資源簡介

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6.2.1排列與組合
1）排列：一般地，從個不同的元素中任取（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）
排列數：從個不同的元素中取出（）個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示.
排列數公式：，，，并且.
全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列.
的階乘：正整數由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規定：.
2）組合：一般地，從個不同元素中，任意取出（）個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合.
組合數：從個不同元素中，任意取出（）個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數，用符號表示.
組合數公式：，，，并且.
組合數的兩個性質：性質1：；性質2：.（規定）
【題干】 解方程
(1； (2．
【題干】 化簡．
【題干】[多選題]下列等式正確的是(　　)
A． B．
C． D．
【題干】求證：；
【題干】設，求證：
．
6.2.2排列組合常用方法——擋板法（名額分配或者相同物品的分配問題）
擋板法（名額分配或者相同物品的分配問題）
個相同小球放入（）個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于個相同小球串成一串從間隙里選個結點剪成段（插入塊隔板），有種方法.
【題干】某校準備組建一個由人組成籃球隊，這個人由個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共________種.
【題干】有個不加區別的小球放入編號為，，的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少于編號數，問有多少種不同的方法？
【題干】某中學準備組建一個人的足球隊，這人由高一年級個班的學生組成，每個班至少一個，名額分配方案共有________種.
【題干】某校準備參加年高中數學聯賽，把個選手名額分配到高三年級的個教學班，每班至少一個名額，則不同的分配方案共有________種.
【題干】個三好學生名額分到個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？
【題干】個相同的球裝入個盒中，每盒至少有一個球有多少種裝法？
【題干】求方程有________組不同的正整數解，有________組不同的非負整數解.
【題干】將序號分別為，，，，的張參觀券全部分給人，每人至少張，如果分給同一人的張參觀券連號，那么不同的分法種數是________.
【題干】某市植物園要在天內接待所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀天，其余只參觀一天，則植物園天內不同的安排方法有 種．
【題干】某校準備組建一個由人組成籃球隊，這個人由個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種．
【題干】有多少項？
【題干】有個不加區別的小球放入編號為 的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少編號數，問有多少種不同的方法？
【題干】不定方程中不同的正整數解有 組，非負整數解有 組．
【題干】個人參加秋游帶瓶飲料，每人至少帶瓶，一共有多少種不同的帶法．
【題干】將個完全相同的小球任意放入個不同的盒子中，共有多少種不同的放法？
【題干】一個樓梯共個臺階步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法．
【題干】有個三好學生名額，分配到高三年級的個班里，要求每班至少個名額，共有多少種不同的分配方案．
【題干】某中學準備組建一個人的足球隊，這人由高一年級個班的學生組成，每個班至少一個，名額分配方案共有_______種．
【題干】個優秀指標名額分配到一、二、三個班，若名額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法？
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6.2.1排列與組合
1）排列：一般地，從個不同的元素中任取（）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）
排列數：從個不同的元素中取出（）個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示.
排列數公式：，，，并且.
全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列.
的階乘：正整數由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規定：.
2）組合：一般地，從個不同元素中，任意取出（）個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合.
組合數：從個不同元素中，任意取出（）個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數，用符號表示.
組合數公式：，，，并且.
組合數的兩個性質：性質1：；性質2：.（規定）
【題干】 解方程
(1； (2．
【解析】(1)根據題意，若，
則有或，解得或；
(2)根據題意，，則，有，且，
則有，化簡可得：，解得或，
又由，且，則，則方程的解為．
【題干】 化簡．
【解析】
(利用)
(多次利用了)
【點撥】 掌握組合數和排列數的關系，多熟悉組合數的性質.
【題干】[多選題]下列等式正確的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
，故成立．
，故成立．
，
，故 ，即不成立．
，故成立，
故選：．
【題干】求證：；
【證明】
【題干】設，求證：
．
【證明】對任意，
①當時，左邊，
右邊，等式成立．
②假設時命題成立，
即，
當時，
左邊
，
右邊
.
6.2.2排列組合常用方法——擋板法（名額分配或者相同物品的分配問題）
擋板法（名額分配或者相同物品的分配問題）
個相同小球放入（）個盒子里，要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于個相同小球串成一串從間隙里選個結點剪成段（插入塊隔板），有種方法.
【題干】某校準備組建一個由人組成籃球隊，這個人由個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共________種.
【答案】.
【解析】把個名額看作個相同的球，將它們一字排開，用塊“隔板”放入個間隔位置，并且每個間隔位置只放入塊“隔板”，則有種放法，即原問題的名額分配方案有種.
【難度】*
【題干】有個不加區別的小球放入編號為，，的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少于編號數，問有多少種不同的方法？
【答案】.
【解析】根據題意，先在編號為的盒子中依次放入個小球，編號為的盒子中依次放入個小球，還剩余個小球，只需將這個小球放入個小盒，每個小盒至少一個即可，個小球之間共個空位，從中選個，插入擋板即可，則有種不同的放法.
【難度】**
【題干】某中學準備組建一個人的足球隊，這人由高一年級個班的學生組成，每個班至少一個，名額分配方案共有________種.
【答案】.
【解析】構造一個如圖的隔板模型，取枚棋子排成一列，在相鄰的每兩枚棋子形成的個間隙中選取個插入隔板，將枚棋子分隔成個區間，第（）個區間的棋子數對應第個班級學生的名額，因此名額分配方案的種數與隔板插入方法數相等.因隔板插入方法數為，故名額分配方案有種.
【題干】某校準備參加年高中數學聯賽，把個選手名額分配到高三年級的個教學班，每班至少一個名額，則不同的分配方案共有________種.
【答案】.
【解析】問題等價于把個相同小球放入個盒子里，每個盒子至少有一個小球的放法種數問題.將個小球串成一串，截為段有種截斷法，對應放到個盒子里
因此，不同的分配方案共有種
【難度】**
【題干】個三好學生名額分到個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？
【答案】.
【解析】個人站成一排，每班至少要名，就有個空然后插入個板子把他們隔開，從九個里選個，就是.
【難度】**
【題干】個相同的球裝入個盒中，每盒至少有一個球有多少種裝法？
【答案】.
【解析】因為不能有空盒子，所以只能有個空位插板，需要隔個板，因此結果是.有種裝法.
【難度】**
【題干】求方程有________組不同的正整數解，有________組不同的非負整數解.
【答案】. .
【難度】***
【題干】將序號分別為，，，，的張參觀券全部分給人，每人至少張，如果分給同一人的張參觀券連號，那么不同的分法種數是________.
【答案】.
【解析】張參觀券全部分給人，分給同一人的張參觀券連號，方法數為：和，和，和，和，四種連號，其它號碼各位一組，分給人，共有種.
【難度】*
【題干】某市植物園要在天內接待所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數較多，要安排連續參觀天，其余只參觀一天，則植物園天內不同的安排方法有 種．
【答案】；
【解析】注意連續參觀天，即需把天種的連續兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是所學校選天進行排列．于是安排方法數為．
【難度】***
【題干】某校準備組建一個由人組成籃球隊，這個人由個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種．
【答案】；
【解析】此例的實質是個名額分配給個班，每班至少一個名額，可在個名額中的個空檔中插入塊檔板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有種．
【難度】**
【題干】有多少項？
【答案】；
【解析】當項中只有一個字母時，有種（即），而指數的次數為，故這樣的項有個；當項中有個字母時，有種，指數和為，即將個分配給個字母，用擋板法知為，于是一共這樣的項有；當項中有個字母時，同上討論知這樣的項有種．當項中有個字母時，同上討論知這樣的項有種． 于是的項數為．或者化為的不定方程非負整數解的問題，答案為．
【難度】***
【題干】有個不加區別的小球放入編號為 的三個盒子里，要求每個盒子內的球數不少編號數，問有多少種不同的方法？
【答案】；
【解析】為使每個盒子內的球數不少于編號數，先將個球分別放入編號為的盒子，這樣這個問題轉化為將個球放入三個不同盒子的問題．將個小球排成一排，在其間的個空隙中插入個擋板即可．于是所有的方法數為．
【難度】***
【題干】不定方程中不同的正整數解有 組，非負整數解有 組．
【答案】，；
【解析】相當于把個分給個未知數，采用擋板法，于是所有的方法數為；
非負整數解的問題，等價于 的非負整數解問題，等價于，的正整數解問題，一共有組．
【難度】***
【題干】個人參加秋游帶瓶飲料，每人至少帶瓶，一共有多少種不同的帶法．
【答案】；
【解析】把問題轉化為個相同的白球不相鄰地插入已經排好的個相同的黑球之間的9個空隙中的排列問題．種．
【難度】***
【題干】將個完全相同的小球任意放入個不同的盒子中，共有多少種不同的放法？
【答案】；
【解析】考慮將個球放入個盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子都減去一個球后與題目中的情形一一對應，故只需考慮將個球放入個盒子，每個盒子都不空即可．用加號法：將寫成個相加，共有個加號，從中任取個，剛可將這些數分成份，共種．
【難度】***
【題干】一個樓梯共個臺階步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法．
【答案】；
【解析】根據題意要想步登完只能個一步登一個臺階，個一步登兩個臺階，因此，把問題轉化為個相同的黑球與個相同的白球的排列問題，共有種不同的走法．
【難度】***
【題干】有個三好學生名額，分配到高三年級的個班里，要求每班至少個名額，共有多少種不同的分配方案．
【答案】；
【解析】將寫成個相加，其中有個加號，選出其中的個加號，于是可以被分成數之和，且每個數都不小于，故共有種分配方案．
【難度】***
【題干】某中學準備組建一個人的足球隊，這人由高一年級個班的學生組成，每個班至少一個，名額分配方案共有_______種．
【答案】
【解析】用隔板法，人排成一排，有個間隔，在個間隔里插入個隔板，故共
有種分配方案．
【難度】***
【題干】個優秀指標名額分配到一、二、三個班，若名額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法？
【答案】
【解析】先拿個指標分配給二班一個，三班兩個，然后，問題就轉化為個優秀名額分配給三個班級，每班至少一個．用隔板法，有種方法．
【難度】**
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