資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
● 解題方法總結和題型歸類
一、求展開式中指定項
常見題型：
1）求某一項的系數，比如說的系數.思路：利用通項公式.
化簡后，合并同類項后，讓的指數等于，求出的值，代回.
2）求第幾項或其系數，比如說第五項、第五項的系數.思路：利用通項公式.
注意：某一項的系數和二項式系數的區別.項的系數是變量的系數.
【題干】展開式中的系數為，則實數等于（ ）
A． B． C． D．
【題干】若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【題干】的展開式中項的系數是（ ）
A． B． C． D．
【題干】若展開式的二項式系數之和等于，則第三項是（ ）
【題干】設的展開式的各項系數之和為，二項式系數之和為，若，則展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【題干】的展開式中的系數是________（用數字作答）．
【題干】的展開式中的系數是（ ）
A． B． C． D．
【題干】的展開式中含的項的系數為_________（結果用數值表示）.
【題干】展開式中不含的項的系數和為（ ）
A． B． C． D．
【題干】的展開式中第六項是________.
【點評】
【題干】展開式中的系數是________（用數字作答）．
【題干】設常數，展開式中的系數為，則________．
【題干】已知的展開式中的系數與的展開式中的系數相等，則
________．
【題干】在的展開式中，含的項的系數是（ ）.
A． B． C． D．
【題干】除以的余數是________
【題干】對于，求證：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
二項式定理
對應二級知識點：二項式定理
● 基礎知識總結和邏輯關系
一、二項式定理
1）二項式定理：這個公式表示的定理叫做二項式定理．
2）二項式系數、二項式的通項：叫做的二項展開式，其中的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項．
用表示，即通項為展開式的第項：．
3）二項式展開式的各項冪指數：二項式的展開式項數為項，各項的冪指數狀況是：
① 各項的次數都等于二項式的冪指數．
② 字母的按降冪排列，從第一項開始，次數由逐項減1直到零，字母按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到．
4）幾點注意：
① 通項是的展開式的第項，這里．
② 二項式的項和的展開式的第項是有區別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換的．
③ 注意二項式系數（）與展開式中對應項的系數不一定相等，二項式系數一定為正，而項的系數有時可為負．
④ 通項公式是這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項公式是（只須把看成代入二項式定理）這與是不同的，在這里對應項的二項式系數是相等的都是，但項的系數一個是，一個是，可看出，二項式系數與項的系數是不同的概念．
⑤ 設、，則得公式：．
⑥ 通項是中含有五個元素，
只要知道其中四個即可求第五個元素．
⑦ 當不是很大，比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值．
二、二項式系數的性質
1）楊輝三角形：
對于是較小的正整數時，可以直接寫出各項系數而不去套用二項式定理，二項式系數也可以直接用楊輝三角計算．楊輝三角有如下規律：“左、右兩邊斜行各數都是1．其余各數都等于它肩上兩個數字的和．
2）二項式系數的性質：
展開式的二項式系數是：，從函數的角度看可以看成是為自變量的函數，其定義域是：．
當時，的圖象為下圖：
這樣我們利用“楊輝三角”和時的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數的性質．
① 對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．事實上，這一性質可直接由公式得到．
② 增減性與最大值：
a. 如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；
b. 如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大．
由于展開式各項的二項式系數順次是：
，
，…，
，，…，
．
③ 二項式系數的和為，即．
④ 奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
● 解題方法總結和題型歸類
一、求展開式中指定項
常見題型：
1）求某一項的系數，比如說的系數.思路：利用通項公式.
化簡后，合并同類項后，讓的指數等于，求出的值，代回.
2）求第幾項或其系數，比如說第五項、第五項的系數.思路：利用通項公式.
注意：某一項的系數和二項式系數的區別.項的系數是變量的系數.
【題干】展開式中的系數為，則實數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于二項式的展開式的通項公式為 ，令，，展開式中的系數為，解得.
【難度】**
【題干】若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令，
【難度】**
【題干】的展開式中項的系數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意
【難度】**
【題干】若展開式的二項式系數之和等于，則第三項是（ ）
【答案】
【解析】根據題意，展開式的二項式系數之和等于，有，解可得，；可得其二項展開式的通項為，則其第三項是.
【難度】**
【題干】設的展開式的各項系數之和為，二項式系數之和為，若，則展開式中的系數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，令得展開式的各項系數之和根據二項式系數和公式得二項式系數之和因為所以解得所以的展開式的通項為令得故展開式中的系數為.
【難度】**
【題干】的展開式中的系數是________（用數字作答）．
【答案】
【解析】原式，的系數為
【難度】***
【題干】的展開式中的系數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為的展開式為，的展開式中的的系數是；常數項為，所以的展開式中的系數是.
【難度】***
【題干】的展開式中含的項的系數為_________（結果用數值表示）.
【答案】
【解析】二項展開式的通項為，令得所以展開式中含的項的系數為.
【難度】**
【題干】展開式中不含的項的系數和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，令得展開式的各項系數和為，的展開式的通項為，令得含項的系數為故展開式中不含項的系數的和為.
【難度】**
【題干】的展開式中第六項是________.
【答案】
【難度】**
【點評】
【題干】展開式中的系數是________（用數字作答）．
【答案】
【解析】通項公式為，當時，．所以的系數是．
【題干】設常數，展開式中的系數為，則________．
【答案】
【解析】，由得，由知．
【題干】已知的展開式中的系數與的展開式中的系數相等，則
________．
【答案】
【解析】的通項為，當時，．∴的展開式中的系數是，的通項為，當時，．
∴的展開式中的系數是，∴，．
【題干】在的展開式中，含的項的系數是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用排列組合的觀點來求，個因式取，余下個取常數項，故所求系數為，選A．
【題干】除以的余數是________
【答案】
【解析】將分解成含的因數，然后用二項式定理展開，不含的項就是余數．
，又∵余數不能為負數，需轉化為正數，
∴除以的余數為．∴應填：
【題干】對于，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】展開式的通項
．展開式的通項
．
由二項式展開式的通項明顯看出，所以．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑