資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4-3 用乘法公式分解因式
模塊1：學習目標
1. 能說出平方差公式，完全平方公式的特點。
2. 能熟練地掌握應用平方差公式和完全平方公式分解因式。
3. 在探索提供公式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透劃歸的思想方法。
4. 在運用平方差公式進行因式分解的同時培養學生的觀察，比較和判斷能力以及運算能力，用不同的方法分解因式，可以提高學生的綜合運用知識的能力，進一步體驗“整體”思想和 “換元”思想。
模塊2：知識梳理
1.運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用：
若多項式各項有公因式先把公因式提出來，再運用公式法繼續分解；若多項式各項沒有公因式，則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式。
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
注意：利用完全平方公式分解因式時，要求被分解的多項式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項必須是單項式平方的形式，準確地找到中間項時正確分解的關鍵，中間項的符號決定分解結果的運算符號。
補充：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
注意：立方和差公式公式將多項式分解成兩部分相乘的形式，其中前項符合和立方和差的符號相同，后項內容與完全平方接近。不同點有2處：1）中間項的系數為1；2）中間項的符號與立方和差的符號相反。在利用立方和差公式時切勿記錯公式符號。
模塊3：核心考點與典例
考點1、判定能否用公式法分解因式
例1．（23-24八年級上·山東青島·期中）下列多項式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式進行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．
【詳解】解： A選項，式子中單項式有三項，且平方項符號相同，滿足完全平方公式分解因式形式，故選項正確；
B選項，式子中單項式有兩項，且符號相同，不滿足平方差公式分解因式形式，故選項錯誤；
C選項，式子中單項式有兩項，且符號相同，不滿足平方差公式分解因式形式，故選項錯誤；
D選項，式子中單項式有兩項，且含有相同的字母，應用提取公因式法分解因式，故選項錯誤；
故選：A ．
變式1. （23-24八年級上·山東泰安·期中）下列多項式不能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了整式的因式分解．A、B選項考慮利用完全平方公式分解，C、D選項考慮利用平方差公式分解．
【詳解】解：A、，故選項A不符合題意；
B、，故選項B不符合題意；
C、不是平方差的形式，不能運用公式法因式分解，故選項C符合題意；
D、，故選項D不符合題意；故選：C．
變式2．（22-23七年級下·山東聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據完全平方公式進行判斷，即可．
【詳解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；④；
⑤．，所以能用完全平方公式分解因式的有3個．
故選：C
【點睛】本題考查了因式分解——運用公式法：如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
變式3．（22-23七年級·浙江杭州·階段練習）下列各個多項式中，不能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平方差公式因式分解逐項驗證即可得到答案．
【詳解】解：A、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；B、，不能用平方差公式進行因式分解，該選項符合題意；
C、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；
D、，能用平方差公式進行因式分解，該選項不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查公式法因式分解，熟練掌握平方差公式是解決問題的關鍵．
考點2、運用平方差公式分解因式
例1．（23-24八年級下·廣東·課后作業）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】本題主要考查了運用提公因式和公式法分解因式．
（1）運用平方差公式分解因式即可．（2）先提公因式，再運用平方差公式分解因式即可．
（3）運用平方差公式分解因式即可．（4）運用平方差公式分解因式即可．
（5）先運用平方差公式分解因式，最后再提公因式即可．
【詳解】（1）解：
．
（2）
（3）
（4）
（5）
變式1. （2024·江蘇蘇州·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】將看作，應用平方差公式，即可求解，
本題考查了公式法因式分解，解題的關鍵是：熟練掌握平方差公式．
【詳解】解：．
變式2. （23-24八年級上·四川南充·期末）分解因式：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了因式分解；（1）根據平方差公式因式分解，即可求解；
（2）根據平方差公式以及完全平方公式因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
考點3、運用完全平方公式分解因式
例1．（2023·遼寧營口·三模）因式分解： ．
【答案】/
【分析】此題考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式進行分解即可，關鍵是掌握完全平方公式：．
【詳解】解：原式，故答案為：．
變式1. （2023八年級上·廣東·專題練習）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了用公式法分解因式．直接用完全平方公式分解即可．
【詳解】解：，故答案為：．
變式2.（2023·云南昆明·模擬預測）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】解： ，故答案為：．
變式3.（22-23八年級上·海南三亞·期中）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）利用完全平方公式分解因式即可；
（3）首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（4）首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
考點4、綜合運用公式法分解因式
例1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）把下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可．(2) 先提取公因式，再套用公式分解即可．
(3)平方差公式分解即可．(4)完全平方公式分解即可．
本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關鍵．
【詳解】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
變式1. （23-24八年級下·山東濟南·階段練習）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題主要考查了分解因式：（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因數3，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先提取公因式，然后去括號，合并同類項，最后提取公因數2分解因式即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
變式2. （22-23七年級下·廣西桂林·期中）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料分析：因式分解：．
解：將“”看成整體，設，則原式．
再將代入，得原式．
實踐探索：上述解題用到的是數學中常用的一種思想方法——“整體思想”，請你結合上述解題思路，自己完成下列題目：因式分解：；
【答案】
【分析】本題考查的是整體思想的應用，換元法的理解，利用完全平方公式分解因式，設，則原式可化為，再把代入即可得到答案．
【詳解】解：設，
∴
考點5、因式分解在有理數簡算中的運用
例1．（2023八年級上·廣東·專題練習）利用乘法公式簡便計算．
(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查了因式分解的應用，熟知平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．
（1）把原式變形為，再利用平方差公式進行求解即可；
（2）原式根據完全平方公式變形為，據此求解即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
變式1.（23-24八年級下·廣東·課后作業）用簡便方法計算：
(1)；(2)．
【答案】(1)1(2)80
【分析】本題考查的是完全平方公式的靈活運用，熟記完全平方公式的特點是解本題的關鍵；
（1）把原式化為，再利用完全平方公式進行計算即可；
（2）把原式化為，再利用完全平方公式進行計算即可；
【詳解】（1）解：
．
（2）
變式2.（23-24八年級上·陜西安康·階段練習）利用乘法公式計算：．
【答案】100
【分析】本題考查完全平方公式，利用完全平方公式進行簡算即可．掌握完全平方公式，是解題關鍵．
【詳解】解：原式
．
變式3.（23-24七年級上·上海青浦·期中）用簡便方法計算：．
【答案】．
【分析】此題考查了因式分解的應用，先設，然后通過十字相乘法因式分解進行解答即可，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法因式分解的應用．
【詳解】解：設，
則原式，，，
∴原式．
考點6、因式分解的逆向運用問題
例1．（2024·河南鄭州·一模）對任意整數，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】B
【分析】根據平方差公式，分解因式后判斷，熟練掌握公式法分解因式是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴故一定能被4整除，故選B．
變式1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）因式分解“”得，則“”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查因式分解的意義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．據因式分解的意義即可求得答案．
【詳解】解：，則“？”是，故選：B．
變式2．（23-24七年級下·廣東·課后作業）若，則M，N分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本題考查的是利用平方差公式進行計算，利用平方差公式分解因式，直接把分解因式即可．
【詳解】解：∵，∴，；故選A．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）下列多項式中，不能用公式法進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關鍵．
利用平方差公式，以及完全平方公式判斷即可．
【詳解】解：A、不能用公式法因式分解，故此選項符合題意；
B、，故此選項不符合題意；
C、，故此選項不符合題意；
D、，故此選項不符合題意．故選：A．
2．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）下列各式能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結構特征是解題的關鍵．
根據平方差公式分析判斷即可．
【詳解】解：A、不能用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；C、不能用平方差公式進行因式分解，故此選項不符合題意；
D、能用平方差公式進行因式分解，故此選項符合題意；故選：D．
3．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據完全平方公式特點，即可判斷出答案．
【詳解】解：A． 可明顯看出只有兩項，不能用完全平方公式分解因式，所以A不符合題意；
B． 有三項，并且有兩項是平方項，中間項符合倍乘積，能用完全平方公式分解因式，所以B符合題意；
C． 有三項，并且兩個平方項都是正的，但是中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以C不符合題意；
D． 有三項，并且兩個平方項是正的，中間項不符合倍乘積，不能用完全平方公式分解因式，所以D選項不符合題意．故答案選D．
【點睛】本題考查利用完全平方公式進行因式分解，做這樣的題目首先看一下多項式是否有三項，然后找到兩個平方項并確保符號都是正的，最后驗證最后一項是否符合倍乘積即可．
4．（23-24九年級上·山東濟南·階段練習）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，分別表示下列六個字：中、愛、我、苗、游、美；現將因式分解，結果呈現的密碼可能是（ ）
A．我愛美 B．苗中游 C．美我苗中 D．愛我苗中
【答案】D
【分析】本題主要考查因式分解．將所給整式利用提取公因式法和平方差公式進行因式分解，再與所給的整式與對應的漢字比較，即可得解．
【詳解】解：，
∴結果呈現的密碼信息可能是：愛我苗中，故選：D．
5．（22-23八年級上·福建廈門·期末）要使多項式能運用平方差公式進行分解因式，整式可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可．
【詳解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合題意；
B.不能用平方差公式因式分解，故該選項不正確，不符合題意；
C.，不能用平方差公式因式分解，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，能用平方差公式因式分解，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
6．（23-24七年級下·廣東揭陽·階段練習）若且，則的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
【答案】C
【分析】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵；根據題意及平方差公式可直接進行求解．
【詳解】解：∵，∴，∴；故選C．
7．（23-24八年級上·云南臨滄·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，則的值為（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查因式分解，能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，先根據兩平方確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．
【詳解】解：∵多項式能用完全平方公式分解因式，
又∵，∴ ，解得 ．故選：C．
8．（23-24八年級上·山東煙臺·期中）下列算式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了運用平方差公式和完全平方公式進行簡便運算，靈活運用平方差公式和完全平方公式是解答本題額關鍵．
【詳解】解：A、，選項正確，不符合題意；
B、，選項正確，不符合題意；
C、，選項正確，不符合題意；
D、，選項錯誤，符合題意．故選：D．
9．（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知，則按此規律推算的結果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
【答案】D
【分析】本題考查了因式分解，根據平方差公式進行因式分解，即可求解．
【詳解】解：，故選：D．
10．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）已知，，，則代數式的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本題主要考查了因式分解的應用，先根據已知條件式得到，再把原式變形為，最后利用完全平方公式求解即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，，，
∴
，故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24九年級下·吉林·階段練習）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了公式法分解因式．利用完全平方公式分解即可．
【詳解】解：，故答案為：．
12．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）在實數范圍內因為分解： ．
【答案】
【分析】根據，利用平方差公式分解即可，本題考查了因式分解，熟練掌握平方差公式分解因式是解題的關鍵．
【詳解】．
13．（23-24八年級下·廣東肇慶·開學考試）若，則代數式的值為 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了因式分解的應用，代數式求值，先把原式變形為，再把整體代入得到，即，據此可得答案．
【詳解】解：∵，∴故答案為：1．
14．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·階段練習）因式分解：＝ ．
【答案】
【分析】此題考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用平方差公式分解因式是解題關鍵．
直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解： ．故答案為：．
15．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．正確運用完全平方公式分解因式是解題關鍵．
【詳解】解： ．故答案為：．
16．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）若，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了代數式的求值、完全平方公式，熟練運用完全平方公式與“整體代入”的思想是解答此題的關鍵．由已知可得，然后將所求代數式利用完全平方公式變形為，再將已知整體代入計算即可．
【詳解】解：∵，∴．∴．故答案為：．
17．（2024·陜西寶雞·模擬預測）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：；故答案為：
18．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）使得是完全平方數的整數的和為 ．
【答案】
【分析】本題考查完全平方數的知識．將表示為的形式，然后轉化可得出，從而討論可得出的值，從而得到所有整數的和．
【詳解】解：設，所以，
所以，所以，
所以，所以，
因為，且與都為整數，
所以，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，．
，，解得：，．
所以所有的和為．故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級上·山東德州·階段練習）將下列多項式分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此題考查了因式分解，熟練掌握平方差公式進行因式分解是解題的關鍵．
（1）利用平方差公式進行因式分解即可；（2）利用平方差公式進行因式分解即可；
（3）變形后利用平方差公式進行因式分解即可；（4）利用平方差進行因式分解即可．
【詳解】（1）
；
（2）；
（3）；
（4）
．
20．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）因式分解：
(1)；(2)；(3)
(4) ；(5)；(6)
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【分析】本題考查了因式分解，掌握各類分解方法是解題關鍵．（1）利用提公因式法即可求解；（2）利用提公因式法即可求解；（3）利用公式法即可求解；（4）利用公式法即可求解；（5）綜合利用提公因式法和公式法即可求解；（6）綜合利用提公因式法和公式法即可求解；
【詳解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
21．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
（1）利用提取公因式法分解因式即可；（2）利用提取公因式法分解因式即可；
（3）利用平方差公式分解因式即可；（4）利用提取公因式法分解因式即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
22．（23-24八年級上·山東淄博·期末）分解因式：(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查因式分解，涉及完全平方差公式、完全平方和公式等知識，根據題中所給多項式特征，靈活運用公式法因式分解即可得到答案，熟練掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．
（1）先提負號，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先展開，化簡后，再由完全平方和公式因式分解即可得到答案．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）分解因式．
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)（用簡便方法做）
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【分析】本題考查了因式分解；（1）先提取公因式，再利用完全平方公式繼續分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式繼續分解；
（3）先利用平方差公式進行分解，再分別利用完全平方公式繼續分解；
（4）先利用完全平方公式進行分解，再利用平方差公式繼續分解；
（5）先利用完全平方公式進行分解，再利用平方差公式繼續分解；
（6）先提取公因式，再利用平方差公式進行變形，然后計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
24.（23-24八年級上·廣西南寧·階段練習）下面是某同學對多項式進行因式分解的過程：
解：設原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列問題：
(1)該同學第二步到第三步運用了______進行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)該同學因式分解的結果不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果______；
(3)模仿以上方法嘗試對多項式進行因式分解．
【答案】(1)C(2)(3)
【分析】本題主要考查了因式分解：（1）根據分解因式的過程可得答案；（2）將結果再次因式分解即可；（3）將看作整體進行因式分解即可；
【詳解】（1）解：由題意得，第二步到第三步運用了完全平方公式，故答案為：C；
（2）解：，故答案為：；
（3）解：設，∴原式．
25．（23-24七年級下·河南鄭州·階段練習）【閱讀材料】配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
例如：求的最小值．
解：，
，，即的最小值為．
請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：________．
(2)求的最小值．(3)已知，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查的是完全平方公式的應用，非負數的性質，利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解本題的關鍵；（1）由完全平方公式的特點可得答案；（2）把原式化為，再利用完全平方公式的特點先分解因式，再利用非負數的性質可得答案；
（3）把化為，再利用非負數的性質可得答案．
【詳解】（1）解：∵，∴添上的常數項是；
（2）；
∵∴∴的最小值為1；
（3）∵，∴，∴，
∴，，解得：，，∴；
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專題4-3 用乘法公式分解因式
模塊1：學習目標
1. 能說出平方差公式，完全平方公式的特點。
2. 能熟練地掌握應用平方差公式和完全平方公式分解因式。
3. 在探索提供公式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透劃歸的思想方法。
4. 在運用平方差公式進行因式分解的同時培養學生的觀察，比較和判斷能力以及運算能力，用不同的方法分解因式，可以提高學生的綜合運用知識的能力，進一步體驗“整體”思想和 “換元”思想。
模塊2：知識梳理
1.運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用：
若多項式各項有公因式先把公因式提出來，再運用公式法繼續分解；若多項式各項沒有公因式，則根據多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式。
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
注意：利用完全平方公式分解因式時，要求被分解的多項式的形式滿足完全平方公式的形式。首、末項必須是單項式平方的形式，準確地找到中間項時正確分解的關鍵，中間項的符號決定分解結果的運算符號。
補充：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
注意：立方和差公式公式將多項式分解成兩部分相乘的形式，其中前項符合和立方和差的符號相同，后項內容與完全平方接近。不同點有2處：1）中間項的系數為1；2）中間項的符號與立方和差的符號相反。在利用立方和差公式時切勿記錯公式符號。
模塊3：核心考點與典例
考點1、判定能否用公式法分解因式
例1．（23-24八年級上·山東青島·期中）下列多項式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （23-24八年級上·山東泰安·期中）下列多項式不能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
變式2．（22-23七年級下·山東聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式3．（22-23七年級·浙江杭州·階段練習）下列各個多項式中，不能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
考點2、運用平方差公式分解因式
例1．（23-24八年級下·廣東·課后作業）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)．
變式1. （2024·江蘇蘇州·一模）因式分解： ．
變式2. （23-24八年級上·四川南充·期末）分解因式：(1)；(2)．
考點3、運用完全平方公式分解因式
例1．（2023·遼寧營口·三模）因式分解： ．
變式1. （2023八年級上·廣東·專題練習）分解因式： ．
變式2.（2023·云南昆明·模擬預測）分解因式： ．
變式3.（22-23八年級上·海南三亞·期中）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
考點4、綜合運用公式法分解因式
例1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）把下列各式因式分解：
(1)；(2)；(3)；(4)
變式1. （23-24八年級下·山東濟南·階段練習）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
變式2. （22-23七年級下·廣西桂林·期中）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料分析：因式分解：．
解：將“”看成整體，設，則原式．
再將代入，得原式．
實踐探索：上述解題用到的是數學中常用的一種思想方法——“整體思想”，請你結合上述解題思路，自己完成下列題目：因式分解：；
考點5、因式分解在有理數簡算中的運用
例1．（2023八年級上·廣東·專題練習）利用乘法公式簡便計算．
(1)(2)
變式1.（23-24八年級下·廣東·課后作業）用簡便方法計算：
(1)；(2)．
變式2.（23-24八年級上·陜西安康·階段練習）利用乘法公式計算：．
變式3.（23-24七年級上·上海青浦·期中）用簡便方法計算：．
考點6、因式分解的逆向運用問題
例1．（2024·河南鄭州·一模）對任意整數，都能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
變式1．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）因式分解“”得，則“”是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24七年級下·廣東·課后作業）若，則M，N分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）下列多項式中，不能用公式法進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）下列各式能用平方差公式進行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年級上·河南周口·階段練習）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年級上·山東濟南·階段練習）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：，，，，，分別表示下列六個字：中、愛、我、苗、游、美；現將因式分解，結果呈現的密碼可能是（ ）
A．我愛美 B．苗中游 C．美我苗中 D．愛我苗中
5．（22-23八年級上·福建廈門·期末）要使多項式能運用平方差公式進行分解因式，整式可以是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24七年級下·廣東揭陽·階段練習）若且，則的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
7．（23-24八年級上·云南臨滄·期末）若分解因式能用完全平方公式分解因式，則的值為（ ）
A．10 B． C． D．
8．（23-24八年級上·山東煙臺·期中）下列算式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·河北邯鄲·模擬預測）已知，則按此規律推算的結果一定能（ ）
A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除
10．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）已知，，，則代數式的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24九年級下·吉林·階段練習）分解因式： ．
12．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）在實數范圍內因為分解： ．
13．（23-24八年級下·廣東肇慶·開學考試）若，則代數式的值為 ．
14．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·階段練習）因式分解：＝ ．
15．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）分解因式： ．
16．（23-24七年級下·重慶沙坪壩·階段練習）若，則 ．
17．（2024·陜西寶雞·模擬預測）分解因式： ．
18．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）使得是完全平方數的整數的和為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級上·山東德州·階段練習）將下列多項式分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)
20．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）因式分解：
(1)；(2)；(3)
(4) ；(5)；(6)
21．（23-24八年級下·山東濟南·階段練習）分解因式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
22．（23-24八年級上·山東淄博·期末）分解因式：(1)(2)
23．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）分解因式．
(1)；(2)；(3)
(4)；(5)；(6)（用簡便方法做）
24.（23-24八年級上·廣西南寧·階段練習）下面是某同學對多項式進行因式分解的過程：
解：設原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列問題：
(1)該同學第二步到第三步運用了______進行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)該同學因式分解的結果不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果______；
(3)模仿以上方法嘗試對多項式進行因式分解．
25．（23-24七年級下·河南鄭州·階段練習）【閱讀材料】配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．
例如：求的最小值．
解：，
，，即的最小值為．
請根據上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：________．
(2)求的最小值．(3)已知，求的值．
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