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中小學教育資源及組卷應用平臺
6.1.2 基本計數原理的綜合
【題干】將標號為，，，，，的張卡片放入個不同的信封中．若每個信封放張，其中標號為，的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】由正方體的個頂點可確定多少個不同的平面？
【題干】某臺小型晚會由個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位、節目乙不能排在第一位，節目丙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】如圖，花壇內有五個花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，求最多的栽種方案．
【題干】（高考）如圖，一環形花壇分成，，，四塊，現有種不同的花供選種，要求在每塊里種種花，且相鄰的塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ）
A. B. C. D.
【題干】（高考）如圖，一個地區分為個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種．（以數字作答）
【題干】用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ）
A. B. C. D.
【題干】同室人各寫張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數碼，某人采用千位、百位上的數字之積作為十位和個位上的數字（如）的方法設計密碼，當積為一位數時，十位上數字選，并且千位、百位上都能?。@樣設計出來的密碼共有（ ）
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
【題干】某班新年聯歡會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了個新節目，如果將這個節目插入原節目單中，那么不同的插法種數為（ ）
A. B. C. D.
【題干】已知集合，若，則
（1）可以表示多少個不同的二次函數．
（2）可以表示多少個圖象開口向上的二次函數．
【題干】用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為，，...，的個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“、、”號數字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種．
A. B. C. D.
【題干】如圖，用種不同的顏色給圖中、、、四個區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？
【題干】如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有種顏色可供使用，求不同的染色方法種數．
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6.1.2 基本計數原理的綜合
【題干】將標號為，，，，，的張卡片放入個不同的信封中．若每個信封放張，其中標號為，的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】B.
【解析】由題意知本題是一個分步計數問題，先從個信封中選一個放，有種不同的選法，再從剩下的個數中選兩個放一個信封中有，余下放入最后一個信封，所以共有.
【難度】*
【題干】由正方體的個頂點可確定多少個不同的平面？
【答案】.
【解析】一、正方體的個面.二、對棱所在的平面有個.三、不共棱的三點所在的平面有個（對于每一組不共棱的三點如，，都有一個頂點與該三點構成一個正三棱錐，同樣，對于每個頂點都有不共棱的三點與其對應，而正方體有個頂點，故有個平面. 所以共有：
【難度】**
【題干】某臺小型晚會由個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在前兩位、節目乙不能排在第一位，節目丙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】B.
【解析】由題意知甲的位置影響乙的排列，所以要分兩類：一類為甲排在第一位共有種，另一類甲排在第二位共有種，所以故編排方案共有種.
【難度】**
【題干】如圖，花壇內有五個花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，求最多的栽種方案．
【答案】.
【解析】由題意知，最少用三種顏色的花卉，按照花卉選種的顏色可分為三類方案，即用三種顏色，四種顏色，五種顏色.①當用三種顏色時，花池、同色和花池、同色，此時共有種方案.②當用四種顏色時，花池、同色或花池、同色，故共有種方案.③當用五種顏色時有種方案.因此所有栽種方案為種.
【難度】***
【題干】（高考）如圖，一環形花壇分成，，，四塊，現有種不同的花供選種，要求在每塊里種種花，且相鄰的塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；種四種花有種種法.共有.
【難度】***
【題干】（高考）如圖，一個地區分為個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種．（以數字作答）
【答案】.
【解析】由題意，選用種顏色時：涂色方法種.色全用時涂色方法：種.所以不同的著色方法共有種.
【難度】***
【題干】用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由題意知本題要分類來解，當尾數為、、、時，個位有種選法，因百位不能為，所以百位有種，十位有種，共有；當尾數為時，百位有種選法，十位有種結果，共有.根據分類計數原理知共有.
【難度】**
【題干】同室人各寫張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】B.
【解析】設四人分別為、、、，寫的卡片分別為、、、，由于每個人都要拿別人寫的，既不能拿自己寫的，故有三種拿法，不妨設拿了，則可以拿生下三張中的任一張，也有三種拿法，和只能有一種拿法，所以共有種分配方式.
【難度】**
【題干】某銀行儲蓄卡的密碼是一個位數碼，某人采用千位、百位上的數字之積作為十位和個位上的數字（如）的方法設計密碼，當積為一位數時，十位上數字選，并且千位、百位上都能取．這樣設計出來的密碼共有（ ）
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
【答案】C.
【解析】由于千位、百位確定下來后十位、個位就隨之確定，則只考慮千位、百位即可，千位、百位各有種選擇，所以有種.
【難度】***
【題干】某班新年聯歡會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了個新節目，如果將這個節目插入原節目單中，那么不同的插法種數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】因為由題意知將這個節目插入節目單中，原來的節目順序不變，所以三個新節目一個一個插入節目單中，原來的個節目形成個空，在這個位置上插入第一個節目，共有種結果，原來的個和剛插入的一個，形成個空，有種結果，同理最后一個節目有種結果，根據分步計數原理得到共有插法種數為
【難度】***
【題干】已知集合，若，則
（1）可以表示多少個不同的二次函數．
（2）可以表示多少個圖象開口向上的二次函數．
【答案】（1）.（2）.
【解析】（1）的取值有種情況，的取值有種情況，的取值有種情況，因此可以表示個不同的二次函數.
（2）的開口向上時，的取值有種情況，、的取值均有種情況，因此可以表示個圖像開口向上的二次函數.
【難度】***
【題干】用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為，，...，的個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“、、”號數字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種．
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】首先看圖形中的，，，有種可能，當，，為其中一種顏色時，，共有種可能，其中種，是涂相同顏色，各有種可能共種可能.，及，與，及，一樣有種可能并且與，，顏色無關.當，，換其他的顏色時也是相同的情況，符合條件的所有涂法共有種
【難度】***
【題干】如圖，用種不同的顏色給圖中、、、四個區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？
【答案】.
【解析】法一：如題圖分四個步驟來完成涂色這件事：涂有種涂法；涂有種方法；涂有種方法；涂有種方法(還可以使用涂的顏色)．根據分步計數原理共有種涂色方法．
法二：由于、、兩兩相鄰，因此三個區域的顏色互不相同，共有種涂法；又與、相鄰、因此有種涂法；由分步計數原理知共有種涂法．
【難度】***
【題干】如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有種顏色可供使用，求不同的染色方法種數．
【答案】見解析
【解析】法一：可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法原理即可得出結論．由題設，四棱錐的頂點、、所染的顏色互不相同，它們共有種染色方法．
當、、染好時，不妨設其顏色分別為、、，若染 ，則可染或或，有種染法；若染，則可染或，有種染法，若染，則可染或，有種染法．可見，當、、已染好時、還有種染法，故不同的染色方法有（種）．
法二：以、、、、順序分步染色
第一步，點染色，有種方法；
第二步，點染色，與在同一條棱上，有種方法；
第三步，點染色，與、分別在同一條棱上，有種方法；
第四步，點染色，也有種方法，但考慮到點與、、相鄰，需要針對與是否同色進行分類，當與同色時，點有種染色方法；當與不同色時，因為與、也不同色，所以點有種染色方法，點也有種染色方法．由分步乘法、分類加法計數原理得不同的染色方法共有（種）．
法三：按所用顏色種數分類
第一類，種顏色全用，共有種不同的方法；
第二類，只用種顏色，則必有某兩個頂點同色(與，或與)，共有種不同的方法；
第三類，只用3種顏色，則與、或與必定同色，共有種不同的方法．
由分類加法計數原理，得不同的染色方法總數為（種）．　　
【難度】***
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