資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
7.3.2 均值與方差性質的應用
一、知識要點
為隨機變量，，為常數，，.
1）若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
2）關鍵是將實際問題轉化為數學問題，正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發生的概率，充分利用了分布列的性質.
3）概率問題的核心就是互斥事件、相互獨立事件的概率計算、隨機變量的分布以及均值等問題，并且都是以概率計算為前提的，在復習時要切實把握好概率計算方法．
【題干】設隨機變量具有分布，，，，，，求，，.
【題干】 袋中有個大小相同的球，其中記上號的有個，記上號的有個（，，，）.現從袋中任取一球，表示所取球的標號．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，，，試求，的值．
【題干】（福建）某產品按行業生產標準分成個等級，等級系數依次為，，…，，其中為標準，為標準.已知甲廠執行標準生產該產品，產品的零售價為元/件；乙廠執行標準生產該產品，產品的零售價為元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準．
（1）已知甲廠產品的等級系數的概率分布列如下所示：
且的數學期望，求，的值；
（2）為分析乙廠產品的等級系數，從該廠生產的產品中隨機抽取件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數的數學期望．
（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產品的“性價比”＝產品的等級系數的數學期望/產品的零售價；
（2）“性價比”大的產品更具可購買性．
【題干】 某公司有萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據市場分析知道：一年后可能獲利，可能損失，可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利，也可能損失，這兩種情況發生的概率分別為和．
（1）如果把萬元投資甲項目，用表示投資收益（收益＝回收資金－投資資金），求的概率分布及；
（2）若把萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求的取值范圍．
【題干】某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規則是：每位選手可以選擇在區投籃次或選擇在區投籃次．在區每進一球得分，不進球得分；在區每進一球得分，不進球得分，得分高的選手勝出．已知參賽選手甲在區和區每次投籃進球的概率分別為和.
（1）如果選手甲以在、區投籃得分的期望高者為選擇投籃區的標準，問選手甲應該選擇哪個區投籃？
（2）求選手甲在區投籃得分高于在區投籃得分的概率．
【題干】如圖，一個小球從處投入，通過管道自上面下落到或或，已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到，，，則分別設為，，等獎．
（1）已知獲得，，等獎的折扣率分別為，，，記隨機變量為獲得等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及數學期望
（2）若有人次（投入球為人次）參加促銷活動，記隨機變量為獲得等獎或等獎的人次，求．
【題干】連續拋擲同一顆均勻的骰子，令第次得到的點數為，若存在正整數，使，則稱為你的幸運數字．
（1）求你的幸運數字為的概率；
（2）若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數字則記分．求得分的分布列和數學期望．
【題干】現有、兩種建筑鋼筋材料，從中各取等量的樣品，檢驗它們的抗拉強度指數如下：
和分別表示，兩種材料的抗拉強度．在使用材料時，要求抗拉強度平均不低于的條件下，試比較，兩種材料哪一種的質量更好些．
【題干】為增強市民的節能環保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的名志愿者中隨機抽樣名志愿者的年齡情況如下表所示．
（1）頻率分布表中的①、②位置應填什么數據？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據頻率分布直方圖估計這名志愿者中年齡在歲的人數；
（2）在抽出的名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取人參加中心廣場的宣傳活動，從這人中選取名志愿者擔任主要負責人，記這名志愿者中“年齡低于歲”的人數為，求的分布列及數學期望．
分組 （單位：歲） 頻數 頻率
①
②
合計
(
20 25 30 35 40 45 年齡 歲
)
【題干】（北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以表示．
（1）如果，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；
（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數的分布列和數學期望．
（注：方差 ，其中為，，…，的平均數）
【題干】已知，求與．
【題干】已知，，，則與的值分別為（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【題干】已知隨機變量服從參數為的二項分布，則它的期望________，
方差________．
【題干】已知隨機變量服從二項分布，且，，則二項分布的參數，的值分別為________，_________．
【題干】一盒子內裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個數的期望值是_________．
【題干】同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的次數為，則的數學期望是（ ）
A． B． C． D．
【題干】某服務部門有個服務對象，每個服務對象是否需要服務是獨立的，若每個服務對象一天中需要服務的可能性是，則該部門一天中平均需要服務的對象個數是（ ）
A． B． C． D．
【題干】一個袋子里裝有大小相同的個紅球和個黃球，從中同時取出個，則其中含紅球個數的數學期望是_________．（用數字作答）
【題干】同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的次數為，則的數學期望是（ ）
A． B． C． D．
【題干】某批數量較大的商品的次品率是，從中任意地連續取出件，為所含次品的個數，求．
【題干】甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是．
（1）現人各投籃次，求人都沒有投進的概率；
（2）用表示乙投籃次的進球數，求隨機變量的概率分布及數學期望．
【題干】拋擲兩個骰子，當至少有一個點或點出現時，就說這次試驗成功．
（1）求一次試驗中成功的概率；
（2）求在次試驗中成功次數的分布列及的數學期望與方差．
【題干】某尋呼臺共有客戶人，若尋呼臺準備了份小禮品，邀請客戶在指定時間來領取．假設任一客戶去領獎的概率為．問：尋呼臺能否向每一位顧客都發出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？
【題干】某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．
（1）任選名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
（2）任選名下崗人員，記為人中參加過培訓的人數，求的分布和期望．
【題干】設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．記表示進入商場的位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求的分布及期望．
【題干】某班級有人，設一年天中，恰有班上的（）個人過生日的天數為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數的期望值．
【題干】購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得元的賠償金．假定在一年度內有人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金元的概率為．
（1）求一投保人在一年度內出險的概率；
（2）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．
【題干】某安全生產監督部門對家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須進行整改．若整改后復查仍不合格，則強行關閉．設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計算（結果精確到）．
（1）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
（2）平均有多少家煤礦必須整改；
（3）至少關閉一家煤礦的概率．
【題干】設一部機器在一天內發生故障的概率為，機器發生故障時全天停止工作．若一周個工作日里均無故障，可獲利潤萬元；發生一次故障可獲利潤萬元，只發生兩次故障可獲利潤萬元，發生三次或三次以上故障就要虧損萬元．求一周內期望利潤是多少？（精確到）
【題干】在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為，求的分布列及．
【題干】某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品進行促銷活動．
（1）試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率；
（2）商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高元，同時，若顧客購買該商品，則允許有次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得數額為的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，請問：商場應將每次中獎獎金數額最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利
【題干】將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是．
（1）求小球落入袋中的概率；
（2）在容器入口處依次放入個小球，記為落入袋中的小球個數，試求的概率和的數學期望．
【題干】一個袋中有大小相同的標有的個小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標號．若拿出球的標號是的倍數，則得分，否則得分．
（1）求拿次至少得分的概率；
（2）求拿次所得分數的分布列和數學期望．
【題干】某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位的二進制數，其中的各位數中，，出現的概率為，出現的概率為．
記，當程序運行一次時，
（1）求的概率；
（2）求的概率分布和期望．
【題干】某學生在上學路上要經過個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是．
（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．
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7.3.2 均值與方差性質的應用
一、知識要點
為隨機變量，，為常數，，.
1）若是隨機變量，則一般仍是隨機變量，在求的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算．
2）關鍵是將實際問題轉化為數學問題，正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發生的概率，充分利用了分布列的性質.
3）概率問題的核心就是互斥事件、相互獨立事件的概率計算、隨機變量的分布以及均值等問題，并且都是以概率計算為前提的，在復習時要切實把握好概率計算方法．
【題干】設隨機變量具有分布，，，，，，求，，.
【答案】；；.
【解析】因為..所以.，.
【難度】***
【點評】由的期望、方差求的期望、方差是常考題之一，常根據期望和方差的性質求解.
【題干】 袋中有個大小相同的球，其中記上號的有個，記上號的有個（，，，）.現從袋中任取一球，表示所取球的標號．
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若，，，試求，的值．
【答案】（1）略；（2）或.
【解析】（1）的分布列為
所以..
（2）由，得，即. 又，所以當時，由，得.當時，由，得.所以或.即為所求.
【難度】****
【題干】（福建）某產品按行業生產標準分成個等級，等級系數依次為，，…，，其中為標準，為標準.已知甲廠執行標準生產該產品，產品的零售價為元/件；乙廠執行標準生產該產品，產品的零售價為元/件，假定甲、乙兩廠的產品都符合相應的執行標準．
（1）已知甲廠產品的等級系數的概率分布列如下所示：
且的數學期望，求，的值；
（2）為分析乙廠產品的等級系數，從該廠生產的產品中隨機抽取件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數的數學期望．
（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產品的“性價比”＝產品的等級系數的數學期望/產品的零售價；
（2）“性價比”大的產品更具可購買性．
【答案】（1）；（2）；（3）乙.
【解析】（1）因為，所以，即.又由的概率分布列得，即.由，解得.
（2）由已知得，樣本的頻率分布表如下：
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數的概率分布列如下：
所以.即乙廠產品的等級系數的數學期望等于.
（3）乙廠的產品更具可購買性．理由如下：因為甲廠產品的等級系數的數學期望等于，價格為元/件，所以其性價比為.因為乙廠產品的等級系數的數學期望等于，價格為元/件，所以其性價比為.據此，乙廠的產品更具可購買性．
【難度】****
【點評】（1）利用分布列的性質及求，值．（2）先求的分布列，再求，（3）利用提示信息判斷．
【題干】 某公司有萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據市場分析知道：一年后可能獲利，可能損失，可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利，也可能損失，這兩種情況發生的概率分別為和．
（1）如果把萬元投資甲項目，用表示投資收益（收益＝回收資金－投資資金），求的概率分布及；
（2）若把萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求的取值范圍．
【答案】
【解析】（1）依題意，的可能取值為，，.的分布列為
.
（2）設表示萬元投資乙項目的收益，則的分布列為：
，依題意要求，所以.
【難度】***
【題干】某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規則是：每位選手可以選擇在區投籃次或選擇在區投籃次．在區每進一球得分，不進球得分；在區每進一球得分，不進球得分，得分高的選手勝出．已知參賽選手甲在區和區每次投籃進球的概率分別為和.
（1）如果選手甲以在、區投籃得分的期望高者為選擇投籃區的標準，問選手甲應該選擇哪個區投籃？
（2）求選手甲在區投籃得分高于在區投籃得分的概率．
【答案】（1）區；（2）.
【解析】（1）設選手甲在區投籃的得分為，則的可能取值為，，，；；.所以的分布列為
所以.同理，設選手甲在區投籃的得分為，則的可能取值為，，，，；；；.所以的分布列為：
所以，因為，所以選手甲應該選擇區投籃.
（2）設選手甲在區投籃得分高于在區投籃得分為事件，由（1）知：（且或） 且.故選手甲在區投籃得分高于在區投籃得分的概率為.
【難度】***
【題干】如圖，一個小球從處投入，通過管道自上面下落到或或，已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的．
某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到，，，則分別設為，，等獎．
（1）已知獲得，，等獎的折扣率分別為，，，記隨機變量為獲得等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及數學期望
（2）若有人次（投入球為人次）參加促銷活動，記隨機變量為獲得等獎或等獎的人次，求．
【答案】（1）略；（2）.
【解析】（1）由題意得的分布列
則.
（2）由（1）可知，獲得一等獎或二等獎的概率為.由題意得：，則.
【難度】***
【題干】連續拋擲同一顆均勻的骰子，令第次得到的點數為，若存在正整數，使，則稱為你的幸運數字．
（1）求你的幸運數字為的概率；
（2）若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若，則你的得分為分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數字則記分．求得分的分布列和數學期望．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）設“連續拋擲次骰子，和為”為事件，則它包含事件，，其中：四次中恰好兩次為，兩次為；：四次中恰好一次為，三次為.，為互斥事件，則的概率.
（2），.所以的分布列為：
所以.
【難度】***
【題干】現有、兩種建筑鋼筋材料，從中各取等量的樣品，檢驗它們的抗拉強度指數如下：
和分別表示，兩種材料的抗拉強度．在使用材料時，要求抗拉強度平均不低于的條件下，試比較，兩種材料哪一種的質量更好些．
【答案】種鋼筋更好.
【解析】先比較與的期望值，因為，.所以它們的期望相同.再比較它們的方差.因為..所以，所以種鋼筋比較好.
【難度】****
【題干】為增強市民的節能環保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者.從符合條件的名志愿者中隨機抽樣名志愿者的年齡情況如下表所示．
（1）頻率分布表中的①、②位置應填什么數據？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據頻率分布直方圖估計這名志愿者中年齡在歲的人數；
（2）在抽出的名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取人參加中心廣場的宣傳活動，從這人中選取名志愿者擔任主要負責人，記這名志愿者中“年齡低于歲”的人數為，求的分布列及數學期望．
分組 （單位：歲） 頻數 頻率
①
②
合計
(
20 25 30 35 40 45 年齡 歲
)
【答案】略.
【解析】（1），.故①處是，②處是.由頻率分布直方表得的人數為.由頻率分布直方圖知，在這段數據上對應的頻率是，因為組距是，所以小正方形的高是.故在頻率分布直方圖中補出高是的一個小正方形.
（2）用分層抽樣方法抽人，則年齡低于歲的有人，年齡不低于歲的有人，故的可能取值是，，，，，.所以的分布列是
所以的期望值是.
【難度】****
【點評】注意超幾何分布的使用和二項分布的異同點，二項分布的核心是每次實驗概率保持不變.
【題干】（北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數．乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認，在圖中以表示．
（1）如果，求乙組同學植樹棵數的平均數和方差；
（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數的分布列和數學期望．
（注：方差 ，其中為，，…，的平均數）
【答案】（1），；（2）略.
【解析】（1）當時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：，，，，
所以平均數為：；方差為：.
（2）當時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵數是：，，，；乙組同學的植樹棵數是，，，.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有種可能的結果，這兩名同學植樹總棵數的可能取值為，，，，.事件“”等價于“甲組選出的同學植樹棵，乙組選出的同學植樹棵”，所以該事件有種可能的結果，因此.同理可得；；；.所以隨機變量的分布列為：
.
【難度】***
【題干】已知，求與．
【答案】，
【解析】由二項分布的期望與方差公式得．
【難度】*
【題干】已知，，，則與的值分別為（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】，解得．
【難度】**
【題干】已知隨機變量服從參數為的二項分布，則它的期望________，
方差________．
【答案】
【難度】**
【題干】已知隨機變量服從二項分布，且，，則二項分布的參數，的值分別為________，_________．
【答案】
【難度】**
【題干】一盒子內裝有個乒乓球，其中個舊的，個新的，每次取一球，取后放回，取次，則取到新球的個數的期望值是_________．
【答案】
【解析】二項分布，．
【難度】**
【題干】同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的次數為，則的數學期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】拋擲一次，枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的概率是
，因此數學期望為．
【難度】***
【題干】某服務部門有個服務對象，每個服務對象是否需要服務是獨立的，若每個服務對象一天中需要服務的可能性是，則該部門一天中平均需要服務的對象個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【難度】**
【題干】一個袋子里裝有大小相同的個紅球和個黃球，從中同時取出個，則其中含紅球個數的數學期望是_________．（用數字作答）
【答案】
【解析】由題意知，此問題滿足參數為的二項分布，故．
【難度】***
【題干】同時拋擲枚均勻硬幣次，設枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的次數為，則的數學期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】拋擲一次，枚硬幣正好出現枚正面向上，枚反面向上的概率是，故
，因此數學期望為．
【難度】***
【題干】某批數量較大的商品的次品率是，從中任意地連續取出件，為所含次品的個數，求．
【答案】
【解析】由題意知，，所以．
【難度】**
【題干】甲、乙、丙人投籃，投進的概率分別是．
（1）現人各投籃次，求人都沒有投進的概率；
（2）用表示乙投籃次的進球數，求隨機變量的概率分布及數學期望．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）記"甲投籃次投進"為事件，"乙投籃1次投進"為事件，"丙投籃投
進"為事件，"人都沒有投進"為事件．則，
∴
，∴人都沒有投進的概率為．
（2）隨機變量的可能值有，且，
，．
【難度】***
【題干】拋擲兩個骰子，當至少有一個點或點出現時，就說這次試驗成功．
（1）求一次試驗中成功的概率；
（2）求在次試驗中成功次數的分布列及的數學期望與方差．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）一次試驗中，設事件表示“試驗成功”，則
．
（2）依題意得：，其概率分布列為
∴
【難度】***
【題干】某尋呼臺共有客戶人，若尋呼臺準備了份小禮品，邀請客戶在指定時間來領取．假設任一客戶去領獎的概率為．問：尋呼臺能否向每一位顧客都發出獎邀請？若能使每一位領獎人都得到禮品，尋呼臺至少應準備多少禮品？
【答案】不能，尋呼臺至少應準備份禮品．
【解析】設來領獎的人數，
所以，可見，
所以，（人）（人）．答：不能，尋呼臺至少應準備份禮品．
【難度】***
【題干】某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有，參加過計算機培訓的有，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．
（1）任選名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；
（2）任選名下崗人員，記為人中參加過培訓的人數，求的分布和期望．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）任選名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件，“該人參加過計
算機培訓”為事件，由題設知，事件與相互獨立，且，．任
選名下崗人員，該人沒有參加過培訓的概率是：
．
所以該人參加過培訓的概率是．
（2）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以人中參加過培訓的人數服從二項分布．，．的期望是．
【難度】****
【題干】設進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．記表示進入商場的位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數，求的分布及期望．
【答案】見解析
【解析】記表示事件：進入商場的位顧客購買甲種商品，記表示事件：進入商場的
位顧客購買乙種商品，記表示事件：進入商場的位顧客至少購買甲、乙兩種商品中
的一種．則；
，故的分布
；；
；；所以．
【難度】****
【題干】某班級有人，設一年天中，恰有班上的（）個人過生日的天數為，求的期望值以及至少有兩人過生日的天數的期望值．
【答案】見解析
【解析】個人在哪天過生日可看成次獨立重復試驗，設某天過生日的人數為，則
，因此，天每天有多少人過
生日，又可看作次獨立重復試驗，因此．由二項分布的期望值
公式，知：．沒有人過生日的天數期望值為
．恰有一人過生日的天數期望值為．因此至少有兩人
過生日的天數的期望值為：．
【難度】*****
【題干】購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內出險，則可以獲得元的賠償金．假定在一年度內有人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立．已知保險公司在一年度內至少支付賠償金元的概率為．
（1）求一投保人在一年度內出險的概率；
（2）設保險公司開辦該項險種業務除賠償金外的成本為元，為保證盈利的期望不小于，求每位投保人應交納的最低保費（單位：元）．
【答案】（1）；（2）（元）
【解析】各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的人中出險的
人數為，則．（1）記表示事件：保險公司為該險種至少支付元賠
償金，則發生當且僅當，，
又，故．
（2）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和．支出，盈利，盈利的期望為，
由知，，
．
（元）．
【難度】****
【題干】某安全生產監督部門對家小型煤礦進行安全檢查（簡稱安檢）．若安檢不合格，則必須進行整改．若整改后復查仍不合格，則強行關閉．設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是，整改后安檢合格的概率是，計算（結果精確到）．
（1）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；
（2）平均有多少家煤礦必須整改；
（3）至少關閉一家煤礦的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）每家煤礦必須整改的概率是，且每家煤礦是否整改是相互獨立
的．設需要整改的煤礦數為，則．所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率
是：．
（2）的數學期望是，即平均有家煤礦必須整改．
（3）某煤礦被關閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經復查仍不合格，所以某煤礦被關閉的概率是，從而該煤礦不被關閉的概率是．由題意，每家煤礦是否被關閉是相互獨立的，所以至少關閉一家煤礦的概率是．
【難度】****
【題干】設一部機器在一天內發生故障的概率為，機器發生故障時全天停止工作．若一周個工作日里均無故障，可獲利潤萬元；發生一次故障可獲利潤萬元，只發生兩次故障可獲利潤萬元，發生三次或三次以上故障就要虧損萬元．求一周內期望利潤是多少？（精確到）
【答案】（萬元）
【解析】以表示一周天內機器發生故障的天數，則，于是有概率分布
．以表示一周內所獲利潤，則的概率分布為：
．．
.
故一周內的期望利潤為：（萬元）．
【難度】***
【題干】在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為，求的分布列及．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）設命中油罐的次數為，則當或時，油罐不能被引爆．
，．所以油罐被引爆的概率為；
（2）射擊次數的取值為．，，，．所以的分布列為：
．
【難度】****
【題干】某商場準備在國慶節期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品進行促銷活動．
（1）試求選出的種商品中至少有一種是日用商品的概率；
（2）商場對選出的某商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高元，同時，若顧客購買該商品，則允許有次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都獲得數額為的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否的概率都是，請問：商場應將每次中獎獎金數額最高定為多少元，才能使促銷方案對商場有利
【答案】（1）；（2）商場應將中獎獎金數額最高定為元，才能使促銷方案對商場
有利．
【解析】（1）從種服裝商品，種家電商品，種日用商品中，選出種商品一共有
種選法，選出的種商品中沒有日用商品的選法有種，所以選出的種商品中至少有一
種日用商品的概率為．
（2）顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量，設為，其所有可能值為．表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎，所以．
同樣的可得，，
．于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是
．要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金總額的期望值不大于商場的提價數額，因此應有，所以．
故商場應將中獎獎金數額最高定為元，才能使促銷方案對商場有利．
【難度】****
【題干】將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是．
（1）求小球落入袋中的概率；
（2）在容器入口處依次放入個小球，記為落入袋中的小球個數，試求的概率和的數學期望．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，
則事件的對立事件為，而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故，從而；
（2）顯然，隨機變量，故，．
【難度】*
【題干】一個袋中有大小相同的標有的個小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標號．若拿出球的標號是的倍數，則得分，否則得分．
（1）求拿次至少得分的概率；
（2）求拿次所得分數的分布列和數學期望．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）設拿出球的號碼是的倍數的為事件，則，，
拿次至少得分包括分和分兩種情況．，，
∴．
（2）的可能取值為，則
；；
；；；所以的分布列為
．或者本問中，得分的次數，，
故．
【難度】****
【題干】某計算機程序每運行一次都隨機出現一個五位的二進制數，其中的各位數中，，出現的概率為，出現的概率為．
記，當程序運行一次時，
（1）求的概率；
（2）求的概率分布和期望．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）已知，要使，只需后四位中出現個和個．
∴；
（2）的可能取值為．，
，，
，，
，∴的概率分布為：
．
【難度】****
【題干】某學生在上學路上要經過個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是．
（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】（1）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件．因為事件
等價于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅
燈”，所以事件的概率為．
（2）由題意可得，可能取的值為（單位：）．事件“”等價于事件“該學生在上學路上遇到次紅燈”，
所以．即的分布列是：
所以的期望是．
【url】
【難度】****
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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