資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4-1 因式分解+專題4-2 提取公因式法
模塊1：學習目標
1. 使學生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法之間的聯系。
2. 了解公因式和提公因式的方法，會用提公因式法分解因式。
3. 理解因式分解的最后結果是每個因式都不能分解。
4. 在探索提供公式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透劃歸的思想方法。
模塊2：知識梳理
1.因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。
2.掌握其定義應注意以下幾點：
（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
（2）因式分解必須是恒等變形； （3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止。
3.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系：因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式。
4.公因式：像多項式 pa pb+ pc，它的各項都有一個公共的因式p，我們把這個公共因式p叫做這個多項式各項的公因。
注意：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數一各項系數的最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數；
5.提公因式
提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項。
注意：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；
②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的系數是正的。
模塊3：核心考點與典例
考點1、因式分解的定義
例1．（23-24八年級上·河北廊坊·期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將一個多項式化為幾個整式的積的形式即為因式分解，據此逐項判斷即可．本題考查因式分解的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
【詳解】解：是乘法運算，則A不符合題意；
中，其右邊不是積的形式，則B不符合題意；
中左右兩邊不相等，則C不符合題意；
符合因式分解的定義，則D符合題意；故選：D．
變式1.（23-24七年級下·江蘇蘇州·階段練習）下列式子從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根據分解因式的定義，依次判斷，即可求解，
本題考查了因式分解的定義，解題的關鍵是：熟練掌握因式分解的定義．
【詳解】解：、是因式分解，符合題意，
、，不符合題意，
、，等式左邊不是多項式，不是因式分解，不符合題意，
、，是整式的乘法，不符合題意，故選：．
變式2.（23-24八年級上·山東日照·期末）下列從左到右的變形：①；②；③；④；其中是因式分解的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
【答案】A
【分析】本題主要考查了因式分解的定義，因式分解是整式的變形，并且因式分解與整式的乘法互為逆運算．因式分解就是把多項式分解成幾個整式積的形式，根據定義即可進行判斷．
【詳解】解：①符合因式分解的定義，是因式分解；
②右邊不是整式的積，不是因式分解；
③等式左邊不是多項式，不是因式分解；
④是整式的乘法運算，不是因式分解，是因式分解的個數是個，故選：A．
考點2、根據因式分解的結果求參數
例1．（22-23七年級下·浙江溫州·期中）若多項式因式分解的結果為，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【分析】將展開，得到p，q的值即可得到答案；
【詳解】解：∵，∴，，∴，故選A．
【點睛】本題考查因式分解得逆運算，解題的關鍵是得出p，q的值．
變式1. （23-24八年級上·云南昭通·階段練習）若多項式可分解為，則a的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了因式分解和多項式乘以多項式法則，先根據多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項，再根據已知條件求出答案即可．
【詳解】解：，
把多項式分解因式，得，，故選：B．
變式2. （23-24八年級上·山東淄博·期中）將多項式進行因式分解得到，則分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了因式分解和多項式乘以多項式法則，能正確根據多項式乘以多項式法則展開是解此題的關鍵．先根據多項式乘以多項式法則展開，再合并同類項，再根據已知條件求出答案即可．
【詳解】解：
∴∴故選A
考點3、根據部分因式求參數
例1．（22-23八年級上·河南開封·期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為，則，即，∴，解得．故另一個因式為，m的值為．
仿照上面的方法解答下面問題：
已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．
【答案】，
【分析】設另一根因式為，可得，再建立方程組，再解方程組即可得到答案．
【詳解】解：∵二次三項式有一個因式是，
∴設另一根因式為，∴，
∴，解得：，∴另一根因式為：．
【點睛】本題考查的是因式分解的含義，二元一次方程組的解法，熟練的利用待定系數法建立方程組是解本題的關鍵．
變式1.（23-24八年級上·山東威海·階段練習）已知多項式有一個因式為，則的值為（ ）
A． B．10 C．5 D．20
【答案】A
【分析】根據多項式的次數為2以及最高次項的系數為2，設多項式另一個因式為，則，將右邊等式去括號展開后，再根據等式兩邊對應未知數的系數相等，即可求出的值及的值．
【詳解】解：根據題意，設多項式另一個因式為，則
，等式右邊展開，得，
，，，解得，，故選：A．
【點睛】本題考查了多項式的因式分解，熟練掌握多項式的因式分解方法是解題關鍵．
變式2. （23-24八年級上·吉林長春·期末）1637年笛卡爾（R．Descartes，1596－1650）在其《幾何學》中，首次應用待定系數法最早給出因式分解定理．關于笛卡爾的“待定系數法”原理，舉例說明如下：
分解因式：．
解：觀察可知，當時，原式．∴原式可分解為與另一個整式的積．
設另一個整式為．則，
∵，
∴
∵等式兩邊同次冪的系數相等，則有：，解得．∴．
根據以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答以下問題：
(1)根據以上材料的方法，分解因式的過程中，觀察可知，當______時，原式，所以原式可分解為______與另一個整式的積．若設另一個整式為．則______，______．
(2)已知多項式（為常數）有一個因式是，求另一個因式以及的值．
下面是小明同學根據以上材料方法，解此題的部分過程，請幫小明完成他的解答過程．
解：設另一個因式為，則．……
(3)已知二次三項式（為常數）有一個因式是，則另一個因式為_____，的值為______．
【答案】(1)；；；(2)解題過程見詳解，(3)；
【分析】（1）根據材料提示，當時，的值為，由此即可求解；（2）多項式（為常數）有一個因式是，設另一個因式為，根據材料提示，即可求解；（3）多項式（為常數）有一個因式是，則另一個因式為，根據材料提示，即可求解．
【詳解】（1）解：當時，的值為，
∴原式可分解為與另一個整式的積，設另一個整式為，∴，
∵，∴，
∴，解得，，∴，故答案為：；；；．
（2）解：多項式（為常數）有一個因式是，設另一個因式為，則，
∵，∴，
∴，解方程得，，∴多項式（為常數）為，
∴因式分解為．
（3）解：多項式（為常數）有一個因式是，設另一個因式為，
∴，
∵，∴，
∴，解方程組得，，∴多項式（為常數）為，
∴因數分解為，故答案為：，．
【點睛】本題主要考查因數分解，掌握整式的混合運算是解題的關鍵．
考點4、公因式
例1．（23-24八年級上·山東威海·期末）多項式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了公因式的定義．確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數，即確定各項系數的最大公約數；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．根據多項式的公因式的確定方法，即可求解．
【詳解】解：多項式的公因式是，故選C．
變式1. （23-24八年級上·河南周口·階段練習）下列各式中，沒有公因式的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】B
【分析】根據公因式的定義逐一分析即可．
【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項不符合題意；
B、與沒有公因式，故本選項符合題意；
C、與有公因式，故本選項不符合題意；
D、與有公因式，故本選項不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關鍵．
變式2. （2024·河北石家莊·一模）整式，，下列結論：
結論一：． 結論二：，的公因式為．下列判斷正確的是（ ）
A．結論一正確，結論二不正確 B．結論一不正確，結論二正確
C．結論一、結論二都正確 D．結論一、結論二都不正確
【答案】A
【分析】本題考查了單項式乘以多項式，公因式的定義；根據單項式乘以多項式，公因式的定義，判斷即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，故結論一正確；
∵，∴，的公因式為，故結論二不正確；故選：A．
考點5、提公因式法分解因式
例1．（23-24七年級下·浙江·課后作業）用提公因式法將下列各式分解因式：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查的是題公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本題的關鍵；
（1）提取公因式，再分解因式即可；（2）提取公因式，再分解因式即可；
【詳解】（1）解：．
（2）；
變式1. （2024·浙江·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了提公因式法因式分解，提公因式，即可求解．
【詳解】解：．故答案為：．
變式2. （23-24七年級下·浙江·課后作業）分解因式：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)．
【分析】本題考查了提公因式法因式分解．（1）先確定公因式，再進行因式分解即可求解；
（2）先將原式變形為，即可提公因式法分解因式；
（3）先確定公因式，即可提公因式法分解因式．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
考點6、提公因式法分解因式的應用
例1．（22-23八年級下·四川成都·期末）已知長方形的長和寬分別是a，b，周長是20，面積是15．則的值是（　　）
A．35 B．150 C．300 D．600
【答案】B
【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數式的值，提公因式分解因式，先根據長方形的周長和面積求出和的值，然后代入化簡后的代數值求解即可．
【詳解】解：∵長方形周長為20， ∴，∴．
∵長方形的面積為15， ∴， ∴． 故選：B．
變式1. （23-24八年級·廣東佛山·階段練習）根據下邊圖形寫一個關于因式分解的等式 ．

【答案】
【分析】根據圖形的面積大長方形的面積，又等于各部分的面積之和，即可得到等式．
【詳解】解：圖形的面積，
又圖形的面積，，故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，用兩種方法求出大長方形的面積是解題的關鍵．
變式2. （22-23八年級上·廣西南寧·期末）如圖，把三個電阻串聯起來，線路上的電流為，電壓為，則．當，時，的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解的應用，根據題目特點可用提公因式的方法進行因式分解．用提公因式法把因式分解為，再進行計算求值．
【詳解】解：．故答案為：．
變式3．（23-24八年級上·四川宜賓·期中）生活中我們經常用到密碼，如手機解鎖、密碼支付等．為方便記憶，有一種用“因式分解”法產生的密碼，其原理是：將一個多項式分解成多個因式，如：將多項式分解結果為．當時，，，此時可得到數字密碼202317．將多項式因式分解后，利用題目中所示的方法，當時可以得到密碼121314，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了因式分解的應用．對多項式提取公因式后，根據密碼即可確定另兩個因式，從而求解．
【詳解】解：，
由題意知：，而，
∴，∴；故答案為：6．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級上·陜西渭南·期末）下面從左到右的變形，進行因式分解正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據因式分解的定義：把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式．
本題考查了因式分解的定義，熟記定義是解本題的關鍵，
【詳解】解：A、屬于整式的乘法計算，不符合題意；
B、因式分解錯誤，不符合題意；C、屬于因式分解，符合題意；
D、因式分解錯誤，不符合題意；；故選：C．
2．（23-24八年級上·貴州遵義·階段練習）對于① ，②，從左到右的變形，表述正確的（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解，整式的乘法運算，根據因式分解，乘法運算的定義即可求解．
【詳解】解：①是因式分解，②是乘法運算．故選：C．
3．（23-24八年級上·山東威海·期末）在多項式中，各項的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了多項式的公因式，根據多項式的公因式定義來進行求解．
【詳解】解：在多項式中，各項的公因式是，故選：A．
4．（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）把多項式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求結果．熟練掌握提公因式是解決問題的關鍵．
【詳解】，則余下的部分是x．故選：C．
5．（23-24八年級下·浙江·課后作業）把多項式分解因式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題考查了提公因式法分解因式等知識，利用提公因式法將分解為，問題得解．
【點睛】解：．故選：C
6．（23-24八年級下·河北承德·開學考試）如果，，則計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解的應用，分解因式并整體代入即可求解．
【詳解】解：，當，時，原式，故選：C．
7．（23-24八年級上·山東濟南·期末）利用因式分解計算
A．1 B．2023 C．2024 D．
【答案】B
【分析】本題考查因式分解計算，涉及提公因式因式分解，根據題意，提公因式即可簡化運算求值，熟練掌握因式分解方法是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，故選：B．
8．（23-24八年級上·福建泉州·期末）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則a的值為（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】本題考查的是因式分解的應用，整式乘法與因式分解的關系，理解題意得出多項式的另一個因式為是解本題的關鍵．
【詳解】解：設，則，
∴，解得：，故選C．
9．（2023七年級下·江蘇·專題練習）若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】首先設原式，進而求出即可．
【詳解】解：原式
故，，，
解得：，，或，，，∴．故選C．
【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關鍵．
10．（22-23七年級下·北京通州·期末）如圖，有類，類正方形卡片兩種和類長方形卡片若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形（要求：拼接的卡片無空隙無重疊），那么需要類卡片（ ）
A．7張 B．6張 C．5張 D．4張
【答案】A
【分析】根據所有類，類正方形卡片和類長方形卡片的面積之和與長為，寬為的大長方形的面積之和相等，利用多項式乘以多項式的計算法則求出大長方形面積即可得到答案．
【詳解】解：，
∵所有類，類正方形卡片和類長方形卡片的面積之和與長為，寬為的大長方形的面積之和相等，∴3張類正方形卡片，2張類正方形卡片和7張類長方形卡片即可拼成一個長為，寬為的大長方形，故選A．
【點睛】本題主要考查了因式分解與多項式乘以多項式之間的關系，正確理解題意得到所有類，類正方形卡片和類長方形卡片的面積之和與長為，寬為的大長方形的面積之和相等是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習）在中，從左到右的變形是 ，從右到左的變形是 ．
【答案】 整式乘法 因式分解
【分析】此題主要是考查了因式分解的意義，根據因式分解的定義、整式乘法的定義和平方差公式進行求解，緊扣因式分解的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：在中，從左到右的變形是整式乘法，從右到左的變形是因式分解，
故答案為：整式乘法，因式分解．
12．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）已知，多項式可因式分解為，則的值為 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了多項式乘法與分解因式之間的關系，根據多項式乘以多項式的計算法則求出的結果即可得到答案．
【詳解】解：∵，多項式可因式分解為，
∴，∴，即，故答案為：1．
13．（23-24七年級上·上海長寧·期中）和的最大公因式是 ．
【答案】
【分析】本題考查了公因式定義，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的找出公因式即可．
【詳解】解：和的最大公因式是，故答案為：．
14．（2024·云南·模擬預測）分解因式 ．
【答案】
【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用提公因式法分解因式即可．
【詳解】．故答案為：．
15．（23-24八年級上·吉林延邊·期末）若，，則的值為 ．
【答案】6
【分析】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵．將原式提取公因式，進而分解因式，將已知代入求出即可．
【詳解】解：；故答案為：6．
16．（23-24八年級上·福建福州·期末）若關于的二次三項式含有因式，則實數的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解的意義．根據多項式乘法的法則，中與4相乘可得到，則可知：含有因式和，據此可得的值．
【詳解】解：，所以的數值是．故答案為：．
17．（23-24八年級上·海南海口·期中）如圖，邊長為的長方形，它的周長為10，面積為6，則的值為 ．
【答案】30
【分析】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關鍵．
【詳解】解：邊長為，的長方形，它的周長為10，面積為6，，，
．故答案為：30．
18．（23-24八年級·廣西貴港·期中）在將因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得；小芳看錯了n的值，分解得，那么原式正確分解為 .
【答案】
【分析】利用多項式乘多項式法則先算乘法，根據因式分解與乘法的關系及小剛、小明沒有看錯的值確定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．
【詳解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，
∵小剛看錯了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
∵小芳看錯了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案為：（x﹣3）（x+2）．
【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根據乘法與因式分解的關系確定m、n的值是解決本題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）因式分解：(1)；(2)
【答案】(1)；(2)；
【分析】本題考查因式分解：（1）直接提取公因式即可得到答案；（2）直接提取公因式即可得到答案；
【詳解】（1）解：原式
（2）解：原式 ．
20．（23-24八年級下·浙江·課后作業）用提公因式法分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的判定是解本題的關鍵；
（1）提取公因式分解因式即可：（2）提取公因式分解因式即可：
（3）提取公因式分解因式即可：（4）提取公因式分解因式即可：
【詳解】（1）解：．
（2）．
（3）．
（4）．
21．（22-23八年級下·貴州貴陽·期中）已知，，求的值．
【答案】30
【分析】本題主要考查了已知式子的值，求代數式的值，先用提公因式法將代數式化簡包含有已知式子的樣式，然后整體代入求解即可．
【詳解】解：，
∵，，∴原式
22．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）若是的一個因式，求的值．
【答案】
【分析】設另一個因式為，則有，進行整理使得左右式子對應系數相等求出m、n值即可求解．
【詳解】解：設另一個因式為，則有，
即，∴，，∴，．
【點睛】本題考查因式分解、整式的混合運算，熟知因式分解是把多項式轉化為幾個整式積的形式是解答的關鍵．
23．（2023春·浙江七年級課時練習）通過計算說明能被整除．
【答案】見解析
【分析】先利用有理數的乘方的逆運算將進行變形，再提取公因子，由此即可得出答案．
【詳解】解：因為
，所以能被整除．
【點睛】本題考查了有理數的乘方的逆運算、乘法的分配律，掌握有理數的乘方的逆運算是解題關鍵．
24．（23-24八年級上·湖南懷化·開學考試）【例題講解】因式分解：．
為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，
展開等式右邊得：，恒成立．
等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等，即，解得，
．
【方法歸納】設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數法．
【學以致用】(1)若，則________；
(2)若有一個因式是，求的值及另一個因式．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）將展開，再根據題干的方法即可求解；
（2）設多項式另一個因式為，利用題干給出的待定系數法求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴，∴，故答案為：；
（2）設多項式另一個因式為，
則
，，，，，，即另一個式子為：．
【點睛】本題主要考查了多項式的乘法，因式分解等知識，掌握題干給出的待定系數法，是解答本題的關鍵．
25．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式分解因式后有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解：設另一個因式為，得，則，
，解得：，，另一個因式為，的值為．
請仿照上述方法解答下面問題：(1)若，則______，______；
(2)已知二次三項式分解因式后有一個因式是，求另一個因式以及的值；
(3)已知二次三項式有一個因式是，是正整數，求另一個因式以及的值．
【答案】(1)，(2)，(3)另一個因式是，的值是2
【分析】（1）將，等式右邊展開，根據對應項系數相等，即可求解，
（2）設另一個因式為：，根據多項式的乘法運算法則展開，根據對應項系數相等，即可求解，
（3）設另一個因式是，根據多項式的乘法運算法則展開，根據對應項系數相等，即可求解，
本題考查了，根據因式分解的結果求參數，多項式乘多項式，解題的關鍵是：理解因式分解與多項式乘法互為逆運算．
【詳解】（1）解：，，，故答案為：，，
（2）解：設另一個因式為：，
則，
，解得：，，
另一個因式是，故答案為：，，
（3）解：設另一個因式是，則
則，解得：或，
是正整數，，另一個因式是；（不符合題意舍去），
另一個因式是，a的值是2．
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專題4-1 因式分解+專題4-2 提取公因式法
模塊1：學習目標
1. 使學生了解因式分解的概念，以及因式分解與整式乘法之間的聯系。
2. 了解公因式和提公因式的方法，會用提公因式法分解因式。
3. 理解因式分解的最后結果是每個因式都不能分解。
4. 在探索提供公式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透劃歸的思想方法。
模塊2：知識梳理
1.因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。
2.掌握其定義應注意以下幾點：
（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
（2）因式分解必須是恒等變形； （3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止。
3.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系：因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式。
4.公因式：像多項式 pa pb+ pc，它的各項都有一個公共的因式p，我們把這個公共因式p叫做這個多項式各項的公因。
注意：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數一各項系數的最大公約數；②字母——各項含有的相同字母；③指數——相同字母的最低次數；
5.提公因式
提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項。
注意：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；
②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的系數是正的。
模塊3：核心考點與典例
考點1、因式分解的定義
例1．（23-24八年級上·河北廊坊·期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
變式1.（23-24七年級下·江蘇蘇州·階段練習）下列式子從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．C． D．
變式2.（23-24八年級上·山東日照·期末）下列從左到右的變形：①；②；③；④；其中是因式分解的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
考點2、根據因式分解的結果求參數
例1．（22-23七年級下·浙江溫州·期中）若多項式因式分解的結果為，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．9
變式1. （23-24八年級上·云南昭通·階段練習）若多項式可分解為，則a的值為（ ）
A． B．2 C． D．
變式2. （23-24八年級上·山東淄博·期中）將多項式進行因式分解得到，則分別是（ ）
A． B． C． D．
考點3、根據部分因式求參數
例1．（22-23八年級上·河南開封·期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為，則，即，∴，解得．故另一個因式為，m的值為．
仿照上面的方法解答下面問題：
已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式以及k的值．
變式1.（23-24八年級上·山東威海·階段練習）已知多項式有一個因式為，則的值為（ ）
A． B．10 C．5 D．20
變式2. （23-24八年級上·吉林長春·期末）1637年笛卡爾（R．Descartes，1596－1650）在其《幾何學》中，首次應用待定系數法最早給出因式分解定理．關于笛卡爾的“待定系數法”原理，舉例說明如下：
分解因式：．
解：觀察可知，當時，原式．∴原式可分解為與另一個整式的積．
設另一個整式為．則，
∵，
∴
∵等式兩邊同次冪的系數相等，則有：，解得．∴．
根據以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答以下問題：
(1)根據以上材料的方法，分解因式的過程中，觀察可知，當______時，原式，所以原式可分解為______與另一個整式的積．若設另一個整式為．則______，______．
(2)已知多項式（為常數）有一個因式是，求另一個因式以及的值．
下面是小明同學根據以上材料方法，解此題的部分過程，請幫小明完成他的解答過程．
解：設另一個因式為，則．……
(3)已知二次三項式（為常數）有一個因式是，則另一個因式為_____，的值為______．
考點4、公因式
例1．（23-24八年級上·山東威海·期末）多項式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （23-24八年級上·河南周口·階段練習）下列各式中，沒有公因式的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
變式2. （2024·河北石家莊·一模）整式，，下列結論：
結論一：． 結論二：，的公因式為．下列判斷正確的是（ ）
A．結論一正確，結論二不正確 B．結論一不正確，結論二正確
C．結論一、結論二都正確 D．結論一、結論二都不正確
考點5、提公因式法分解因式
例1．（23-24七年級下·浙江·課后作業）用提公因式法將下列各式分解因式：
(1)；(2)．
變式1. （2024·浙江·一模）分解因式： ．
變式2. （23-24七年級下·浙江·課后作業）分解因式：
(1)；(2)；(3)．
考點6、提公因式法分解因式的應用
例1．（22-23八年級下·四川成都·期末）已知長方形的長和寬分別是a，b，周長是20，面積是15．則的值是（　　）
A．35 B．150 C．300 D．600
變式1. （23-24八年級·廣東佛山·階段練習）根據下邊圖形寫一個關于因式分解的等式 ．

變式2. （22-23八年級上·廣西南寧·期末）如圖，把三個電阻串聯起來，線路上的電流為，電壓為，則．當，時，的值為 ．
變式3．（23-24八年級上·四川宜賓·期中）生活中我們經常用到密碼，如手機解鎖、密碼支付等．為方便記憶，有一種用“因式分解”法產生的密碼，其原理是：將一個多項式分解成多個因式，如：將多項式分解結果為．當時，，，此時可得到數字密碼202317．將多項式因式分解后，利用題目中所示的方法，當時可以得到密碼121314，則 ．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級上·陜西渭南·期末）下面從左到右的變形，進行因式分解正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·貴州遵義·階段練習）對于① ，②，從左到右的變形，表述正確的（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
3．（23-24八年級上·山東威海·期末）在多項式中，各項的公因式是( )
A． B． C． D．
4．（22-23八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）把多項式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年級下·浙江·課后作業）把多項式分解因式正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（23-24八年級下·河北承德·開學考試）如果，，則計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
7．（23-24八年級上·山東濟南·期末）利用因式分解計算
A．1 B．2023 C．2024 D．
8．（23-24八年級上·福建泉州·期末）若多項式能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式為，則a的值為（ ）
A． B．5 C．1 D．
9．（2023七年級下·江蘇·專題練習）若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
10．（22-23七年級下·北京通州·期末）如圖，有類，類正方形卡片兩種和類長方形卡片若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形（要求：拼接的卡片無空隙無重疊），那么需要類卡片（ ）
A．7張 B．6張 C．5張 D．4張
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習）在中，從左到右的變形是 ，從右到左的變形是 ．
12．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）已知，多項式可因式分解為，則的值為 ．
13．（23-24七年級上·上海長寧·期中）和的最大公因式是 ．
14．（2024·云南·模擬預測）分解因式 ．
15．（23-24八年級上·吉林延邊·期末）若，，則的值為 ．
16．（23-24八年級上·福建福州·期末）若關于的二次三項式含有因式，則實數的值是 ．
17．（23-24八年級上·海南海口·期中）如圖，邊長為的長方形，它的周長為10，面積為6，則的值為 ．
18．（23-24八年級·廣西貴港·期中）在將因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得；小芳看錯了n的值，分解得，那么原式正確分解為 .
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）因式分解：(1)；(2)
20．（23-24八年級下·浙江·課后作業）用提公因式法分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
21．（22-23八年級下·貴州貴陽·期中）已知，，求的值．
22．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）若是的一個因式，求的值．
23．（2023春·浙江七年級課時練習）通過計算說明能被整除．
24．（23-24八年級上·湖南懷化·開學考試）【例題講解】因式分解：．
為三次二項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次二項式和一個二次多項式的乘積．故我們可以猜想可以分解成，
展開等式右邊得：，恒成立．
等式兩邊多項式的同類項的對應系數相等，即，解得，
．
【方法歸納】設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值，這種方法叫待定系數法．
【學以致用】(1)若，則________；
(2)若有一個因式是，求的值及另一個因式．
25．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項式分解因式后有一個因式是，求另一個因式以及的值．
解：設另一個因式為，得，則，
，解得：，，另一個因式為，的值為．
請仿照上述方法解答下面問題：(1)若，則______，______；
(2)已知二次三項式分解因式后有一個因式是，求另一個因式以及的值；
(3)已知二次三項式有一個因式是，是正整數，求另一個因式以及的值．
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