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四、證明整除或求余
關鍵是構造二項式，要證明一個式子被另一個整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可，因此，一般將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開，此時常用湊配法和消去法，配合有關整除知識來處理.
【題干】利用二項式定理證明：是的倍數．
【題干】若，證明：能被整除．
【題干】證明：能被整除．
【題干】的末尾連續零的個數是（ ）
A． B． C． D．
【題干】除以的余數________；
【題干】除以的余數是__________.
【題干】被除所得的余數為（ ）
A． 　 B． C． D．
【題干】（參考）已知數列，，，，（）滿足：，求證：對于任意正整數， 是一次多項式或零次多項式．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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“4三金
深圳市一教育料技有限貴任公司
0307766中小學教育資源及組卷應用平臺
四、證明整除或求余
關鍵是構造二項式，要證明一個式子被另一個整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可，因此，一般將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開，此時常用湊配法和消去法，配合有關整除知識來處理.
【題干】利用二項式定理證明：是的倍數．
【答案】見解析
【解析】證明： ，因為 是整數，所以能被整除．
【難度】**
【題干】若，證明：能被整除．
【答案】見解析.
【解析】
，
所以 能被整除.
【難度】***
【題干】證明：能被整除．
【答案】見解析.
【解析】記， 則，由二項式展開，正負相消得
因此能被整除.
【難度】***
【題干】的末尾連續零的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以的結果的末尾連續零的個數為.
【難度】***
【題干】除以的余數________；
【答案】
【解析】，.用二項式展開后，前面的項都是的倍數，因此，可知：，而要求的是除以，那么等于除以的余數，即.
【難度】*
【題干】除以的余數是__________.
【答案】
【解析】而 可以用拆開括號，這樣算下來 肯定前面的項都有，都能被乘除， 只有最后一項是 ，是，所以余數是.
【難度】**
【題干】被除所得的余數為（ ）
A． 　 B． C． D．
【答案】B
【解析】二項式公式：這里 ，所以從第一項到最后倒數第二項都是的整數倍 只要計算最后一項和的余數，這里可以用規律遞推，也可以繼續用二項式分解 只要考慮最后兩項的和與的余數 ，補，得.
【難度】**
【題干】（參考）已知數列，，，，（）滿足：，求證：對于任意正整數， 是一次多項式或零次多項式．
【答案】見解析
【解析】由題意可知數列為等差數列，且公差為，則
，所以對任意的正整數，是關于的一次式.
【難度】****
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