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壓軸小題3 抽象函數問題
【2023年12月蘇州市部分高中高三上聯考第12題】定義在上的函數同時滿足：（1）；（2），則下列結論正確的是（ ）
A. B.為偶函數
C.存在，使得 D.任意，有
角度一、令結合滿足條件可判定A，令結合偶函數的性質可排除B，利用累加法得結合適當放縮可判定C，構造，結合條件判定是以1為周期的周期函數，再根據絕對值不等式放縮可判定D.
角度二、直接賦值得，根據得，再令，可判定A、B，利用累加法，直接解不等式可判定C，取分類討論可判定D.
解法一：直接法1
對于選項A：因為，
令，則，即，
又因為，即，
可知，即，解得，故A正確；
對于選項B：由選項A可得.
令，則，即，
可知，所以不為偶函數，故B錯誤；
對于選項C：因為，
當時，
，
且符合上式，所以，
令，則，
即存在，使得，故C正確；
對于選項D：令，則
即，即是以1為周期的周期函數，
因為當，則
，
結合周期性可知對任意，均有，
所以，
故D正確；綜上：選ACD.
角度二、
對于：由得，
又，
所以.
又由得，
所以對，錯；
對于：
累加得：
，
，
令，得，
，所以對；
對于：取，
①當時，，
②當時，，
所以對.綜上：選ACD.
（2024·四川瀘州·二模）
1．已知，都是定義在R上的函數，對任意x，y滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C．函數的圖象關于直線對稱 D．
2．是定義在R上的函數，，函數為偶函數，且當時，，下列結論正確的是（ ）
A．的圖像關于點對稱
B．的圖像關于直線對稱
C．的值域為
D．的實數根個數為6
構造特殊函數，由條件待定系數解得可判定A、B，直接解不等式可判定C，分類討論解絕對值不等式可判定D.
對于：令，，
，.
因為當時，恒成立，
即恒成立，
所以，且.
，對稱軸不是軸，
所以A正確，B錯誤；
對于：，
即符合題意，所以C正確；
對于：，即，
即.
①對于，即，
當時，上式即，顯然成立，
當時，顯然也成立；
②對于，即，
當時，顯然恒成立，
當，上式即為，顯然恒成立，
所以對.綜上，選ACD.
（2023·四川達州·一模）
3．函數滿足，令，對任意的，都有，若，則（ ）
A． B．3 C．1 D．
4．已知定義在上的函數對任意均有：且不恒為零.則下列結論正確的是 .①；②；③或；④函數為偶函數；⑤若存在實數使，則為周期函數且為其一個周期.
（22-23高三上·山東濰坊·期末）
5．已知定義在上的函數滿足，對，，有，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·云南楚雄·模擬預測）
6．已知函數，的定義域均為，且，，，若，且，則（ ）
A．305 B．302 C．300 D．400
（2023·云南·模擬預測）
7．已知定義在R上的函數，對于任意的 恒有，且，若存在正數t，使得，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C．為偶函數 D．為周期函數
（2022·上海徐匯·三模）
8．已知定義在R上的函數滿足，當時，．設在區間（）上的最小值為．若存在，使得有解，則實數的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可判斷A、D，取可判斷C，對于B，通過觀察選項可以推斷很可能是周期函數，結合的特殊性及一些已經證明的結論，想到令和時可構建出兩個式子，兩式相加即可得出，進一步得出是周期函數，從而可求的值.
【詳解】對于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，結合得，
所以，故A錯誤；
對于D，因為，令，代入已知等式得，
將，代入上式，得，所以函數為奇函數.
令，，代入已知等式，得，
因為，所以，
又因為，所以，
因為，所以，故D正確；
對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：
，，
兩式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以為周期函數，且周期為，
因為，所以，所以，，
所以，
所以
，故B錯誤；
對于C，取，，滿足及，
所以，又，
所以函數的圖像不關于直線對稱，故C錯誤；
故選：D.
【點睛】思路點睛：對于含有的抽象函數的一般解題思路是：觀察函數關系，發現可利用的點，以及利用證明了的條件或者選項；抽象函數一般通過賦值法來確定、判斷某些關系，特別是有雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關系式，進而得到所需的關系，此過程中的難點是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設條件以及選項來決定.
2．BC
【分析】利用可判斷A;根據函數滿足的性質推得和皆為的圖象的對稱軸，可判斷B;數形結合判斷C;數形結合，將的實數根個數問題轉化為函數圖象的交點問題，判斷D.
【詳解】由題意可知當時，，
故，則，
即的圖象不關于點對稱，A錯誤；
將代入中的x可得，故4為函數的周期；
函數為偶函數，可得，則的圖象關于直線對稱，即有，
則，故的圖象也關于直線對稱，
由于4為函數的周期，故和皆為的圖象的對稱軸，
當時，，故B正確；
因為，所以由函數性質作出函數的圖象如圖，可知函數值域為，C正確；
方程的根即與的圖象的交點的橫坐標，
因為當時，，
當時，，當時，，
所以與的圖象共有7個交點，
即方程的實數根個數為7，故D錯誤.
故選：BC
【點睛】方法點睛：（1）抽象函數的奇偶性以對稱性結合問題，往往要采用賦值法，推得函數周期性；（2）方程根的個數問題，往往采用數形結合，將根的問題轉化為函數圖象交點問題.
3．A
【分析】根據變形得到，即，再根據，，計算得到，，從而得到，由求出答案.
【詳解】因為，所以，
即，，
故，所以是奇函數，
令，解得：，
故，解得：，則，
令，解得：，
故，解得：，則，
依次可得：
，解得：，則，
則，故，
中，令得：，
所以,
故選：A
【點睛】方法點睛：抽象函數對稱性與周期性的判斷如下：
若，則函數關于對稱；
若，則函數關于中心對稱；
若，則是的一個周期
4．②④
【分析】根據賦值法及抽象函數的奇偶性、周期性一一判定結論即可.
【詳解】令，則恒成立，
因為不恒為零，所以，即②正確，①③錯誤；
令，則恒成立，
所以函數為偶函數，即④正確；
令，則，
所以，
則為周期函數且為其一個周期，即⑤錯誤.
故答案為：②④
5．A
【分析】由已知可推得，令，得出.設，則，由，可得.又，代入求和即可得出結果.
【詳解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
設，則，整理可得.
又，所以，所以.
則，
所以.
故選：A.
【點睛】方法點睛：對于抽象函數的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數值，賦確定值及可變值可得函數關系式.
6．A
【分析】利用給定等式，結合賦值法探討函數的周期性，再求出的值即可得解.
【詳解】函數的定義域均為，由，得，
又，則，
于是，即，
由，得，又，
則，即，因此，
即，，
則函數是周期函數，周期為4，由，得，，
由，，得，于是，
所以.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：涉及由抽象的函數關系求函數值，根據給定的函數關系，作變量替換探討函數性質，并在對應的區間上賦值即可求解.
7．BCD
【分析】根據條件運用賦值法逐項分析.
【詳解】對于A，對于任意的 恒有，
令可得：，又， ，A錯誤；
對于B，對于任意的恒有，
令，則有，即，則有，B正確；
對于C，對于任意的恒有，
令，則有，變形可得，則為偶函數，C正確；
對于D，對于任意的恒有，
令可得：，，
，即是周期為的周期函數，D正確；
故選：BCD.
8．
【分析】先利用換元法分別求出當，，，時的的解析式，進而求出，由存在使得有解得到有解，進而轉化為，再通過的單調性進行即可求解.
【詳解】當時，，
因為定義在上的函數滿足，
所以，
令，則，
當時，有，
即當時，，
又，
令，則，，有，
所以當時，，
同理可得，時，，
根據規律，得當，，
且此時的在單調遞增，
又因為為在區間上的最小值，
所以，，，，，
若存在，使得有解，
則有有解，進而必有，
令，設最大，則，
即，即，即最大；
所以當時，有，
所以.
故答案為：
【點睛】易錯點睛：本題的易錯點在由有解得到，而不是，要注意不等式恒成立和不等式有解的等價條件的區別：
若恒成立，則；
若有解，則.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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