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● 解題方法總結和題型歸類
一、離散型隨機變量及其分布列
的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離型隨機變量．
將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應的概率，，…列表表示：
… …
… …
我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列．
【題干】拋擲均勻硬幣一次，隨機變量為（ ）．
A. 出現正面的次數
B. 出現正面或反面的次數
C. 擲硬幣的次數
D. 出現正、反面次數之和
【答案】A.
【解析】拋擲均勻硬幣一次出現正面的次數為或.
【難度】*
【題干】如果是一個離散型隨機變量，那么下列命題中假命題是（ ）．
A. 取每個可能值的概率是非負實數
B. 取所有可能值的概率之和為1
C. 取某個可能值的概率等于分別取其中每個值的概率之和
D. 在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和
【答案】D.
【解析】根據離散型隨機變量的分布列的性質，每一個變量對應的概率都非負，所有變量對應的概率之和是，每一個變量對應的事件是互斥事件，取某兩個可能值的概率等于分別取其中每個值的概率之和，得到A，B，C三個說法都正確.
【難度】*
【題干】已知隨機變量X的分布列為：，，...，則等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】.
【難度】*
【題干】袋中有大小相同的只鋼球，分別標有，，，，五個號碼，任意抽取個球，設兩個球號碼之和為，則的所有可能取值個數為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】的可能取值為，，，，，，.
【難度】*
【題干】設某運動員投籃投中的概率為，則一次投籃時投中次數的分布列是________．
【答案】
【解析】此分布列為兩點分布列．
【難度】*
【題干】拋擲兩顆骰子，所得點數之和為，那么表示的隨機試驗結果是（ ）
A. 一顆是點，一顆是點
B. 兩顆都是點
C. 兩顆都是點
D. 一顆是點，一顆是點或兩顆都是點
【答案】D.
【解析】拋擲兩顆骰子，所得點數之和為的情況有：一顆是，一顆是或兩顆都是兩種情況.
【難度】*
【題干】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
（1）一袋中裝有只同樣大小的白球，編號為，，，，.現從該袋內隨機取出只球，被取出的球的最大號碼數；
（2）某單位的某部電話在單位時間內收到的呼叫次數．
【答案】（1），，；（2），….
【解析】（1）可取，，.，表示取出的個球的編號為，，；，表示取出的個球的編號為，，或，，或，，；，表示取出的個球的編號為，，或，，或，，或，，或，，.
（2）可取，…，，表示被呼喚次，其中，，…
【難度】**
【題干】已知隨機變量的分布列，分別求出隨機變量，的分布列．
【答案】
【解析】：由于不同的的取值可得到不同的，雖然隨機變量的數值已發生了變化但其相應的概率并不發生變化，故的分布列為：
：對于的不同取值，與，，分別取相同的值與，即取時，其概率應是取與的概率之和，取時，其概率應是取與的概率之和，故的分布列為：
【難度】**
【題干】隨機變量的概率分布規律為，其中是常數，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】因為，所以，
所以，因為.
【難度】*
【題干】隨機變量的分布列，，，，為常數，則（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】因為，，，，所以，所以，.
【難度】**
【題干】一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數是綠球個數的兩倍，黃球個數是綠球個數的一半．現從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得分，取出黃球得分，取出綠球得分，試寫出從該盒中取出一球所得分數的分布列，并求出所得分數不為的概率．
【答案】
，.
【解析】設黃球的個數為，由題意知綠球個數為，紅球個數為，盒中球的總數為，，，，所以，，.所以從該盒中隨機取出一球所得分數的分布列為：
【難度】***
【題干】甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為．
（1）求的值；
（2）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）當甲連勝局或乙連勝局時，第二局比賽結束時比賽停止，故，解得或，又因為，所以.
（2）依題意知的所有可能取值為，，，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，若該輪結束時比賽還將繼續，則甲，乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有，，，則隨機變量的分布列為：
【難度】***
【題干】一批產品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量，則（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】設二級品有個，所以一級品有個，三級品有，總數為個，所以分布列為：
【難度】*
【題干】如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學：
（1）求這兩名同學的植樹總棵數的分布列；
（2）每植一棵樹可獲元，求這兩名同學獲得錢數的數學期望．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學的方法種數是，這兩名同學植樹總棵數的取值分別為，，，，，，，，，，則隨機變量的分布列是：
（2）由（1）知，設這名同學獲得錢數為元，則，則.
【難度】**
【題干】某公司有萬元資金用于投資開發項目，如果成功，一年后可獲利；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的.表格中是過去例類似項目開發的實施結果，則該公司一年后估計可獲收益的期望是________．
投資成功 投資失敗
次 次
【答案】.
【解析】設該公司一年后估計可獲得的錢數為元，則隨機變量的取值分別為（元），（元）．由已知條件隨機變量 的概率分布列是：
因此.
【難度】***
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● 解題方法總結和題型歸類
一、離散型隨機變量及其分布列
的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離型隨機變量．
將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應的概率，，…列表表示：
… …
… …
我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型隨機變量的分布列．
【題干】拋擲均勻硬幣一次，隨機變量為（ ）．
A. 出現正面的次數
B. 出現正面或反面的次數
C. 擲硬幣的次數
D. 出現正、反面次數之和
【題干】如果是一個離散型隨機變量，那么下列命題中假命題是（ ）．
A. 取每個可能值的概率是非負實數
B. 取所有可能值的概率之和為1
C. 取某個可能值的概率等于分別取其中每個值的概率之和
D. 在某一范圍內取值的概率大于它取這個范圍內各個值的概率之和
【題干】已知隨機變量X的分布列為：，，...，則等于（ ）．
A. B. C. D.
【題干】袋中有大小相同的只鋼球，分別標有，，，，五個號碼，任意抽取個球，設兩個球號碼之和為，則的所有可能取值個數為（ ）．
A. B. C. D.
【題干】設某運動員投籃投中的概率為，則一次投籃時投中次數的分布列是________．
【題干】拋擲兩顆骰子，所得點數之和為，那么表示的隨機試驗結果是（ ）
A. 一顆是點，一顆是點
B. 兩顆都是點
C. 兩顆都是點
D. 一顆是點，一顆是點或兩顆都是點
【題干】寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果．
（1）一袋中裝有只同樣大小的白球，編號為，，，，.現從該袋內隨機取出只球，被取出的球的最大號碼數；
（2）某單位的某部電話在單位時間內收到的呼叫次數．
【題干】已知隨機變量的分布列，分別求出隨機變量，的分布列．
【題干】隨機變量的概率分布規律為，其中是常數，則的值為（ ）.
A． B． C． D．
【題干】隨機變量的分布列，，，，為常數，則（ ）.
A. B. C. D.
【題干】一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數是綠球個數的兩倍，黃球個數是綠球個數的一半．現從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得分，取出黃球得分，取出綠球得分，試寫出從該盒中取出一球所得分數的分布列，并求出所得分數不為的概率．
【題干】甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止.設甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為．
（1）求的值；
（2）設表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量的分布列．
【題干】一批產品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品為二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量，則（ ）.
A. B. C. D.
【題干】如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學：
（1）求這兩名同學的植樹總棵數的分布列；
（2）每植一棵樹可獲元，求這兩名同學獲得錢數的數學期望．
【題干】某公司有萬元資金用于投資開發項目，如果成功，一年后可獲利；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的.表格中是過去例類似項目開發的實施結果，則該公司一年后估計可獲收益的期望是________．
投資成功 投資失敗
次 次
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