資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
7.3.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）．
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平．
二、離散型隨機(jī)變量的方差
一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差．
離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小（離散程度）．
的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量．
【題干】、兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是、、，隊(duì)隊(duì)員是、、，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下：
對(duì)陣隊(duì)員 隊(duì)隊(duì)員勝的概率 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率
和
和
和
現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)勝隊(duì)得分，負(fù)隊(duì)得分，設(shè)隊(duì)，隊(duì)最后所得總分分別為，
（1）求，的分布列；（2）求，．
【題干】 （四川）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多，某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元（不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
（1）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【題干】下面說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 離散型隨機(jī)變量的期望反映了取值的概率的平均值
B. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平
C. 離散型隨機(jī)變量的期望)反映了取值的平均水平
D. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值
【題干】同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）
A. B. C. D.
【題干】一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得分的概率為，得分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【題干】已知的分布列為:
設(shè)，則的均值是（ ）
A. B. C. D.
【題干】某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A. B. C. D.
【題干】甲乙兩人獨(dú)立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為，，已知該題被甲或乙解出的概率為，甲乙兩人同時(shí)解出該題的概率為，求：
（1），；
（2）解出該題的人數(shù)的分布列及．
【題干】編號(hào)，，的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為，，的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是．
（1）求隨機(jī)變量的概率分布；
（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．
【題干】某同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲：箱內(nèi)有紅球個(gè)，白球個(gè)，黑球個(gè)．每次任取一個(gè)，有放回地抽取次為一次摸獎(jiǎng)．至少有兩個(gè)紅球?yàn)橐坏泉?jiǎng)，記分；紅、白、黑球各一個(gè)為二等獎(jiǎng)，記分；否則沒(méi)有獎(jiǎng)，記分．
（1）求一次摸獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)的概率；
（2）求一次摸獎(jiǎng)得分的分布列和期望．
【題干】某城市有甲、乙、丙個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，，，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．求的分布及數(shù)學(xué)期望．
【題干】某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在區(qū)域返券元；停在區(qū)域返券元；停在區(qū)域不返券． 例如：消費(fèi)元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）若某位顧客消費(fèi)元，求返券金額不低于元的概率；
（2）若某位顧客恰好消費(fèi)元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【題干】某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．
（1）求該選手被淘汰的概率；
（2）該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）
【題干】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：
（1）至少有人面試合格的概率；
（2）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【題干】某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為．甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料．
（1）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；
（2）求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【題干】隨機(jī)變量的分布列如下:
其中，，成等差數(shù)列．若，則的值是________．
【題干】某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有個(gè)白球、個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額．求：
（1）的概率分布；
（2）的期望．
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7.3.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征
一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望）．
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫(huà)了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平．
二、離散型隨機(jī)變量的方差
一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，，…，，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，，…，，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差．
離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小（離散程度）．
的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量．
【題干】、兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是、、，隊(duì)隊(duì)員是、、，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下：
對(duì)陣隊(duì)員 隊(duì)隊(duì)員勝的概率 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率
和
和
和
現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)勝隊(duì)得分，負(fù)隊(duì)得分，設(shè)隊(duì)，隊(duì)最后所得總分分別為，
（1）求，的分布列；（2）求，．
【答案】略.
【解析】（1），的可能取值分別為，，，.，，，.根據(jù)題意，所以，，，.
的分布列為
的分布列為
（2）；因?yàn)椋?br/>所以.
【難度】***
【點(diǎn)評(píng)】首先理解，的取值對(duì)應(yīng)的事件的意義，再求，取每個(gè)值的概率，列成分布列的形式，最后根據(jù)期望的定義求期望．
【題干】 （四川）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多，某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)元（不足小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．
（1）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由題意得，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過(guò)四小時(shí)還車的概率分別為，.
記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件，則.
所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為.
（2）可能取的值有，，，， .；；；；.甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和的分布列為
所以.
【難度】***
【題干】下面說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 離散型隨機(jī)變量的期望反映了取值的概率的平均值
B. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的平均水平
C. 離散型隨機(jī)變量的期望)反映了取值的平均水平
D. 離散型隨機(jī)變量的方差反映了取值的概率的平均值
【答案】C
【難度】*
【題干】同時(shí)拋擲枚均勻硬幣次，設(shè)枚硬幣正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】因?yàn)閽仈S一次，正好出現(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的概率為，因?yàn)槊队矌耪贸霈F(xiàn)枚正面向上，枚反面向上的概率是相同的，且各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，所以服從二項(xiàng)分布，所以.
【難度】*
【題干】一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得分的概率為，得分的概率為，不得分的概率為（、、），已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為（不計(jì)其它得分情況），則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】由題意，投籃一次得分的概率為，得分的概率為，不得分的概率為（、、），所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），所以的最大值為.
【題干】已知的分布列為:
設(shè)，則的均值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】由已知得，因?yàn)椋?br/>所以.
【難度】**
【題干】某種種子每粒發(fā)芽的概率都為，現(xiàn)播種了粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】由題意可知播種了粒，沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布，即.而每粒需要再補(bǔ)種粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為，故，則.
【難度】**
【題干】甲乙兩人獨(dú)立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為，，已知該題被甲或乙解出的概率為，甲乙兩人同時(shí)解出該題的概率為，求：
（1），；
（2）解出該題的人數(shù)的分布列及．
【答案】（1）；.（2）略.
【解析】（1）設(shè)甲乙兩人解出該數(shù)學(xué)題分別為事件和，則，，所以，即，解之得，.
（2），，.列出分布列：
所以.
【難度】**
【題干】編號(hào)，，的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為，，的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的個(gè)數(shù)是．
（1）求隨機(jī)變量的概率分布；
（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．
【答案】（1）略；（2）；
【解析】（1）；，；；所以概率分布列為：
（2），.
【難度】**
【題干】某同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲：箱內(nèi)有紅球個(gè)，白球個(gè)，黑球個(gè)．每次任取一個(gè)，有放回地抽取次為一次摸獎(jiǎng)．至少有兩個(gè)紅球?yàn)橐坏泉?jiǎng)，記分；紅、白、黑球各一個(gè)為二等獎(jiǎng)，記分；否則沒(méi)有獎(jiǎng)，記分．
（1）求一次摸獎(jiǎng)中一等獎(jiǎng)的概率；
（2）求一次摸獎(jiǎng)得分的分布列和期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為；取到白球的概率為，取到黑球的概率為；一次摸中一等獎(jiǎng)的概率為.
（2）設(shè)表示一次摸獎(jiǎng)的得分，則可能取值為，，.， ，，所以一次摸獎(jiǎng)得分的分布列為：
期望為.
【難度】***
【題干】某城市有甲、乙、丙個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是，，，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值．求的分布及數(shù)學(xué)期望．
【答案】略.
【解析】分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件，，.由已知，，相互獨(dú)立，，，.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為，，，.客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為，，，，所以的可能取值為，.，.所以的分布列為：
所以.
【難度】***
【題干】某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置．若指針停在區(qū)域返券元；停在區(qū)域返券元；停在區(qū)域不返券． 例如：消費(fèi)元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）若某位顧客消費(fèi)元，求返券金額不低于元的概率；
（2）若某位顧客恰好消費(fèi)元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為（元）．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】設(shè)指針落在，，，則，，.（1）若返券金額不低于元，則指針落在或區(qū)域，所以.即消費(fèi)元的顧客，返券金額不低于元的概率為.
（2）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤次，隨機(jī)變量的可能值為，，，，.；；；；.所以，隨機(jī)變量的分布列為：
其數(shù)學(xué)期望.
【難度】***
【點(diǎn)評(píng)】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)兩次，結(jié)果和是兩個(gè)不同的結(jié)果.
【題干】某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為、、，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．
（1）求該選手被淘汰的概率；
（2）該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”的事件為（，，），則，，.所以該選手被淘汰的概率.
（2）的可能值為，，.，，.所以的分布列為：
所以.
【難度】***
【題干】甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．求：
（1）至少有人面試合格的概率；
（2）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）用，，分別表示事件甲、乙、丙面試合格，由題意知，，相互獨(dú)立，且，，至少有一人面試合格的概率是.
（2）的可能取值為，，，.，，，.所以的分布列是
故的期望.
【題干】某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為．甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買了一瓶該飲料．
（1）求甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率；
（2）求中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為，，，那么，則三人都沒(méi)中獎(jiǎng)的概率為.
（2）的可能值為，，，，（，，，）.所以中獎(jiǎng)人數(shù)的分布列為
.
【難度】***
【題干】隨機(jī)變量的分布列如下:
其中，，成等差數(shù)列．若，則的值是________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)椋?聯(lián)立三式得，，，
所以.
【題干】某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有個(gè)白球、個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金元．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額．求：
（1）的概率分布；
（2）的期望．
【答案】（1）略；（2）.
【解析】（1）的所有可能的取值為，，，，.則的分布列為：
（2）由（1）得.
【難度】**
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