資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
二、均分問(wèn)題除序法
1）平均分堆問(wèn)題，整體中部分順序固定，對(duì)某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定順序元素個(gè)數(shù)的全排列.
2）在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到“分組”問(wèn)題，要特別注意是平均分組還是不平均分組.可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類比的方法去理解分組問(wèn)題，比如將個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法.
【題干】（1）個(gè)相同的小球，任意放入個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？
（2）計(jì)算的正整數(shù)解有多少組；
（3）計(jì)算的非負(fù)整數(shù)解有多少組．
【題干】有本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？
（1）分成本、本、本三組；
（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人本，一人本，一人本；
（3）分成每組都是本的三組；
（4）分給甲、乙、丙三人，每人本.
【題干】本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？
【題干】本書(shū)分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？
【題干】一天的課程表要排入語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語(yǔ)，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？
【題干】將位志愿者分成組，其中兩個(gè)組各人，另兩個(gè)組各人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有________種.（用數(shù)字作答）
【題干】用這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，
（1）若偶數(shù)次序一定，有多少個(gè)？
（2）若偶數(shù)次序一定，奇數(shù)的次序也一定的有多少個(gè)？
【題干】一天的課程表要排入語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語(yǔ)，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？
【題干】甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【題干】某考生打算從所重點(diǎn)大學(xué)中選所填在第一檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校定為第一志愿，再?gòu)乃话愦髮W(xué)中選所填在第二檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校必選，且在前，問(wèn)此考生共有________種不同的填表方法（用數(shù)字作答）．
三、相離問(wèn)題插空法（當(dāng)需排的元素不能相鄰時(shí)）
解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些無(wú)條件元素然后插入其余必須相離元素，使問(wèn)題得以解決，注意分步相乘法則.
【題干】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為_(kāi)_______.
【題干】一次演出，原計(jì)劃要排個(gè)節(jié)目，因臨時(shí)有變化，擬再添加個(gè)小品節(jié)目，若保持原有個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則這個(gè)節(jié)目不同的排列方法有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】某會(huì)議室第一排共有個(gè)座位，現(xiàn)有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【題干】為配制某種染色劑，需要加入三種有機(jī)染料、兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰．現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀偣惨M(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為_(kāi)_______.（用數(shù)字作答）
【題干】七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【題干】一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有個(gè)舞蹈，個(gè)相聲，個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？
【題干】人排一個(gè)天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一個(gè)人，值日表排法的總數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【題干】從個(gè)自然數(shù)中任取個(gè)互不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法．
【題干】某會(huì)議室第一排共有個(gè)座位，現(xiàn)有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【題干】三個(gè)人坐在一排個(gè)座位上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為_(kāi)_________．
【題干】要排一張有個(gè)歌唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，排法種數(shù)有_________種．
【題干】馬路上有編號(hào)為 ……， 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有_________種． （用數(shù)字作答）
【題干】為配制某種染色劑， 需要加入三種有機(jī)染料、兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑， 其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰．現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀?總共要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【題干】一排個(gè)座位有個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有_________種不同的坐法．
【題干】某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等名學(xué)生中選派名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加．當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰．那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【題干】在一個(gè)含有個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？
【題干】某人連續(xù)射擊次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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二、均分問(wèn)題除序法
1）平均分堆問(wèn)題，整體中部分順序固定，對(duì)某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規(guī)定順序元素個(gè)數(shù)的全排列.
2）在計(jì)算排列組合問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到“分組”問(wèn)題，要特別注意是平均分組還是不平均分組.可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類比的方法去理解分組問(wèn)題，比如將個(gè)元素分為兩組，若一組一個(gè)、一組三個(gè)共有種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法.
【題干】（1）個(gè)相同的小球，任意放入個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？
（2）計(jì)算的正整數(shù)解有多少組；
（3）計(jì)算的非負(fù)整數(shù)解有多少組．
【答案】（1）.（2）.（3）.
【解析】（1）法一　先將其中個(gè)相同的小球放入個(gè)盒子中，有種放法；再將其余個(gè)相同的小球放入個(gè)不同的盒子中，有以下種情況：
① 某一個(gè)盒子放個(gè)小球，就可從這個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這個(gè)小球，有種不同的放法；② 這個(gè)小球分別放入其中的個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從個(gè)不同的盒子中任選個(gè)盒子，分別放入這個(gè)相同的小球，有種不同放法；③ 這個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在個(gè)盒子中，另個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有種不同的方法.綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為（種）.
法二“每個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球”，若用“擋板法”，可易得.
（2）可看做將個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法.轉(zhuǎn)化為個(gè)，個(gè)的排列，要求不排在兩端且不相鄰，共有種排法，因此方程有組不同的正整數(shù)解；
（3）可看做將個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為個(gè)，個(gè)的排列，共有種排法，因此方程有組不同的非負(fù)整數(shù)解.
【難度】***
【題干】有本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？
（1）分成本、本、本三組；
（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人本，一人本，一人本；
（3）分成每組都是本的三組；
（4）分給甲、乙、丙三人，每人本.
【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.
【解析】（1）分三步：先選一本有種選法；再?gòu)挠嘞碌谋局羞x本有種選法；對(duì)于余下的三本全選有種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知有種選法.
（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問(wèn)題，因此共有種選法.
（3）先分三步，則應(yīng)是種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記本書(shū)為分別、、、、、，若第一步取了（、、），則種分法中還有（、、），（、、）、（、、）、（、、）、（、、）共有種情況，而且這種情況僅是、、的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有（種）.
（4）在問(wèn)題（3）的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有（種）.
【難度】***
【題干】本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？
【答案】.
【解析】本不同的書(shū)平均分成三堆，有種分堆方法.
【難度】*
【題干】本書(shū)分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？
【答案】.
【解析】第一步，從本書(shū)中取出本作為一組，有種取法；第二步，將剩余兩本分組，是一個(gè)平均分組問(wèn)題，有種分法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有（種）.
【難度】**
【題干】一天的課程表要排入語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語(yǔ)，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？
【答案】.
【解析】在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即種.
【難度】***
【題干】將位志愿者分成組，其中兩個(gè)組各人，另兩個(gè)組各人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有________種.（用數(shù)字作答）
【答案】.
【解析】根據(jù)題意，先將人按分成組，有種分組方法，再對(duì)應(yīng)分配到四個(gè)不同場(chǎng)館，有種放法，則共有種放法.
【難度】**
【題干】用這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，
（1）若偶數(shù)次序一定，有多少個(gè)？
（2）若偶數(shù)次序一定，奇數(shù)的次序也一定的有多少個(gè)？
【答案】（1）；（2）
【解析】略
【難度】**
【題干】一天的課程表要排入語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，英語(yǔ)，體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？
【答案】
【解析】在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率
相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即種．或者由于數(shù)學(xué)和體育的次序固定，方法數(shù)為．
【難度】**
【題干】甲、乙、丙位志愿者安排在周一至周五的天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面．不同的安排方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A；
【解析】A；從五天中抽出三天來(lái)安排甲乙丙共有種，其中甲要排在三天中的，第一天，乙與丙還有兩種順序，故共有種安排方法．
【難度】***
【題干】某考生打算從所重點(diǎn)大學(xué)中選所填在第一檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校定為第一志愿，再?gòu)乃话愦髮W(xué)中選所填在第二檔次的個(gè)志愿欄內(nèi)，其中校必選，且在前，問(wèn)此考生共有________種不同的填表方法（用數(shù)字作答）．
【答案】
【解析】第一檔次的志愿填法有種；第二檔次的學(xué)校除外另一個(gè)有種選法
，排順序有種（因?yàn)樵谇昂驮诤蟮呐欧ㄊ且粯佣嗟模?，因此不同的填表方法共有種．
【難度】***
三、相離問(wèn)題插空法（當(dāng)需排的元素不能相鄰時(shí)）
解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些無(wú)條件元素然后插入其余必須相離元素，使問(wèn)題得以解決，注意分步相乘法則.
【題干】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為_(kāi)_______.
【答案】.
【解析】因?yàn)樵黾觾蓚€(gè)新節(jié)目，將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，所以可以應(yīng)用插空法來(lái)解，原來(lái)的個(gè)節(jié)目形成個(gè)空，新增的兩個(gè)節(jié)目插到個(gè)空中，共有.
【難度】**
【題干】一次演出，原計(jì)劃要排個(gè)節(jié)目，因臨時(shí)有變化，擬再添加個(gè)小品節(jié)目，若保持原有個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則這個(gè)節(jié)目不同的排列方法有（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】C.
【解析】首先當(dāng)兩個(gè)節(jié)目放在相鄰的位置，有種結(jié)果，當(dāng)兩個(gè)節(jié)目不相鄰，從原來(lái)形成的五個(gè)空中選兩個(gè)空排列，共有種結(jié)果，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果.
【難度】**
【題干】某會(huì)議室第一排共有個(gè)座位，現(xiàn)有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】將空位插到三個(gè)人中間，三個(gè)人有兩個(gè)中間位置和兩個(gè)兩邊位置就是將空位分成四部分，五個(gè)空位四分只有，，，.空位無(wú)差別，只需要空位分別占在四個(gè)位置就可以有四種方法，另外三個(gè)人排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)可得共有
【難度】**
【題干】為配制某種染色劑，需要加入三種有機(jī)染料、兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑，其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰．現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊?，總共要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為_(kāi)_______.（用數(shù)字作答）
【答案】.
【解析】本題相當(dāng)于把兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑先任意排列，再把三種有機(jī)染料插入個(gè)空中的三個(gè)當(dāng)中，故所求的結(jié)果為.
【難度】***
【題干】七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】B.
【解析】（用排除法）七人并排成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法有種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：.
【難度】**
【題干】一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有個(gè)舞蹈，個(gè)相聲，個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？
【答案】.
【解析】分兩步進(jìn)行，第一步排個(gè)相聲和個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將舞蹈插入第一步排好的個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有種.
【難度】*
【題干】人排一個(gè)天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相鄰兩天不能排同一個(gè)人，值日表排法的總數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，第一天可以是個(gè)人中的任意一個(gè)，即種可能；第二天除了第一天的那個(gè)人另個(gè)人任意一個(gè)就行，即種可能；第三天除了第二天的那個(gè)人另個(gè)人任意一個(gè)就行，即種可能；第四天同上，種可能；第五天同上，種可能；所以的排法總數(shù)分五步：.
【難度】***
【題干】從個(gè)自然數(shù)中任取個(gè)互不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的取法．
【答案】
【解析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為個(gè)相同的黑球與個(gè)相同的白球，其中黑球不相鄰的排列問(wèn)題，也就是從個(gè)白球形成的個(gè)空檔中選擇個(gè)放黑球，共有種不同的取法．
【難度】***
【題干】某會(huì)議室第一排共有個(gè)座位，現(xiàn)有人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】將三個(gè)人插入五個(gè)空位中間的四個(gè)空檔中，有種排法．
【難度】***
【題干】三個(gè)人坐在一排個(gè)座位上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法種數(shù)為_(kāi)_________．
【答案】；
【解析】將三個(gè)人插入個(gè)空位中間的四個(gè)空檔中，共有種．
【難度】**
【題干】要排一張有個(gè)歌唱節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，排法種數(shù)有_________種．
【答案】
【解析】個(gè)歌唱節(jié)目排列有種，歌唱節(jié)目的空隙及兩端共個(gè)位置排入個(gè)舞蹈節(jié)
目，有種方法．因此，由計(jì)數(shù)原理總方法有種．
【難度】***
【題干】馬路上有編號(hào)為 ……， 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有_________種． （用數(shù)字作答）
【答案】；
【解析】關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端．又因?yàn)闊糁g沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在盞亮著的燈形成的不包含兩端的個(gè)空中選出個(gè)空放置熄滅的燈．有種．
【難度】***
【題干】為配制某種染色劑， 需要加入三種有機(jī)染料、兩種無(wú)機(jī)染料和兩種添加劑， 其中有機(jī)染料的添加順序不能相鄰．現(xiàn)要研究所有不同添加順序?qū)θ旧Ч挠绊懀?總共要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】；
【解析】先將無(wú)機(jī)染料和添加劑全排，有種，包括兩端共個(gè)空，再將種有機(jī)染料插入空中，有種，故總要試驗(yàn)的次數(shù)為．
【難度】***
【題干】一排個(gè)座位有個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有_________種不同的坐法．
【答案】；
【解析】六個(gè)人全排后，將空位插入六個(gè)人之間的五個(gè)空檔中，共種坐法．
【難度】***
【題干】某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等名學(xué)生中選派名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加．當(dāng)甲乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰．那么不同發(fā)言順序的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】只有甲參加時(shí)，有種；同理，只有乙參加時(shí)也有種；甲、乙都參加時(shí)，先從剩下的人中選個(gè)排好，然后將甲、乙兩人插入個(gè)空中，故共有種．因此不同發(fā)言順序的種數(shù)為．
【難度】**
【題干】在一個(gè)含有個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？
【答案】；
【解析】相當(dāng)于在一個(gè)有個(gè)位置的節(jié)目單中，有序插入個(gè)歌唱節(jié)目，還剩余個(gè)位置，由于剩余的個(gè)節(jié)目的相對(duì)位置固定，故此時(shí)個(gè)節(jié)目的位置確定．故所有的排法數(shù)為．
【難度】**
【題干】某人連續(xù)射擊次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種．
【答案】；
【解析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四個(gè)相同的黑球與四個(gè)相同白球，其中只有三個(gè)黑球相鄰的排列問(wèn)題，將三黑球“捆綁”在一起看成一個(gè)“黑球”，與另一個(gè)黑球插入四個(gè)白球的空檔中，共有種不同的結(jié)果．
【難度】**
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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