資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
6.1.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
一、 加法原理
分類時(shí)，首先要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理．
二、 乘法原理
此類問(wèn)題，首先將完成這件事的過(guò)程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡(jiǎn)單說(shuō)使用分步計(jì)數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨(dú)立，逐步完成”．
【題干】某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)本，同樣的集郵冊(cè)本，從中取出本贈(zèng)送給位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】B.
【解析】贈(zèng)送一本畫(huà)冊(cè)，本集郵冊(cè)，共種方法；贈(zèng)送本畫(huà)冊(cè)，本集郵冊(cè)共種方法，由分類計(jì)數(shù)原理知不同的贈(zèng)送方法共（種）.
【難度】*
【題干】 如圖，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)．
【答案】.
【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有（個(gè)）.第二類，有兩條公共邊的三角形共有（個(gè)）．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有（個(gè)）．
【難度】*
【題干】高二年級(jí)一班有女生人，男生人，從中選取名男生和名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問(wèn)選取代表的方法有幾種．
【答案】.
【解析】男生為人，女生為人，根據(jù)本題題意要完成一件事情需分個(gè)步驟：第步，從男生人中任選人，有種不同的選法；第步，從女生人中任選人，有種不同的選法；只有上述兩步都完成后，才能完成從男生和女生中各選名這件事，根據(jù)分部乘法技術(shù)原理知共有（種）選取代表的方法.
【題干】若、是正整數(shù)，且，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個(gè)？
【答案】.
【解析】按的取值進(jìn)行分類，當(dāng)時(shí)，的可取值有個(gè)，對(duì)應(yīng)著個(gè)不同的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的可取值有個(gè)，對(duì)應(yīng)著個(gè)不同的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的可取值有個(gè)，對(duì)應(yīng)著個(gè)不同的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的可取值有個(gè)，對(duì)應(yīng)著個(gè)不同的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的可取值有個(gè)，對(duì)應(yīng)著個(gè)點(diǎn).由分類計(jì)數(shù)原理，共有個(gè)不同的點(diǎn).
【難度】*
【題干】用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由題意知本題要分類來(lái)解，當(dāng)尾數(shù)為、、、時(shí)，個(gè)位有種選法，因百位不能為，所以百位有種，十位有種，共有；當(dāng)尾數(shù)為時(shí)，百位有種選法，十位有種結(jié)果，共有.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有
【難度】**
【題干】用數(shù)字，，，，組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由題意知本題需要分步計(jì)數(shù)，和排在末位時(shí)，共有種排法，其余三位數(shù)從余下的四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)有種排法，根據(jù)由分步計(jì)數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）.
【難度】**
【題干】用，，，，， 這個(gè)數(shù)字，可以組成________個(gè)大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)．
【答案】.
【解析】千位數(shù)字是的：個(gè)，千位數(shù)字是的：個(gè)，千位為且百位為的：個(gè)，同理，千位為且百位為的、千位為且百位為的、千位為且百位為的均為個(gè)，千位為、百位為且十位為的有個(gè)，千位為、百位為且十位為的有個(gè)，最后還有一個(gè)，綜上，滿足條件的數(shù)一共個(gè).
【難度】***
【題干】某班學(xué)生參加植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，苗圃中有甲、乙、丙種不同的樹(shù)苗，從中取出棵分別種植在排成一排的個(gè)樹(shù)坑內(nèi)，同種樹(shù)苗不能相鄰，且第一個(gè)樹(shù)坑和第個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗的種法共（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】D.
【解析】因?yàn)橥N樹(shù)苗不相鄰且第一個(gè)樹(shù)坑和第五個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗，所以只有中間三個(gè)坑需要選擇樹(shù)苗，當(dāng)中間一個(gè)種甲時(shí)，第二和第四個(gè)坑都有種選法，共有種結(jié)果；當(dāng)中間一個(gè)不種甲時(shí)，則中間一個(gè)種乙或丙；當(dāng)中間這個(gè)種乙時(shí)，第二和第四個(gè)位置樹(shù)苗確定；當(dāng)中間一個(gè)種丙時(shí)，第二和第四個(gè)位置樹(shù)苗確定，共有種結(jié)果，所以綜上可知共有種結(jié)果.
【難度】***
【題干】(北京)用數(shù)字，組成四位數(shù)，且數(shù)字，至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．
【答案】.
【解析】法一：用，組成四位數(shù)共有（個(gè)），其中不出現(xiàn)或不出現(xiàn)的共個(gè)，因此滿足條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．
法二：滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個(gè)，三個(gè)，共有個(gè)；第二類含有三個(gè)，一個(gè)共有個(gè)；第三類含有二個(gè)，二個(gè)共有（個(gè)），因此滿足條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．
【題干】 由數(shù)字，，，，
（1）可組成多少個(gè)位數(shù)；
（2）可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)；
（3）可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字．
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）百位數(shù)共有種排法；十位數(shù)共有種排法；個(gè)位數(shù)共有種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共可組成個(gè)位數(shù)．
（2）百位上共有種排法；十位上共有種排法；個(gè)位上共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共可排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的位數(shù) （個(gè)）．
（3）排出的三位數(shù)分別是、、、 ，共個(gè)．
【難度】**
【題干】公園有個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，一個(gè)門(mén)出，共有________種不同的走法．
【答案】.
【解析】由分步計(jì)數(shù)原理得共有不同的走法有種.
【難度】*
【題干】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有________種．
【答案】.
【解析】分兩步計(jì)算：第一步，先安排甲學(xué)校參觀，因?yàn)榧讓W(xué)校連續(xù)參觀兩天，從天中找連續(xù)的兩天，可以是周一周二，可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日，有種方法.第二步，安排另兩所學(xué)校，因?yàn)榱韮伤鶎W(xué)校各參觀一天，從剩下的天中任選天，有種方法.最后，兩步方法數(shù)相乘，共有種方法.
【難度】*
【題干】（湖北文6）現(xiàn)有名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】因?yàn)槊课煌瑢W(xué)均有種講座可選擇，所以位同學(xué)共有種.
【難度】**
【題干】用，，，，，組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是________（用數(shù)字作答）．
【答案】.
【解析】由題意知本題需要分類來(lái)解，若個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，當(dāng)在個(gè)位時(shí)，則在十位，共有（個(gè)），當(dāng)不在個(gè)位時(shí)，共有（個(gè)），所以若個(gè)位是偶數(shù)，有個(gè)六位數(shù)，同理若個(gè)位數(shù)是奇數(shù)，有個(gè)滿足條件的六位數(shù)，所以這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是.
【難度】*
【題干】用，，，，，這個(gè)數(shù)字：
（1）可以組成________個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)．
（2）可以組成________個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)．
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）先排最高位，方法有種，其它位任意排，方法有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)位數(shù)的個(gè)數(shù)為.
（2）根據(jù)題意：用數(shù)字，，，，，可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）第一位數(shù)不為，有五種取法數(shù)字可以重復(fù)第二三位有六種取法解答即可..
【難度】*
【題干】從，，，這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)（用數(shù)字作答）．
【答案】；
【解析】一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著、、（）的一組取值，的取法有種，的取法有種，的取法有種，由分步計(jì)數(shù)原理知共有二次函數(shù)個(gè).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則.同上共有個(gè).
【難度】**
【題干】已知集合，表示平面上的點(diǎn)，問(wèn)：
（1）可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？
（2）可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？
（3）可表示多少個(gè)不在直線上的點(diǎn)？
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）確定平面上的點(diǎn)可分兩步完成：第一步確定的值，共有種確定方法；第二步確定的值，也有種確定方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)數(shù)是.
（2）確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定，由于，所以有種確定方法；第二步確定，由于，所以有種確定方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.
（3）點(diǎn)在直線上的充要條件是，因此和必須在集合中取同一元素，共有種取法，即在直線上的點(diǎn)有個(gè),由（1）得不在直線上的點(diǎn)共有（個(gè)）.
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6.1.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理
一、 加法原理
分類時(shí)，首先要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類；其次分類時(shí)要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理．
二、 乘法原理
此類問(wèn)題，首先將完成這件事的過(guò)程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡(jiǎn)單說(shuō)使用分步計(jì)數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨(dú)立，逐步完成”．
【題干】某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)本，同樣的集郵冊(cè)本，從中取出本贈(zèng)送給位朋友，每位朋友一本，則不同的贈(zèng)送方法共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】 如圖，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)．
【題干】高二年級(jí)一班有女生人，男生人，從中選取名男生和名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問(wèn)選取代表的方法有幾種．
【題干】若、是正整數(shù)，且，則以為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個(gè)？
【題干】用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【題干】用數(shù)字，，，，組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【題干】用，，，，， 這個(gè)數(shù)字，可以組成________個(gè)大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)．
【題干】某班學(xué)生參加植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，苗圃中有甲、乙、丙種不同的樹(shù)苗，從中取出棵分別種植在排成一排的個(gè)樹(shù)坑內(nèi)，同種樹(shù)苗不能相鄰，且第一個(gè)樹(shù)坑和第個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗的種法共（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】(北京)用數(shù)字，組成四位數(shù)，且數(shù)字，至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．
【題干】 由數(shù)字，，，，
（1）可組成多少個(gè)位數(shù)；
（2）可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)；
（3）可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字．
【題干】公園有個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，一個(gè)門(mén)出，共有________種不同的走法．
【題干】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有________種．
【題干】（湖北文6）現(xiàn)有名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【題干】用，，，，，組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且和相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是________（用數(shù)字作答）．
【題干】用，，，，，這個(gè)數(shù)字：
（1）可以組成________個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)．
（2）可以組成________個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)．
【題干】從，，，這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，則可組成________個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個(gè)（用數(shù)字作答）．
【題干】已知集合，表示平面上的點(diǎn)，問(wèn)：
（1）可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？
（2）可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？
（3）可表示多少個(gè)不在直線上的點(diǎn)？
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