資源簡介

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7.4.2超幾何分布
1）求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定的取值情況，然后利用排列、
2）件中所含這類物品件數是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為
，為和中較小的一個．我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布.
3）超幾何分布的期望與方差，．
【題干】某人可從一個內有張元，張元的袋子里任取張，求他獲得錢數的期望值．
【題干】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的道題中，甲能答對其中的題，乙能答對其中的題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出題進行測試，至少答對題才算合格．
（1）求甲答對試題數的分布列、數學期望與方差；
（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．
【題干】從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設隨機變量表示所選人中女生的人數．
（1）求的分布列；
（2）求的數學期望與方差；
（3）求“所選人中女生人數”的概率．
【題干】某次有人參加的數學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規定分及其以上為優秀.
（1）表格是這次考試成績的頻數分布表，求正整數，的值；
區間
人數
（2）現在要用分層抽樣的方法從這人中抽取人的成績進行分析，求其中成績為優秀的學生人數；
（3）在（2）中抽取的名學生中，要隨機選取名學生參加座談會，記“其中成績為優秀的人數”為，求的分布列與數學期望.
【題干】某班共有學生人，將一次數學考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）請根據圖中所給數據，求出的值；
（2）從成績在內的學生中隨機選名學生，求這名學生的成績都在內的概率；
（3）為了了解學生本次考試的失分情況，從成績在內的學生中隨機選取人的成績進行分析，用X表示所選學生成績在內的人數，求的分布列和數學期望．
【題干】在一次數學統考后，某班隨機抽取名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數據的莖葉圖．
（1）計算樣本的平均成績及方差；
（2）現從個樣本中隨機抽出名學生的成績，設選出學生的分數為分以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．
【題干】某人可從一個內有張元，張元的袋子里任取張，求他獲得錢數的期望值．
【題干】某人有一張元與張元，他從中隨機地取出張給孫兒、孫女，每人一張，求孫兒獲得錢數的期望值．
【題干】從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設隨機變量表示所選人中女生的人數．
（1）求的分布列；
（2）求的數學期望與方差；
（3）求“所選人中女生人數”的概率．
【題干】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的道題中，甲能答對其中的題，乙能答對其中的題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出題進行測試，至少答對題才算合格．
（1）求甲答對試題數的分布列、數學期望與方差；
（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．
【題干】一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是．
（1）若袋中共有個球，從袋中任意摸出個球，求得到白球的個數的數學期望；
（2）求證：從袋中任意摸出個球，至少得到個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數最少．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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7.4.2超幾何分布
1）求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定的取值情況，然后利用排列、
2）件中所含這類物品件數是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為
，為和中較小的一個．我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布.
3）超幾何分布的期望與方差，．
【題干】某人可從一個內有張元，張元的袋子里任取張，求他獲得錢數的期望值．
【答案】
【解析】張元，張元里任取兩張，有三種可能：事件一：兩張都是元共元，則；事件二：兩張都是元共元，則；事件三：一張是元的，另一張是元的共元，則，所以，他得到的錢數的數學期望是元.
【難度】**
【題干】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的道題中，甲能答對其中的題，乙能答對其中的題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出題進行測試，至少答對題才算合格．
（1）求甲答對試題數的分布列、數學期望與方差；
（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依題意，甲答對試題的概率分布如下：
甲答對試題的數學期望；
（2）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為、，則，，因為事件、相互獨立，所以甲、乙兩人考試均不合格的概率為，甲乙兩人至少有一人考試及格的概率為.
【難度】***
【題干】從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設隨機變量表示所選人中女生的人數．
（1）求的分布列；
（2）求的數學期望與方差；
（3）求“所選人中女生人數”的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）可能取的值為，，，，，，，
所以的分步列為： ；
（2）由（1）得的數學期望；
（3）由（1）得所選人中女生人數的概率.
【難度】***
【題干】某次有人參加的數學摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規定分及其以上為優秀.
（1）表格是這次考試成績的頻數分布表，求正整數，的值；
區間
人數
（2）現在要用分層抽樣的方法從這人中抽取人的成績進行分析，求其中成績為優秀的學生人數；
（3）在（2）中抽取的名學生中，要隨機選取名學生參加座談會，記“其中成績為優秀的人數”為，求的分布列與數學期望.
【答案】（1），；（2）；
（3），.
【解析】（1）依題意，，.
（2）設其中成績為優秀的學生人數為，則，解得：，即其中成績為優秀的學生人數為名.
（3）依題意，的取值為，，，，，，，所以的分布列為：
，所以的數學期望為.
【難度】****
【題干】某班共有學生人，將一次數學考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）請根據圖中所給數據，求出的值；
（2）從成績在內的學生中隨機選名學生，求這名學生的成績都在內的概率；
（3）為了了解學生本次考試的失分情況，從成績在內的學生中隨機選取人的成績進行分析，用X表示所選學生成績在內的人數，求的分布列和數學期望．
【答案】（1）；（2）；
（3），.
【解析】（1）根據頻率分布直方圖中的數據，可得，所以.
（2）學生成績在內的共有人，在內的共有人，成績在內的學生共有人.設“從成績在的學生中隨機選名，且他們的成績都在內”為事件，則.
（3）依題意，的可能取值是，，…，；；.的分布列為：
【難度】***
【題干】在一次數學統考后，某班隨機抽取名同學的成績進行樣本分析，獲得成績數據的莖葉圖．
（1）計算樣本的平均成績及方差；
（2）現從個樣本中隨機抽出名學生的成績，設選出學生的分數為分以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．
【答案】（1），；（2），.
【解析】（1）樣本的平均成績，方差為.
（2）由題意知選出學生的分數為分以上的人數為，得到隨機變量，，.，，.所以隨機變量的分布列為：
.
【難度】***
【題干】某人可從一個內有張元，張元的袋子里任取張，求他獲得錢數的期望值．
【答案】．
【解析】方法一：設他取得元的張數為，則服從參數為的超幾何分布．
．時他所獲得的錢數分別為．因此他獲得錢數的期望值為：
元．
方法二：設他取得元的張數為，則服從參數為的超幾何分布．由公式知．因此他獲得錢數的期望值為：元．
【難度】***
【題干】某人有一張元與張元，他從中隨機地取出張給孫兒、孫女，每人一張，求孫兒獲得錢數的期望值．
【答案】．
【解析】方法一：設他取出元的張數為，則服從參數為的超幾何分布．
．時他所取出的錢數分別為．
因此他取出錢數的期望值為：．孫兒獲得錢數的期望值為．
方法二：設他取得元的張數為，則服從參數為的超幾何分布．
由公式知．因此他取出錢數的期望值為：元．
【難度】***
【題干】從名男生和名女生中任選人參加演講比賽，設隨機變量表示所選人中女生的人數．
（1）求的分布列；
（2）求的數學期望與方差；
（3）求“所選人中女生人數”的概率．
【答案】（1）的分布列為
（2）；；（3）．
【解析】（1）可能取的值為．．
所以，的分布列為
（2）由（1），的數學期望為；（注：服從參數為的超幾何分布，故由公式得）；
（3）由（1），“所選人中女生人數”的概率為．
【難度】***
【題干】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的道題中，甲能答對其中的題，乙能答對其中的題．規定每次考試都從備選題中隨機抽出題進行測試，至少答對題才算合格．
（1）求甲答對試題數的分布列、數學期望與方差；
（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率．
【答案】（1）甲答對試題數的分布列如下：
．；（2）．
【解析】（1）依題意，可能取的值為，．
甲答對試題數的分布列如下：
甲答對試題數的數學期望．
；（注：服從參數為的超幾何分布，故由公式得）
（2）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為、，則，．因為事件、相互獨立，
法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為．
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為．
法二：∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為
．
【難度】***
【題干】一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是．
（1）若袋中共有個球，從袋中任意摸出個球，求得到白球的個數的數學期望；
（2）求證：從袋中任意摸出個球，至少得到個黑球的概率不大于．并指出袋中哪種顏色的球個數最少．
【答案】（1）．（2）證明見解析
【解析】（1）設袋中白球的個數為，則“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”的概率為：，解得．即白球有個．設從袋中任意摸出個球，得到白球的個數為，則隨機變量服從參數為的超幾何分布．因此數學期望為：．
（2）設袋中有個球，則由題意其中黑球個數為，因此．設從袋中任意摸出個球，得到黑球的個數為，則服從參數為的超幾何分布．因此．要證，只需證，即，只需證，該式化簡后即為，這是成立的．因此從袋中任意摸出個球，至少得到個黑球的概率不大于．又已知從袋中任意摸出個球，至少得到個白球的概率是，所以白球比黑球多，從而紅球的個數最少．
【難度】****
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