資源簡介

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7.5正態分布
1.概率密度曲線：樣本數據的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，
直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數據看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線．
曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數之間的概率就是對應的曲邊梯形的面積．
2．正態分布
（1）定義：如果隨機現象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現象的隨機變量的概率分布近似服從正態分布．
服從正態分布的隨機變量叫做正態隨機變量，簡稱正態變量．
正態變量概率密度曲線的函數表達式為，，其中，是參數，且，．
式中的參數和分別為正態變量的數學期望和標準差．期望為、標準差為的正態分布通常記作．
正態變量的概率密度函數的圖象叫做正態曲線．
（2）標準正態分布：我們把數學期望為，標準差為的正態分布叫做標準正態分布．
（3）重要結論：
①正態變量在區間，，內，取值的概率分別是，，．
②正態變量在內的取值的概率為，在區間之外的取值的概率是，故正態變量的取值幾乎都在距三倍標準差之內，這就是正態分布的原則．
（4）若，為其概率密度函數，則稱為概率分布函數，特別的，，稱為標準正態分布函數．
．標準正態分布的值可以通過標準正態分布表查得．分布函數新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可．
【題干】下列函數是正態分布密度函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【題干】若正態分布密度函數，下列判斷正確的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但沒最小值
C．有最大值，但沒最大值 D．無最大值和最小值
【題干】對于標準正態分布的概率密度函數，下列說法不正確的是（ ）
A．為偶函數
B．最大值為
C．在時是單調減函數，在時是單調增函數
D．關于對稱
【題干】設的概率密度函數為，則下列結論錯誤的是（ ）
A． 　　　　　　　　　B．
C．的漸近線是　　　　　　　 D．
【題干】設，且總體密度曲線的函數表達式為：，．
（1）求；（2）求及的值．
【題干】某市組織一次高三調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數為，則下列命題中不正確的是（ ）
A．該市這次考試的數學平均成績為分
B．分數在120分以上的人數與分數在分以下的人數相同
C．分數在110分以上的人數與分數在分以下的人數相同
D．該市這次考試的數學標準差為
【題干】設隨機變量服從正態分布，，則下列結論正確的個數是________．
（1）
（2）
（3）
（4）
【題干】已知隨機變量服從正態分布，則（ ）
A． B． C． D．
【題干】在某項測量中，測量結果服從正態分布，若在內取值的概率為，則在內取值的概率為_________．
【題干】已知隨機變量服從正態分布，，則（ ）
A． B． C． D．
【題干】已知，若，則（ ）
A． B． C． D．無法計算
【題干】設隨機變量服從正態分布，若，
則．
【題干】設，且，則的值是（用表示）．
【題干】正態變量，為常數，，若，求的值．
【題干】某種零件的尺寸服從正態分布，則不屬于區間這個尺寸范圍的零件約占總數的_________．
【題干】某校高中二年級期末考試的物理成績服從正態分布．
（1）若參加考試的學生有人，學生甲得分為分，求學生甲的物理成績排名；
（2）若及格（分及其以上）的學生有人，求第名的物理成績．
已知標準正態分布表．
【題干】在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布．已知成績在分以上（含分）的學生有名．
（1）試問此次參賽學生總數約為多少人？
（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
附：標準正態分布表．
【題干】如果隨機變量，求的值．
【題干】燈泡廠生產的白熾燈壽命（單位：），已知，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應控制在小時以上．
【題干】一批電池（一節）用于手電筒的壽命服從均值為小時、標準差為小時的正態分布，隨機從這批電池中任意取一節，問這節電池可持續使用不少于小時的概率是多少？
【題干】某班有名同學，一次考試后的數學成績服從正態分布，平均分為，標準差為，理論上說在分到分的人數是．
【題干】已知連續型隨機變量的概率密度函數，
（1）求常數的值；（2）求．
【題干】已知連續型隨機變量的概率密度函數，求的值及．
【題干】設隨機變量具有概率密度，求的值及．
【題干】美軍轟炸機向巴格達某鐵路控制樞紐投彈，炸彈落彈點與鐵路控制樞紐的距離的密度函數為，若炸彈落在目標40米以內時，將導致該鐵路樞紐破壞，已知投彈顆，求巴格達鐵路控制樞紐被破壞的概率．
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7.5正態分布
1.概率密度曲線：樣本數據的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，
直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數據看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線．
曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數之間的概率就是對應的曲邊梯形的面積．
2．正態分布
（1）定義：如果隨機現象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現象的隨機變量的概率分布近似服從正態分布．
服從正態分布的隨機變量叫做正態隨機變量，簡稱正態變量．
正態變量概率密度曲線的函數表達式為，，其中，是參數，且，．
式中的參數和分別為正態變量的數學期望和標準差．期望為、標準差為的正態分布通常記作．
正態變量的概率密度函數的圖象叫做正態曲線．
（2）標準正態分布：我們把數學期望為，標準差為的正態分布叫做標準正態分布．
（3）重要結論：
①正態變量在區間，，內，取值的概率分別是，，．
②正態變量在內的取值的概率為，在區間之外的取值的概率是，故正態變量的取值幾乎都在距三倍標準差之內，這就是正態分布的原則．
（4）若，為其概率密度函數，則稱為概率分布函數，特別的，，稱為標準正態分布函數．
．標準正態分布的值可以通過標準正態分布表查得．分布函數新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可．
【題干】下列函數是正態分布密度函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B；
【題干】若正態分布密度函數，下列判斷正確的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但沒最小值
C．有最大值，但沒最大值 D．無最大值和最小值
【答案】B；
【題干】對于標準正態分布的概率密度函數，下列說法不正確的是（ ）
A．為偶函數
B．最大值為
C．在時是單調減函數，在時是單調增函數
D．關于對稱
【答案】D；
【解析】關于對稱．
【題干】設的概率密度函數為，則下列結論錯誤的是（ ）
A． 　　　　　　　　　B．
C．的漸近線是　　　　　　　 D．
【答案】C；
【難度】*
【題干】設，且總體密度曲線的函數表達式為：，．
（1）求；（2）求及的值．
【答案】（1）．（2），．
【解析】（1），因此．
（2），由正態變量在區間內取值的概率是知：．
，由對稱性知，
所以
，于是．
【難度】***
【題干】某市組織一次高三調研考試，考試后統計的數學成績服從正態分布，其密度函數為，則下列命題中不正確的是（ ）
A．該市這次考試的數學平均成績為分
B．分數在120分以上的人數與分數在分以下的人數相同
C．分數在110分以上的人數與分數在分以下的人數相同
D．該市這次考試的數學標準差為
【答案】B；
【解析】不難知道，由正態分布曲線的特點知答案為B．
【難度】**
【題干】設隨機變量服從正態分布，，則下列結論正確的個數是________．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】；
【解析】（1）（2）（4）正確．
【難度】***
【題干】已知隨機變量服從正態分布，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D；
【解析】由正態分布的性質知：．
【難度】*
【題干】在某項測量中，測量結果服從正態分布，若在內取值的概率為，則在內取值的概率為_________．
【答案】；
【解析】正態分布的圖象的對稱軸為，在內取值的概率為，又隨機變量落在指定的兩個數之間的概率就是對應的正態曲線在兩直線間的曲邊梯形的面積，可知，隨機變量在內取值的概率于在內取值的概率相同，也為，這樣隨機變量在內取值的概率為．
【難度】***
【題干】已知隨機變量服從正態分布，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A；
【解析】隨機變量落在指定的兩個數之間的概率就是對應的正態曲線在兩直線間的曲邊梯形的面積，而，由，，故選A．
【難度】***
【題干】已知，若，則（ ）
A． B． C． D．無法計算
【答案】B；
【解析】因為，所以，故正態曲線關于對稱，于是，所以．
【難度】***
【題干】設隨機變量服從正態分布，若，
則．
【答案】；
【解析】，解得．
【題干】設，且，則的值是（用表示）．
【答案】；
【難度】***
【題干】正態變量，為常數，，若，求的值．
【答案】；
【解析】因為和的區間長度相等，要使成立，只能是和關于對稱．因此，即．于是．
【難度】***
【題干】某種零件的尺寸服從正態分布，則不屬于區間這個尺寸范圍的零件約占總數的_________．
【答案】；
【解析】，，因此答案為．
【難度】***
【題干】某校高中二年級期末考試的物理成績服從正態分布．
（1）若參加考試的學生有人，學生甲得分為分，求學生甲的物理成績排名；
（2）若及格（分及其以上）的學生有人，求第名的物理成績．
已知標準正態分布表．
【答案】（1）學生甲的物理成績排名約為．（2）第名學生的物理成績約為分．
【解析】（1）設排在學生甲前面的學生的物理成績為分，
則．
而，因此學生甲的物理成績排名約為．
（2）設60分及以上的人的物理成績為分，則
即及格的考生（人）占全體考生的，因此考生總數約為人．故前名考生在全體考生中所占比率大約為．設第名考生的成績為分，則有：，即．表有，即．解出．所以第名學生的物理成績約為分．
【難度】***
【題干】在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布．已知成績在分以上（含分）的學生有名．
（1）試問此次參賽學生總數約為多少人？
（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
附：標準正態分布表．
【答案】（1）設參賽總人數約為人．（2）獎得分數線約為分．
【解析】（1）設參賽學生的分數為，因為，所以
．這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的，因此參賽總人數約為（人）．
（2）假定設獎的分數線為分，則，
即，查表得，解得．故設獎得分數線約為分．
【難度】***
【題干】如果隨機變量，求的值．
【答案】
【解析】由已知有．由正態變量在內取值的概率為知．由對稱性知．
【難度】***
【題干】燈泡廠生產的白熾燈壽命（單位：），已知，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應控制在小時以上．
【答案】．
【解析】因為燈泡壽命，故在即
內取值的概率為，故燈泡的最低使用壽命應控制在小時以上．答案為．
【難度】**
【題干】一批電池（一節）用于手電筒的壽命服從均值為小時、標準差為小時的正態分布，隨機從這批電池中任意取一節，問這節電池可持續使用不少于小時的概率是多少？
【答案】
【解析】電池的使用壽命，
．即這節電池可持續使用不少于小時的概率是．
【難度】***
【題干】某班有名同學，一次考試后的數學成績服從正態分布，平均分為，標準差為，理論上說在分到分的人數是．
【答案】．
【解析】數學成績是，．．
分到分的人數約為．
【難度】***
【題干】已知連續型隨機變量的概率密度函數，
（1）求常數的值；（2）求．
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）因為所在區間上的概率總和為1，即與軸所圍圖形面積為1．
所以，解得．
（2）即求在區間內，曲線與軸所圍圖形的面積．
【難度】***
【題干】已知連續型隨機變量的概率密度函數，求的值及．
【答案】，．
【解析】由與軸所圍圖形面積為1知：，即，解得．．
【難度】***
【題干】設隨機變量具有概率密度，求的值及．
【答案】，
【解析】由，即，解得．于是．注：此題模型為常見的連續隨機分布：指數分布．其概率密度的一般形式為．其數學期望為，方差為．
【難度】***
【題干】美軍轟炸機向巴格達某鐵路控制樞紐投彈，炸彈落彈點與鐵路控制樞紐的距離的密度函數為，若炸彈落在目標40米以內時，將導致該鐵路樞紐破壞，已知投彈顆，求巴格達鐵路控制樞紐被破壞的概率．
【答案】
【解析】每投一顆炸彈，可看作一次試驗，每次試驗僅有兩種結果，要么鐵路控制樞紐
被破壞，要么沒有被破壞．設鐵路控制樞紐被破壞的概率為，則：
．設表示“著彈點落在米之內”的炸彈的數目，則．所求概率為．
【難度】***
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