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專題4-4 十字相乘法與分組分解法（補充）
模塊1：學習目標
1.了解十字相乘法和分組分解法分解因式。
2.了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。
3.掌握因式分解分應用。
模塊2：知識梳理
1、十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：對于二次三項式的因式分解中，當公式法不能匹配時，十字相乘就是我們的首選方法。
2、分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
當一個多項式既不能提公因式，又不能運用公式分解，且這個多項式的項數在4項或4項以上時，可以考慮將這個多項式分組，進行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。
一般地，分組分解分為三步：1）將原式的項適當分組；2）對每一組進行處理（因式分解）3）將經過處理后的每一組當作一項，再進行分解。
注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸。有時，分組不當會導致因式分解無法繼續進行，此刻切不可氣餒，可再嘗試新的分組方法，也許“驚喜”就在后面。
因式分解的一般步驟：①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式。③分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
模塊3：核心考點與典例
考點1、運用十字相乘法分解因式
例1．（23-24八年級·遼寧·期末）【教材呈現】人教版八年級上冊數學教材第121頁的閱讀與思考：
型式子的因式分解型式子是數學學習中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子進行因式分解呢 在第102頁的練習第2題中，我們發現，.這個規律可以利用多項式的乘法法則推導得出：因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得 ①利用①式可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式。例如，將式子分解因式。這個式子的二次項系數是1，常數項，一次項系數，因此這是一個型的式子.利用①式可得.上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（圖1）.這樣，我們也可以得到.
利用上面的結論，可以直接將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知識應用】（2），則_________，_________；
【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均為整數，求m的值.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本題主要考查某些二次項系數是1的二次三項式分解因式及其應用：
（1）根據閱讀材料中提供的方法進行解答即可；（2）先將等號右邊的括號括號展開合并，根據對應項的系數相等可得結論；（3）先將等號右邊的括號括號展開合并，根據對應項的系數相等可得，根據m，p，q均為整數討論求解即可.
【詳解】解：（1）∵，
∴，故答案為：；
（2）由，
∴，解得，，故答案為：；
（3）由，∴，
∵m，p，q均為整數，∴，此時；
或者，此時；或者，此時；
或者，此時；或者，此時；
或者，此時；綜上，的值為：
變式1. （23-24八年級上·山東威海·期末）代數式因式分解的結果的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查因式分解，運用十字相乘法進行因式分解即可解答．
【詳解】．故選：A
變式2. （23-24七年級上·上海松江·期末）分解因式：= ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解題的關鍵．
【詳解】解：原式，故答案：．
考點2、十字相乘與換元法
例1．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數，a、b、c、d為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．
根據閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結合本題知識，分解因式：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用．
（1）利用十字相乘法進行求解即可；（2）利用十字相乘法進行求解即可；
（3）先分組，再利用十字相乘法進行求解即可．
【詳解】（1）解：，
；
（2）解：，
；
（3）解：，
．
變式1. （23-24七年級上·上海寶山·期末）分解因式：．
【答案】
【分析】本題考查十字相乘法進行因式分解；
利用十字相乘法進行因式分解，注意要分解徹底．
【詳解】解：
變式2. （23-24八年級上·北京西城·期中）我們有公式：．
反過來，就得到可以作為因式分解的公式：．
如果有一個關于的二次項系數是1的二次三項式，它的常數項可以看作兩個數與的積，而它的一次項的系數恰是與的和，它就可以分解為，也就是說：當，時，有．
例如：；；
；．
下面是某同學對多項式進行因式分解的過程．
解：設，則原式．
(1)該同學因式分解的結果是否徹底？ （填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果 ．(2)請你運用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項式進行因式分解．
【答案】(1)否，(2)
【分析】本題考查了十字相乘法，掌握整體思想是解題關鍵．
（1），故可繼續分解；（2）設，
原式可分解為；將代入可繼續分解．
【詳解】（1）解：設，則原式
故答案為：否，
（2）解：設，則原式，
∴
考點3、運用分組分解法分解因式
例1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：（分成兩組）（直接提公因式）， 乙：（分成兩組）（直接運用公式）
請在他們的解法啟發下解答下面各題：
(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．
【答案】(1)(2)，
【分析】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，巧妙的運用分組分解因式解答問題．
（1）可先利用完全平方公式計算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入數值計算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
變式1. （23-24九年級下·黑龍江綏化·開學考試）因式分解： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了多項式的因式分解．先分組，再提出公因式，即可求解．
【詳解】解：
故答案為：
變式2. （23-24八年級上·山西長治·期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.
數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.
任務：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值.
【答案】(1)(2)，8
【分析】本題考查因式分解，掌握“分組分解法”是解題的關鍵．
（1）仿照材料中的方法，前兩項為一組，后兩項為一組，利用“分組分解法”求解；
（2）先利用“分組分解法”進行因式分解，再將，作為整體代入求值．
【詳解】（1）解：，．
（2）解：.
將，代入，得：原式．
考點4、因式分解的相關應用
例1．（22-23八年級上·山東淄博·期中）閱讀下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法分解，如，細心觀察這個式子會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：
分組組內分解因式整體思想提公因式
這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：；
(2)已知的三邊a、b、c滿足，判斷的形狀并說明理由．
【答案】(1)(2)為等腰三角形，理由見詳解
【分析】本題考查分組分解法及三角形形狀的判定，正確分組是求解本題的關鍵．
（1）先分組，再用公式分解．（2）先因式分解，再求a,b,c的關系，判斷三角形的形狀
【詳解】（1）解：
；
（2）解：為等腰三角形．
理由：∵，∴，
∴，∴或，
三邊都大于0，∴．
∴，即，∴為等腰三角形．
變式1. （23-24八年級上·湖北恩施·期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務．
材料一 材料二
如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例 在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進行因式分解的過程：設，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（寫出詳細步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)(2)(3)是等邊三角形；理由見解析
【分析】本題考查了因式分解的應用；（1）根據材料1，分組分解即可求解；
（2）根據材料2，利用換元法，設，進而因式分解即可求解；
（3）根據完全平方公式因式分解，即可求解．
【詳解】（1）解：，故答案為：．
（2）解：
設，則原式
（3）解：是等邊三角形，理由如下；
∵∴，∴∴
又∵，∴∴是等邊三角形
變式2. （23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）閱讀材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，求的值；
(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足，求邊c的最大值
【答案】(1)(2)6
【分析】此題考查了因式分解的應用，以及非負數的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
（1）將多項式第三項分項后，結合并利用完全平方公式化簡，根據兩個非負數之和為0，兩非負數分別為0求出與的值，即可求出的值；
（2）將已知等式25分為，利用完全平方公式化簡，根據兩個非負數之和為0，兩非負數分別為0求出與的值，根據邊長為正整數且三角形三邊關系即可求出的長．
【詳解】（1），，，
，，，；
（2），，
，，，，，
又是正整數，的邊c的值2,3,4，5，6；的邊c的最大值6．
考點5、因式分解中的新定義
例1．（23-24八年級下·安徽蚌埠·階段練習）若一個正整數可以表示為，其中為大于3的正整數，則稱為“優雅數”，為的“優點”．例如，稱14為“優雅數”，5為14的“優點”．（1）“優雅數”50的“優點”為 ；
（2）的“優點”為的“優點”為，若，且，則的值為 ．
【答案】 8 25
【分析】本題考查因式分解的應用，掌握“優雅數”的定義，是解題的關鍵：
（1）根據“優點”的定義，進行求解即可；（2）根據“優雅數”，“優點”的定義，結合推出，因式分解后，整體思想代入求值即可．
【詳解】解：（1）∵，∴“優雅數”50的“優點”為8；故答案為：8；
（2）由題意，得：，
∵，且，∴，
∴，∴，∴；故答案為：25．
變式1. （23-24九年級上·湖北隨州·階段練習）對于一個正整數n，若能找到正整數，使得，則稱n為一個“好數”，例如：，則就是一個“好數”，那么從到這個正整數中“好數”有( )
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
【答案】C
【分析】本題考查了因式分解的應用，根據題意得出，進而可得只要是合數，就是好數，即可求解．
【詳解】解：由，可得，
所以，只要是合數，就是好數，以內的好數有：、、、、故選：C．
變式2. （2023·河南平頂山·二模）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．
楊輝三角如果將為非負整數）的展開式的每一項按字母的次數由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一項，系數為1；，它有兩項，系數分別為1，1；，它有三項，系數分別為1，2，1；，它有四項，系數分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數排成該表．觀察該表，可以發現每一行的首末都是1，并且下一行的數比上一行多1個，中間各數都寫在上一行兩數的中間，且等于它們的和．按照這個規律可以將這個表繼續往下寫．該表在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數學家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．
(1)應用規律：①直接寫出的展開式，　　；②的展開式中共有 　　項，所有項的系數和為 　　；(2)代數推理：已知m為整數，求證：能被18整除．
【答案】(1)①；②7，64(2)見解析
【分析】本題考查了數字規律，多項式乘法，因式分解的應用，找出本題的數字規律是正確解題的關鍵．（1）直接利用已知式子中系數變化規律進而得出答案；
（2）直接利用已知式子中系數變化規律進而得出答案．
【詳解】（1）解：根據規律得：①；
②，
的展開式中共有7項，所有項的系數和為；
故答案為：，7，64；
（2）證明：，
，
能被18整除．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·四川遂寧·八年級統考期末）將多項式分解因式正確的結果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次項系數看成，常數項看成，利用十字相乘法分解因式即可．
【詳解】解：故選：C．
【點睛】本題考查了用十字相乘法分解因式，正確理解因式分解的定義，注意各項系數的符號是解題的關鍵．
2．（2023秋·福建泉州·八年級統考期末）因式分解，結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用十字相乘法因式分解即可．
【詳解】解：
∵，
∴因式分解的結果是，故選：D．
【點睛】本題主要考查了用十字相乘法進行因式分解，解題的關鍵是掌握用十字相乘法進行因式分解的方法和步驟．
3．（23-24七年級上·上海浦東新·期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數皆為正整數．若甲與乙相乘的積為，乙與丙相乘的積為，則甲與丙相減的結果是( )
A． B．5 C．1 D．
【答案】D
【分析】此題考查了十字相乘法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．把題中的積分解因式后，確定出各自的整式，相減即可．
【詳解】解：∵甲與乙相乘的積為，乙與丙相乘的積為，甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數皆為正整數，
∴甲為，乙為，丙為，則甲與丙相減的差為：；故選：D
4．（2023春·浙江七年級課時練習）如果多項式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根據十字相乘法進行因式分解的方法，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：A、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；
B、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；
C、，能用十字相乘法進行因式分解，符合題意；
D、，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；故選C
【點睛】此題考查了十字相乘法進行因式分解，解題的關鍵是掌握十字相乘法進行因式分解．
5．（2022·杭州·七年級專題練習）下列四個選項中，哪一個為多項式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
【答案】A
【分析】將8x2-10x+2進行分解因式得出8x2-10x+2=（4x-1）（2x-2），進而得出答案即可．
【詳解】解：8x2-10x+2=2（4x2-5x+1）=2（4x-1）（x-1）=（4x-1）（2x-2），
故多項式8x2-10x+2的因式為（4x-1）與（2x-2），故選：A．
【點睛】本題主要考查了因式分解的意義，正確將多項式8x2-10x+2分解因式是解題關鍵．
6．（2023春·山東七年級課時練習）將多項式分解因式的結果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分組，然后根據提公因式法與平方差公式進行因式分解即可求解．
【詳解】解：，故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
7．（2023·浙江七年級課時練習）把分解因式，正確的分組為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把后三項為一組，利用完全平方公式計算，再利用平方差公式繼續分解因式即可．
【詳解】解：．故選：A．
【點睛】本題考查用分組分解法進行因式分解．難點是采用兩兩分組還是一三分組．本題中后三項正好符合完全平方公式，應考慮后三項為一組．
8．（2023春·廣東七年級課時練習）已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．
【詳解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）
將a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解決本題關鍵是掌握分組分解因式的方法．
9．（2023春·廣西七年級課時練習）觀察下列分解因式的過程：，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法，已知a，b，c滿足，則以a，b，c為三條線段首尾順次連接圍成一個三角形，下列描述正確的是（ ）
A．圍成一個等腰三角形 B．圍成一個直角三角形
C．圍成一個等腰直角三角形 D．不能圍成三角形
【答案】A
【分析】先利用分組分解法進行因式分解，然后求解即可得出a、b、c之間的關系，根據構成三角形三邊的要求，即可得出．
【詳解】解：，，，
∴或，當時，圍成一個等腰三角形；
當時，不能圍成三角形；故選：A．
【點睛】題目主要考查利用分解因式求解、構成三角形的三邊關系，理解題中例題的分組分解因式法是解題關鍵．
10．（2023春·七年級課時練習）已知a，b，c是正整數，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，則a﹣c等于（　　）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
【答案】B
【分析】根據因式分解的分組分解法即可求解．
【詳解】解：a2-ab-ac+bc=11，（a2-ab）-（ac-bc）=11，
a（a-b）-c（a-b）=11，（a-b）（a-c）=11，
∵a＞b，∴a-b＞0，a，b，c是正整數，∴a-b=1或11，a-c=11或1．故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解決本題的關鍵是掌握分組分解法分解因式．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東濟南·模擬預測）因式分解∶ ．
【答案】
【分析】本題考查提取公因式，十字相乘法分解因式，先提取公因式，再用式子相乘法分解因式即可．
【詳解】解：，故答案為：．
12．（23-24八年級上·河南濮陽·期末）如圖，分解多項式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數．這樣，我們可以得到．利用這種方法，把多項式分解因式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握十字相乘法分解因式的方法，根據題意可知、是相互獨立的，利用多項式相乘法則計算，再根據對應系數相等即可求出、的值，是解題關鍵．據此求解即可．
【詳解】因為，，所以．故答案為：
13．（23-24八年級上·重慶璧山·期末）因式分解的結果是 ．
【答案】
【分析】解：本題考查了公式法進行因式分解，掌握進行因式分解是解題的關鍵．
【詳解】，故答案為：．
14．（23-24八年級上·上海徐匯·階段練習）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解，先分組然后提公因式法因式分解，即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
15．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）人教版八年級上冊121頁的教材呈現：分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（如圖）．這樣，我們也可以得到．請用“十字相乘法”分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步驟是解題的關鍵．
先分解二次項系數，分解常數項，再交叉相乘，求代數和對上一次項系數，最后寫出結果，據此求解．
【詳解】解：二次項系數分解為，常數項分解為，交叉相乘，求代數和為，等于一次項系數（如圖）．
∴，故答案為：．
16．（2023九年級·安徽·專題練習）因式分解： ．
【答案】
【分析】本題主要考查因式分解，原式后三項結合后寫成完全平方，然后再運用平方差公式進行因式分解即可．
【詳解】解：
故答案為：．
17．（23-24七年級上·上海·期末）如果多項式在整數范圍內可以因式分解，那么m可以取的值是 ．
【答案】或
【分析】此題考查因式分解—十字相乘法，解題關鍵在于理解．把分成和，和，和，和，進而得到答案．
【詳解】解：當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
綜上所述：的取值是或，故答案為：或．
18．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）閱讀材料：若（為常數）有一個因式為，則如何因式分解？
解：因為有一個因式為，所以當時，，于是把代入得，解得，原代數式變為，接著可以通過列豎式做多項式除法的方式求出其它因式，如圖所示，則因式分解．
若（為常數）有一個因式為，則因式分解 ．
【答案】
【分析】本題考查根據方程的解求參數、以及通過列豎式做多項式除法進行因式分解，由題意同理求出中的值，再通過列豎式做多項式除法的方式求出其它因式，即可解題．
【詳解】解：（為常數）有一個因式為，
當時，有，
即當時，有，解得，
多項式為，
，故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·河南信陽·期末） 分解因式∶ ．
【答案】
【分析】本題考查的是因式分解，原式整理后，利用十字相乘法分解，再進一步分解即可，掌握因式分解的方法與步驟是解本題的關鍵．
【詳解】解：
；
20．（22-23七年級下·廣東·假期作業）觀察下列因式分解的過程：
①
（分成兩組）
（直接提取公因式）
；
②
（分成兩組）
（直接運用公式）
．
請仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【詳解】解：（1）．
（2）
．
21．（23-24八年級上·陜西西安·期末）閱讀下列材料：數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發下，解決以下問題：
(1)因式分解：；(2)因式分解：．
【答案】(1)(2)
【分析】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組分解是解題關鍵．
（1）首先將前兩項組合提取公因式，后兩項組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先分別將與組合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．
【詳解】（1）解：；
（2）．
22．（23-24八年級上·河南周口·期末）等式是數學學習中常見的代數模型．
例如：分解因式

《十字相乘法分解因式》先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項的系數．（左圖）
這樣，我們也可以得到，請試著將多項式分解因式．
(1)利用多項式的乘法法則推導這個等式．(2)若x、p、q都是正數，請用圖形面積給出它的幾何解釋．
(3)這個模型的逆向變形可以將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式．
【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)
【分析】本題考查了多項式乘多項式、整式規律等知識點，根據運算結果發現規律是解本題的關鍵．（1）直接用多項式乘多項式運算法則計算驗證即可；（2）先畫出圖形，然后用兩種方式表示正方形的面積即可解答（3）直接運用即可解答．
【詳解】（1）解：根據多項式的乘法：．
（2）解：如圖：

大長方形的面積有兩種表示方法：一種整體表示為：長×寬；
另一種是四塊小長方形面積之和：，
即．
（3）解：∵，∴．
23．（23-24七年級上·山西朔州·期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：將“”看成一個整體，令，則原式，再將“”還原，得原式．
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，結合材料1和材料2，完成下面小題：(1)分解因式：．(2)分解因式：．
【答案】(1)(2)
【分析】此題考查因式分解，將某多項式重新設定未知數，分解因式，
（1）令，仿照例題解答即可；（2）令，先計算乘法，再因式分解即可．
【詳解】（1）解：令，則原式，
∴；
（2）令，則原式.
∴原式.
24．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【提出問題】某數學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
①；②；③．
通過以上計算發現，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為(為整數
因為因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，所以一定有，即可將形如的多項式因式分解成(為整數．
例如：．
【初步應用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】（2）規律應用：若可用以上方法進行因式分解，則整數的所有可能值是______；
【拓展應用】（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】本題主要考查了因式分解及其應用，解題關鍵是熟練掌握利用十字相乘法進行分解因式．
（1）按照已知條件中方法進行分解因式即可；
（2）先找出乘積為的兩個整數有哪些，然后按照條件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知條件中的方法，先把分解成，然后把多項式進行第一次分解因式，再把分解成，分解成，進行第二次分解因式即可．
【詳解】解：（1），，故答案為：；
（2）∵，
∴，，
，，
∴或 或或 ，
整數的值可能是或，故答案為：或；
（3），
．
25．（23-24八年級上·廣西玉林·期末）閱讀：我們已經學習將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，對于公式法分解因式中的公式：，數學學習小組的同學通過思考，認為可以這樣來證明：……裂項（即把一項分裂成兩項）……分組……組內分解因式……整體思想提公因式
由此得到：公式的證明．
(1)仿照上面的方法，證明：；(2)分解因式：；(3)已知的三邊長分別是a，b，c，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)見解析(2)(3)的形狀是等邊三角形，見解析
【分析】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法，正確進行因式分解．（1）仿照題干信息進行證明即可；（2）利用分組分解法進行分解因式即可；
（3）根據，得出，分解因式得出，即可得出，從而可以判斷三角形的形狀．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，等式兩邊同乘以2，
∴，∴，
∵，
∴，∴，∴的形狀是等邊三角形．
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專題4-4 十字相乘法與分組分解法（補充）
模塊1：學習目標
1.了解十字相乘法和分組分解法分解因式。
2.了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。
3.掌握因式分解分應用。
模塊2：知識梳理
1、十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
注意：對于二次三項式的因式分解中，當公式法不能匹配時，十字相乘就是我們的首選方法。
2、分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
當一個多項式既不能提公因式，又不能運用公式分解，且這個多項式的項數在4項或4項以上時，可以考慮將這個多項式分組，進行合理的分組之后，則可以找到每一組各自的公因式，再分解。分組分解法的分解原則是：分組之后的每組之間能夠再提公因式或能套用公式。
一般地，分組分解分為三步：1）將原式的項適當分組；2）對每一組進行處理（因式分解）3）將經過處理后的每一組當作一項，再進行分解。
注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸。有時，分組不當會導致因式分解無法繼續進行，此刻切不可氣餒，可再嘗試新的分組方法，也許“驚喜”就在后面。
因式分解的一般步驟：①如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。②在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式。③分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。
模塊3：核心考點與典例
考點1、運用十字相乘法分解因式
例1．（23-24八年級·遼寧·期末）【教材呈現】人教版八年級上冊數學教材第121頁的閱讀與思考：
型式子的因式分解型式子是數學學習中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子進行因式分解呢 在第102頁的練習第2題中，我們發現，.這個規律可以利用多項式的乘法法則推導得出：因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得 ①利用①式可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式。例如，將式子分解因式。這個式子的二次項系數是1，常數項，一次項系數，因此這是一個型的式子.利用①式可得.上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（圖1）.這樣，我們也可以得到.
利用上面的結論，可以直接將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知識應用】（2），則_________，_________；
【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均為整數，求m的值.
變式1. （23-24八年級上·山東威海·期末）代數式因式分解的結果的是（ ）
A． B． C． D．
變式2. （23-24七年級上·上海松江·期末）分解因式：= ．
考點2、十字相乘與換元法
例1．（23-24八年級上·北京東城·期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以x為未知數，a、b、c、d為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．
根據閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結合本題知識，分解因式：．
變式1. （23-24七年級上·上海寶山·期末）分解因式：．
變式2. （23-24八年級上·北京西城·期中）我們有公式：．
反過來，就得到可以作為因式分解的公式：．
如果有一個關于的二次項系數是1的二次三項式，它的常數項可以看作兩個數與的積，而它的一次項的系數恰是與的和，它就可以分解為，也就是說：當，時，有．
例如：；；
；．
下面是某同學對多項式進行因式分解的過程．
解：設，則原式．
(1)該同學因式分解的結果是否徹底？ （填“是”或“否”）．若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果 ．(2)請你運用上述公式并模仿以上方法，嘗試對多項式進行因式分解．
考點3、運用分組分解法分解因式
例1．（23-24八年級上·山東濱州·期末）在“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解：
甲：（分成兩組）（直接提公因式）， 乙：（分成兩組）（直接運用公式）
請在他們的解法啟發下解答下面各題：
(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．
變式1. （23-24九年級下·黑龍江綏化·開學考試）因式分解： ．
變式2. （23-24八年級上·山西長治·期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務.
數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，其過程如下：.此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.
任務：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值.
考點4、因式分解的相關應用
例1．（22-23八年級上·山東淄博·期中）閱讀下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多項式只用上述方法就無法分解，如，細心觀察這個式子會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：
分組組內分解因式整體思想提公因式
這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：；
(2)已知的三邊a、b、c滿足，判斷的形狀并說明理由．
變式1. （23-24八年級上·湖北恩施·期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務．
材料一 材料二
如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組的方法來分解因式，這種因式分解的方法叫做分組分解法．例 在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替，不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．例進行因式分解的過程：設，原式
(1)填空：因式分解_______；
(2)因式分解（寫出詳細步驟）：；(3)若三邊分別為a，b，c，其中，，判斷的形狀，并說明理由．
變式2. （23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）閱讀材料：若，求m、n的值．
，
，
，
．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，求的值；
(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足，求邊c的最大值
考點5、因式分解中的新定義
例1．（23-24八年級下·安徽蚌埠·階段練習）若一個正整數可以表示為，其中為大于3的正整數，則稱為“優雅數”，為的“優點”．例如，稱14為“優雅數”，5為14的“優點”．（1）“優雅數”50的“優點”為 ；
（2）的“優點”為的“優點”為，若，且，則的值為 ．
變式1. （23-24九年級上·湖北隨州·階段練習）對于一個正整數n，若能找到正整數，使得，則稱n為一個“好數”，例如：，則就是一個“好數”，那么從到這個正整數中“好數”有( )
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
變式2. （2023·河南平頂山·二模）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．
楊輝三角如果將為非負整數）的展開式的每一項按字母的次數由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一項，系數為1；，它有兩項，系數分別為1，1；，它有三項，系數分別為1，2，1；，它有四項，系數分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數排成該表．觀察該表，可以發現每一行的首末都是1，并且下一行的數比上一行多1個，中間各數都寫在上一行兩數的中間，且等于它們的和．按照這個規律可以將這個表繼續往下寫．該表在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數學家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．
(1)應用規律：①直接寫出的展開式，　　；②的展開式中共有 　　項，所有項的系數和為 　　；(2)代數推理：已知m為整數，求證：能被18整除．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·四川遂寧·八年級統考期末）將多項式分解因式正確的結果為（　　）
A． B． C． D．
2．（2023秋·福建泉州·八年級統考期末）因式分解，結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（23-24七年級上·上海浦東新·期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數皆為正整數．若甲與乙相乘的積為，乙與丙相乘的積為，則甲與丙相減的結果是( )
A． B．5 C．1 D．
4．（2023春·浙江七年級課時練習）如果多項式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·杭州·七年級專題練習）下列四個選項中，哪一個為多項式的因式？（ ）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
6．（2023春·山東七年級課時練習）將多項式分解因式的結果為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江七年級課時練習）把分解因式，正確的分組為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023春·廣東七年級課時練習）已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2023春·廣西七年級課時練習）觀察下列分解因式的過程：，這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法，已知a，b，c滿足，則以a，b，c為三條線段首尾順次連接圍成一個三角形，下列描述正確的是（ ）
A．圍成一個等腰三角形 B．圍成一個直角三角形
C．圍成一個等腰直角三角形 D．不能圍成三角形
10．（2023春·七年級課時練習）已知a，b，c是正整數，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，則a﹣c等于（　　）
A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·山東濟南·模擬預測）因式分解∶ ．
12．（23-24八年級上·河南濮陽·期末）如圖，分解多項式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數．這樣，我們可以得到．利用這種方法，把多項式分解因式為 ．
13．（23-24八年級上·重慶璧山·期末）因式分解的結果是 ．
14．（23-24八年級上·上海徐匯·階段練習）分解因式： ．
15．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）人教版八年級上冊121頁的教材呈現：分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（如圖）．這樣，我們也可以得到．請用“十字相乘法”分解因式： ．
16．（2023九年級·安徽·專題練習）因式分解： ．
17．（23-24七年級上·上海·期末）如果多項式在整數范圍內可以因式分解，那么m可以取的值是 ．
18．（23-24八年級上·北京朝陽·期末）閱讀材料：若（為常數）有一個因式為，則如何因式分解？
解：因為有一個因式為，所以當時，，于是把代入得，解得，原代數式變為，接著可以通過列豎式做多項式除法的方式求出其它因式，如圖所示，則因式分解．
若（為常數）有一個因式為，則因式分解 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24七年級上·河南信陽·期末） 分解因式∶ ．
20．（22-23七年級下·廣東·假期作業）觀察下列因式分解的過程：
①
（分成兩組）
（直接提取公因式）
；
②
（分成兩組）
（直接運用公式）
．
請仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．
21．（23-24八年級上·陜西西安·期末）閱讀下列材料：數學研究發現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發下，解決以下問題：
(1)因式分解：；(2)因式分解：．
22．（23-24八年級上·河南周口·期末）等式是數學學習中常見的代數模型．
例如：分解因式

《十字相乘法分解因式》先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項的系數．（左圖）
這樣，我們也可以得到，請試著將多項式分解因式．
(1)利用多項式的乘法法則推導這個等式．(2)若x、p、q都是正數，請用圖形面積給出它的幾何解釋．
(3)這個模型的逆向變形可以將某些二次項系數為1的二次三項式分解因式．
23．（23-24七年級上·山西朔州·期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．
①；②．
材料2：分解因式：．
解：將“”看成一個整體，令，則原式，再將“”還原，得原式．
上述解題用到“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，結合材料1和材料2，完成下面小題：(1)分解因式：．(2)分解因式：．
24．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【提出問題】某數學活動小組對多項式乘法進行如下探究：
①；②；③．
通過以上計算發現，形如的兩個多項式相乘，其結果一定為(為整數
因為因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，所以一定有，即可將形如的多項式因式分解成(為整數．
例如：．
【初步應用】（1）用上面的方法分解因式： ______；
【類比應用】（2）規律應用：若可用以上方法進行因式分解，則整數的所有可能值是______；
【拓展應用】（3）分解因式：．
25．（23-24八年級上·廣西玉林·期末）閱讀：我們已經學習將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，對于公式法分解因式中的公式：，數學學習小組的同學通過思考，認為可以這樣來證明：……裂項（即把一項分裂成兩項）……分組……組內分解因式……整體思想提公因式
由此得到：公式的證明．
(1)仿照上面的方法，證明：；(2)分解因式：；(3)已知的三邊長分別是a，b，c，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．
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