6.點線距、點面距、線面距及面面距分別是什么？ 【知識生成】
目標二：掌握空間向量的相關運算. 任務：求解下列問題，并說說運用了哪些空間向量知識. 問題1：已知= (-3，2，5)，= (1，-3，0)，= (7，-2，1)，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【涉及知識點】 ① 空間向量的線性運算；② 空間向量的數量積；③ 空間向量的運算與坐標的關系. 問題2：已知= (2x，1，3)，= (1，-2y，9)，且與共線，求x，y的值. 【涉及知識點】 ① 空間向量的坐標與空間向量的平行的關系. 問題3：已知空間三點A = (1，1，1)，B = (-1，0，4)，C = (2，-2，3)，求<，>. 【涉及知識點】 ① 空間向量的運算與坐標的關系.
目標三：能運用不同方法求解立體幾何問題. 任務1：借助空間向量求解下列立體幾何問題 問題1：在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD = 2，QD = QA =，QC = 3. （1）證明：平面QAD⊥平面ABCD. （2）求平面BQD與平面ADQ夾角的余弦值. 【歸納總結】 求兩平面夾角問題的思路： 一是利用夾角的定義，在圖形中找出所求的角，解三角形求出所求角. 二是建立適當的空間直角坐標系，利用向量法，根據向量的運算求解. 注意：線線角、線面角、面面角與對應向量滿足的關系. 問題2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，Q為棱PD的中點，PA⊥AD，PA = AB = 2. （1）求證：PA⊥平面ABCD； （2）求直線PB到平面ACQ的距離. 【歸納總結】 （1）求點到平面的距離，常常利用向量法，將其轉化為平面外一點與平面內一點構成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長度； （2）求直線到平面的距離，往往轉化為點到平面的距離求解，且這個點要適當選取，以易于求解為準則. 任務2：利用有關定義、判定定理、性質定理求解立體幾何問題. 問題：已知ABCD-A1B1C1D1是正方體，求平面AB1C的一個法向量. 【歸納總結】 首先據表述正確畫出圖形，再分析圖形中幾何基本元素的相互關系，然后根據已知定義、性質、定理進行推理，最后寫出所求問題的結論. 注意：也可建立坐標系后，用待定系數法求出平面的一個法向量.
目標四：通過比較兩類解法，總結兩類立體幾何解法的優缺點. 任務：回顧上述兩種求解立體幾何問題的解法，完成下列思考. 問題：結合必修中所學立體幾何內容，指出兩類立體幾何解法的一般步驟，并總結每一類解法的優缺點. 【歸納總結】 借助空間向量求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據題目條件合理地建立空間直角坐標系，并寫出幾何體中必要的點的坐標； （2）求出棱（線段）所在直線的一個方向向量、平面的一個法向量； （3）根據條件、問題進行相關的計算，利用向量關系判斷幾何體中的元素的關系； （4）寫出所求問題的結論. 利用有關定義、判定定理、性質定理等求解立體幾何問題的一般步驟： （1）根據題目表述正確畫出圖形或找到圖形中的幾何基本元素； （2）分析圖形中幾何基本元素的相互關系（或作出必要的輔助線）； （3）根據定義、性質、定理進行推理（或計算推理）； （4）寫出所求問題的結論. 兩類解法優缺點對比：
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